2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 7.2.2 两条直线的位置关系

7．2.2　两条直线的位置关系
1．利用法向量确定两直线的位置关系
(1)两条直线平行或重合?它们的法向量平行．
(2)两条直线相交?它们的法向量不平行．
(3)两条直线垂直?它们的法向量垂直．
2．两直线的夹角
两直线的夹角α的大小规定在0≤α≤的范围内，当法向量的夹角满足0≤θ≤时， α＝θ；当法向量的夹角θ>时，α＝π－θ.
3．定理2
设直线l1，l2的方程分别为
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0
l1与l2重合?存在实数λ≠0，使
l1与l2平行?存在实数λ≠0，使
l1与l2相交?A1B2－A2B1≠0；
l1与l2垂直?A1A2＋B1B2＝0；
l1与l2夹角θ的余弦cos θ＝ .
1．如何利用方程来判断两直线的位置关系呢？
[提示]　将两条直线的方程联立得方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标，若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．
2．直线的夹角和向量的夹角有何区别？
[提示]　直线的夹角的范围为，而向量的夹角的范围为[0，π]．
3．如何理解和应用定理2?
[提示]　不需死记定理2，只需掌握它的思路，将直线方程之间的关系转化为法向量之间的关系，先找直线的法向量．
判断两直线是否相交
分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
[自主解答]　(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组有无数组解，表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
方程组有一解，说明两直线相交；方程组没有解说明两直线没有公共点，即两直线平行；方程组有无数个解说明两直线重合．
1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：
(1)(2)
解：解方程组得该方程组有唯一解
所以两直线相交，且交点坐标为.
(2)解方程组
②×6得2x－6y＋3＝0，
因此①和②可以化成同一个方程，即①和②有无数组解，所以两直线重合．
判断两直线的位置关系
a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.
(1)平行？(2)垂直？
[自主解答]　(1)若两直线平行，则存在实数λ≠0，
使得解得或
∴当a＝2或a＝－1时，两直线平行．
(2)若两直线垂直，则有(a－1)×1＋(－2)×(－a)＝0，
解之得a＝.
∴当a＝时，两直线垂直．
两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0；
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0；
(2)也可利用法向量来直接求解．
2．已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.当m取何值时，l1与l2：
(1)相交？　(2)平行？　(3)垂直？
解：l1的法向量为n1＝(1，m)，
l2的法向量为n2＝(m－2,3)．
(1)若l1与l2相交，
则n1与n2不平行．
∴3－m(m－2)≠0，
即m≠3或m≠－1.
(2)若l1与l2平行，
则n1∥n2
∴m(m－2)－3＝0，
∴m＝3或m＝－1.
经检验，当m＝3时重合，
∴当m＝－1时，平行．
(3)若l1与l2垂直，
则(m－2)＋m×3＝0，
∴m＝.
∴m＝时，两直线垂直.
求两直线夹角的余弦值
求直线l1：2x－3y＋3＝0与l2：3x＋4y－2＝0的夹角的余弦值．
[自主解答]　由直线方程知A1＝2，B1＝－3，A2＝3，B2＝4，
l1与l2的夹角的余弦值为：
cos θ＝＝＝.
求两直线的夹角，只要写出A1，B1，A2，B2的值，再利用公式去求解．
3．求直线l1：2x＋y＋3＝0和l2：x＋2y－1＝0的夹角的余弦值．
解：因为A1＝2，B1＝1，A2＝1，B2＝2，
所以cos θ＝＝.
[随堂体验落实]
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)
A．(4,1)　　　　　　　 　B．(1,4)
C. D.
解析：由方程组得
即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
答案：C
2．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为(　　)
A．－6 B．6
C．－ D.
解析：若两直线平行，则＝≠－，解得a＝6.
答案：B
3．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a为(　　)
A．－1 B．1
C．±1 D．－
解析：若两直线互相垂直，则(a＋2)·(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
∴(a－1)(－a－1)＝0，
∴a＝±1.
答案：C
4．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．
解析：由方程组得
又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，
∴直线方程为y＋＝，
即5x－15y－18＝0.
答案：5x－15y－18＝0
5．直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0和(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0互相垂直，求a的值．
解：两直线的法向量分别为n1＝(3a＋2,1－4a)，
n2＝(5a－2，a＋4)．
若两直线垂直，则n1·n2＝0.
∴(3a＋2)·(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，
即11a(a－1)＝0，
∴a＝0或a＝1.
[感悟高手解题]
[多解题]
求经过直线x＋2y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线2x－y＋3＝0平行的直线l的 方程．
解：法一：由方程组得
∵直线l与直线2x－y＋3＝0平行，
∴可设l为2x－y＋C＝0.
∵l过点(－5,3)，
∴2×(－5)－3＋C＝0，解得C＝13.
∴直线l的方程为2x－y＋13＝0.
法二：∵直线l过两直线x＋2y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点，
∴可设直线l的方程为x＋2y－1＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(λ＋1)x＋(λ＋2)y＋2λ－1＝0.
∵直线l与直线2x－y＋3＝0平行，
∴＝≠，解之，得λ＝－.
从而所求直线方程为2x－y＋13＝0.
一、选择题
1．两条直线x＋y－a＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,2)　　　　　　 　B．(－∞，－2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：联立方程组，解得.
由交点在第一象限得解得a>2.
答案：C
2．直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为(　　)
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
解析：若两直线平行，则＝≠.
解得：m＝－3或m＝2.
答案：C
3．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为(　　)
A．－3，－4 B．3,4
C．4,3 D．－4，－3
解析：由方程组得交点B(1,2)，
代入方程ax＋by－11＝0中，有a＋2b－11＝0，　 ①
又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，
所以－＝－，　② ≠.　③
由①②③，得a＝3，b＝4.
答案：B
4．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们夹角的余弦值为(　　)
A. B．－
C. D.
解析：因为A1＝3，B1＝4，A2＝3，B2＝5，
所以cos θ＝＝.
答案：A
二、填空题
5．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0互相垂直，则k＝__________.
解析：∵A1＝2，B1＝3，A2＝1，B2＝－k，
∴2×1＋3×(－k)＝0.
答案：
6．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a＝________.
解析：直线l1的法向量n1＝(a－5，－3－a)，
直线l2的法向量n2＝(－3，a－5)．
若l1⊥l2，则n1·n2＝0，
即－3(a－5)－(3＋a)(a－5)＝0.
∴a＝5或a＝－6.
答案：－6或5
7．若直线l1：x＋y＝0与直线l2：ax－y＋1＝0的夹角为60°，则a＝__________.
解析：因为A1＝，B1＝1，A2＝a，B2＝－1，
则由已知得＝cos 60°＝，
解得a＝0或a＝.
答案：0或
8．若两直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0与x轴围成三角形，则实数m的取值范围是________．
解析：当直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0及x轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形．当m＝－2时，(m＋2)x－y－m＝0与x轴平行；当m＝－3时，(m＋2)x－y－m＝0与x＋y＝0平行；当m＝0时，三条直线都过原点，所以m的取值范围为{m|m≠－3，且m≠－2，且m≠0}．
答案：{m|m≠－3，且m≠－2，且m≠0}
三、解答题
9．求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，且与直线x－3y＋1＝0垂直的直线的方程．
解：由得
∴两直线的交点坐标为.
因为所求直线与x－3y＋1＝0垂直，而x－3y＋1＝0的法向量为(1，－3)，
所以所求直线的法向量为(3,1)，
故所求直线方程具有的形式为3x＋y＋C＝0.
把点代入得3×－＋C＝0，
∴C＝.
故所求直线方程为3x＋y＋＝0，
即15x＋5y＋16＝0.
10．已知两直线l1：x＋(1＋m)y＝m－2，l2：2mx＋4y＝16，求当m为何值时，l1与l2：
(1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直．　
解：直线l1和l2的法向量分别为n1＝(1,1＋m)，n2＝(2m,4)．
(1)若两直线相交，则n1与n2不平行，
∴4－2m(1＋m)≠0，
解得，m≠－2且m≠1.
(2)若两直线平行，则＝≠，
解得m＝1.
(3)若两直线重合，则＝＝，
解得m＝－2.
(4)若两直线垂直，则n1⊥n2，
∴2m＋4(1＋m)＝0，∴m＝－.