2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.1 什么是向量

4．1什么是向量
向量的概念及表示
下面是一些关于“位移”和“力”的实例．
1．民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图)．
2．起重机吊起物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起．
同学们思考一下，位移、速度和力这些物理量与长度、面积、质量等有什么区别？
向量的基本概念
定义
既有大小又有方向的量称为向量．
表示法
(1)几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段起点、终点的字母表示，例如，，…
(2)字母表示：用小写字母a，b，…表示．
模
向量a的大小也称这个向量的模，记作|a|.
1．对于下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速．其中是向量的量共有________个．
[提示]　数轴只有方向，没有大小，它不是向量；温度和密度只有大小，没有方向，它们也不是向量；拉力和风速都是由大小和方向确定的，所以是向量．
2．在重力、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？
[提示]　身高、面积、体积这些量只有大小、没有方向，因而是数量；而重力既有大小，又有方向，因而是向量．
零向量与相等向量
1．长度为0的向量称为零向量，用0表示，其方向是任意的．
2．长度相等且方向相同的向量称为相等向量．
3．从不同的起点出发的有向线段，只要它们的长度和方向相同，表示的向量就相等．
如图，其中O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量，，相等的向量．
[提示]　根据正六边形的性质可知：
与向量相等的向量有：， ，；
与向量相等的向量有： ，，；
与向量相等的向量有：，，.
向量的基本概念问题
[例1]　给出下列命题：
①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；
③在菱形ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中所有正确命题的序号为________．
[思路点拨]　解答本题可从向量的定义，向量的模，相等向量，平行向量等概念入手，逐一判断对错．
[边听边记]　两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故①不正确．
单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故②正确．
③④显然正确，故所有正确命题的序号为②③④.
[答案]　②③④
借
题
发
挥
对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小又有方向，方向不能比较大小．零向量是比较特殊的量，解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”.
判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；
(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．
解：(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，
所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．
(3)正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确．依据规定：0与任一向量平行．
(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
(6)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．
相等向量
[例2]　如下图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)若||＝3，求向量的模．
[思路点拨]　根据已知条件，观察图形，凡是与向量长度相等且方向相同的向量，就是其相等向量．利用向量证明E，D，C三点共线，就可将向量的模转化为线段EC的长度．
[边听边记]　(1)∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，
∴AB綊ED，AB綊DC，从而＝，＝，
∴＝.
故与向量相等的向量是，.
(2)由(1)知＝＝.
∵与方向相同，从而E，D，C三点共线．
∴||＝||＋||＝2||＝6.
借
题
发
挥
(1)在图形背景下找相等向量，只要根据相等向量的定义，观察图形可直观得出结论．在逻辑分析中，要注意相等向量的传递性．
(2)一般地，||＋||≥||，当且仅当与同向时取等号.
[变式之作]
在本例条件下写出与相反的向量，写出与相等的向量．
解：与相反的向量有，，
与相等的向量有.
1．下列说法不正确的是(　　)
A．向量的模是一个非负实数
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
解析：显然，选项A、B、C说法正确．方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D说法不正确．
答案：D
2．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　)
A．不共线　　　　　　　　 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
解析：若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同，所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，但是a与b一定不都是零向量．故A，B，C都是错误的，D正确．
答案：D
3．如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(　　)
A．||＝|| B．与共线
C．与共线 D．＝
解析：由题可知，||＝||，∥∥，＝，
但是∠DEH不一定等于∠BDC，故与不一定平行，
故A，B，D成立，C不一定成立．
答案：C
4．下列说法中，正确的个数是(　　)
①单位向量都平行；
②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④有相同起点的两个非零向量不平行；
⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：单位向量不一定平行，故①错；
若两个单位向量方向相反，则这两个向量不相等，故②错；
若a，b不都是非零向量，则至少有一个为零向量，零向量与任何向量共线，故③正确；
有相同起点的两个非零向量可能平行，故④错；
画图可知⑤正确．
答案：A
5．若a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是(　　)
A．a＝b 　B．若a∥b，则a＝b
C．a＝b或a＝－b D．若a＝b，b＝c，则a＝c
解析：两个单位向量只是长度相等，故A，C均错误；
当a∥b时，a，b也可能反向，故B错；D正确．
答案：D
6．设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是(　　)
A．正方形 　B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：由＝可知，四边形ABCD为平行四边形，
又∵||＝||，故该四边形为菱形．
答案：D
学习向量应该注意哪些问题呢？
向量不等同于有向线段，有向线段只是向量的一种直观表示．
用手写体，，等表示向量时，一定不要遗漏上面的箭头．
用有向线段的起点与终点字母表示向量时，注意始点的位置在前，终点位置在后，箭头从始点指向终点．
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．方向相同或相反的向量是平行向量
B．零向量是0
C．长度相等的向量叫作相等向量
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：A中，方向相同或相反的非零向量是平行向量；C中，方向相同且长度相等的向量叫作相等向量；D中，共线向量所在直线可能重合，也可能平行．
答案：B
2．下列说法中，正确的个数为(　　)
①向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
②有向线段就是向量，向量就是有向线段；
③a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量；
④向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．
A．0　　　　　　　　　 　B．1
C．2 D．3
解析：①错误，若a＝0时，方向是任意的；②错误，有向线段是向量的一种表示，它不同于向量；③错误，当b＝0时，a与c不一定共线；④错误，与是共线向量，那么AB与CD所在直线可能平行．
答案：A
3.如图，在正三角形ABC中，点P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是(　　)
A．与 B．与
C．与 D．与
解析：向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．
答案：B
4.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(　　)
A．＝ 　B．＝
C．＝ D．＝
解析：根据相等向量的定义，分析可得，A、B不成立；
C中，与方向相反，故＝不成立；
D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故＝成立．
答案：D
二、填空题
5．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
解析：由勾股定理可知，BC＝＝，所以||＝.
答案：
6．若a，b为两个向量，给出以下4个条件：
①|a|＝|b|；
②a与b的方向相反；
③|a|＝0或|b|＝0；
④a与b都是单位向量．
由条件________(填序号)一定可以得到a与b平行．
解析：长度相等或都是单位向量不能得到a∥b，
但方向相反或其中一个为零向量可以得到a∥b.
答案：②或③
三、解答题
7．如下图，四边形ABCD和四边形CDFE均为平行四边形，试问图中哪些向量分别与向量，，相等．
解：＝，＝，＝.
8.如图，四边形ABCD，BEFC，CFGD都是平行四边形，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出多少个互不相等的非零向量？
解：因为＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，＝＝.
所以图中互不相等的非零向量共有6个．