2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 7.2.3 点到直线的距离

7．2.3　点到直线的距离
1．点到直线的距离公式
公式1：点P1(x1，y1)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为
d＝.
2．两平行直线的距离公式
两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0之间的距离为d＝.
3．平行四边形、三角形面积公式
公式2：以向量(a1，b1)，(a2，b2)为相邻两边的平行四边形面积为：|a1b2－b1a2|，三角形面积为|a1b2－b1a2|.
1．点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0或P1在直线l上的特殊情况是否适用？
[提示]　仍然适用．
①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0.
即y＝－，d＝＝，适合公式．
②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，
x＝－，d＝＝，适合公式．
③当P1点在直线l上时，有Ax1＋By1＋C＝0，
d＝＝0，适合公式．
2．二阶行列式与平行四边形的面积有什么关系？
[提示]　二阶行列式的值的绝对值就是以它的两行为坐标的两个向量，为一组邻边的平行四边形的面积.
求点到直线的距离
求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
[自主解答]　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，
由点到直线的距离公式可得
d＝＝.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，
所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，
所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
应用点到直线的距离公式应注意的问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
1．求下列点到直线的距离
(1)A(－2,3)，3x＋4y＋3＝0；
(2)C(1，－2)，4x＋3y＝0.
解：(1)由点到直线的距离公式得
d＝＝.
(2)由点到直线的距离公式得d＝＝.
点到直线的距离公式的应用
(1)若点(－2,2)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，求C的值．
(2)求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0距离为2的直线方程．
[自主解答]　(1)由点(－2,2)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，
可得d＝＝＝3，
解得C＝13，或C＝－17.
(2)法一：由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，
则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2，
∴|C＋1|＝2，C＝±2－1，
∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.
法二：设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P到2x－y－1＝0的距离为
d＝＝＝2，
∴2x－y－1＝±2，
∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.
已知一直线及两平行直线间的距离求与这一直线平行的另一直线方程，一般先根据题意设出直线方程，然后利用两平行直线间的距离公式求解．也可以把两平行直线间的距离问题转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离问题，然后利用点到直线的距离公式求解．
2．(1)在x轴上求一点P，使它到直线3x－4y＋6＝0的距离为6.
(2)求平行于直线x－y－2＝0且与它的距离为2的直线方程．
解：(1)设P(x0,0)，则＝6，
解得x0＝8或x0＝－12，
∴P点坐标为(8,0)或(－12,0)．
(2)设所求直线为x－y＋C＝0，
则＝2.
∴|C＋2|＝4，∴C＝2或C＝－6，
∴所求直线方程为x－y＋2＝0或x－y－6＝0.
面积公式的应用
(1)平行四边形的四个顶点分别为A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，求平行四边形的面积．
(2)已知点A(2,1)，B(3,4)，C(－2，－1)，求△ABC的面积．
[自主解答]　(1)∵＝(－4,3)，＝(8,0)，
∴S?ABCD＝|－4×0－3×8|＝24.
(2)∵＝(1,3)，＝(－4，－2)
∴S△ABC＝|1×(－2)－(－4)×3|＝×10＝5.
利用面积公式求四边形或三角形面积时，一定要确定好作邻边的两个向量，在计算时，不能把坐标的顺序弄错．
3．已知三角形A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试求△ABC的面积．
解：∵＝(6，－4)，＝(4,6)，
∴S△ABC＝|6×6－(－4)×4|＝×52＝26.
[随堂体验落实]
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B.
C．3 D.
解析：d＝＝＝.
答案：D
2．两平行直线3x＋2y－3＝0和6x＋4y＋1＝0之间的距离是(　　)
A．4 B.
C. D.
解析：直线6x＋4y＋1＝0化为3x＋2y＋＝0，
两平行直线的距离d＝＝＝.
答案：D
3．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是(　　)
A．[－11，－1] B．[－11,0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
解析：y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0，
由题意，得＝≤，
且k＋2≠－4，即k≠－6，
得－5≤k＋6≤5，即－11≤k≤－1，且k≠－6.
答案：C
4．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，则△ABC的面积S＝________.
解析：＝(－2，－3)，＝(2，－1)，
S△ABC＝|－2×(－1)－(－3)×2|＝×8＝4.
答案：4
5．已知点(4,0)到直线y＝x＋的距离为3，求m的值．
解：直线y＝x＋化为一般式为4x－3y＋m＝0.
由点到直线的距离公式，
得＝＝3，
即|m＋16|＝15，解得m＝－1或m＝－31.
[感悟高手解题]
[妙解题]
已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 ∶.
若能，求出P点坐标；若不能，说明理由．
解：(1)l2即2x－y－＝0，
∴l1与l2的距离d＝＝，
∴＝，∴＝，
∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，
则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，
且＝·，即C＝或C＝，
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝·，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
由于P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得应舍去．
由解得
∴P即为同时满足三个条件的点．
一、选择题
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B.
C．2 D.
解析：d＝＝＝.
答案：D
2．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(0，－2) B．(2,4)
C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1)
解析：直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，
依题意得＝，整理得|t|＝1，
所以t＝1或－1.
当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；
当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C.
答案：C
3．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3且与此直线平行的直线方程是(　　)
A．3x－4y＋4＝0
B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0
D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0
解析：设直线方程为3x－4y＋c＝0，
由题意得＝3，
∴|c－1|＝15，
∴c＝16或c＝－14.
∴直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
答案：D
4．若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围是(　　)
A．[0,10] B．(0,10)
C. D．(－∞，0]∪[10，＋∞)
解析：由题意得≤3，
即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10.
答案：A
二、填空题
5．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k＝__________.
解析：由题意得＝4，
∴|4－3k|＝13，∴k＝－3或k＝.
答案：－3或
6．两条平行线3x＋4y－12＝0和6x＋8y＋6＝0间的距离是________．
解析：6x＋8y＋6＝0可化为3x＋4y＋3＝0，
∴d＝＝＝3.
答案：3
7．三角形的顶点是A(8,5)，B(4，－2)，C(－6,3)，则△ABC的面积为__________．
解析：∵＝(－4，－7)，＝(－14，－2)，
∴S△ABC＝|－4×(－2)－(－7)×(－14)|＝×90＝45.
答案：45
8．已知5x＋12y＝60，则 的最小值是________．
解析： 表示直线5x＋12y＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x＋12y＝60的垂线段的长最小，故最小值为d＝＝.
答案：
三、解答题
9．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
解：由题意知，若截距为0，
可设直线l的方程为y＝kx.
由题意知＝3，解得k＝.
若截距不为0，设所求直线l的方程为x＋y－a＝0.
由题意知＝3，解得a＝1或a＝13.
故所求直线l的方程为y＝x，y＝x，x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
10．已知△ABC的顶点A(－2,5)，B(－5,6)，C(7，－4)，求：
(1)AB边上的中线所在的直线方程；
(2)BC边上的垂直平分线所在的直线方程；
(3)该三角形的面积．
解：(1)AB的中点M坐标为
＝，
CM是AB边上的中线，则CM的方程为：
－＝0，
即：19x＋21y－49＝0.
(2)BC的中点N的坐标为＝(1,1)，
是BC的垂直平分线的法向量，
＝(12，－10)，
则BC的垂直平分线具有的形式为12x－10y＋c＝0.
把坐标(1,1)代入，得12×1－10×1＋c＝0，
∴c＝－2.
∴BC的垂直平分线方程为6x－5y－1＝0.
(3)∵＝(－3,1)，＝(9，－9)，
∴S△ABC＝|－3×(－9)－1×9|＝×18＝9.
7．2.4　直线的斜率
1．直线的倾斜角
(1)当直线l与x轴相交时，它的倾斜角α就是x轴绕交点沿逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角．
(2)倾斜角的范围α∈[0，π)．
2．直线的斜率
当直线l的倾斜角α≠时，α的正切tan_α定义为这条直线的斜率．
3．斜率的坐标公式
k＝.
4．定理3
直线y＝kx＋b的斜率等于k.
5．直线的点斜式方程
y－y0＝k(x－x0)．
6．直线的斜截式方程
(1)直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为l在y轴上的截距．
(2)直线的斜截式方程：y＝kx＋b.
1．斜率与倾斜角的关系是什么？
[提示]　①α＝0°?k＝0； ②0°<α<90°?k>0；
③α＝90°?k不存在； ④90°<α<180°?k<0.
2．直线的点斜式方程应用的前提是什么？
[提示]　①点斜式方程的前提是斜率存在；
②当斜率不存在时的直线方程为x＝x0.
3．斜截式与一次函数解析式有何区别？
[提示]　斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，
当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；
当k＝0，y＝b时不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．
4．直线的斜截式方程有何特点？
[提示]　直线的斜截式方程的应用前提是斜率存在，
当b＝0时，y＝kx，表示过原点的直线；
当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线；
当k＝0且b＝0时，y＝0表示x轴．
求过两点的直线的斜率及倾斜角
(1)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．
[自主解答]　(1)斜率k＝＝－.
(2)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．
当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0.
[答案]　(1)C　(2)0
已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，其斜率不存在；若不相等，可用公式来求．
1．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
解：(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，
又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，
又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
直线的点斜式方程
求满足下列条件的直线方程．
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
[自主解答]　(1)∵直线过点P(－4,3)，
斜率k＝－3，
由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，
即3x＋y＋9＝0.
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，
由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，
即y＝－4.
(3)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，
故直线方程为x＝5.
(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.
又∵直线过点P(－2,3)，
∴由直线方程的点斜式可得直线方程为
y－3＝－1(x＋2)，即x＋y－1＝0.
求直线的点斜式方程的方法步骤
2．若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：
(1)倾斜角为150°；(2)平行于x轴；
(3)平行于y轴；(4)过原点．
解：(1)直线的斜率为k＝tan 150°＝－，
所以由点斜式方程得y－1＝－(x－2)，
即方程为y－1＝－(x－2)．
(2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.
(3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x＝2.
(4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k＝，
故所求的直线方程为y＝x.
直线的斜截式方程
(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；
(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线方程的斜截式；
(3)已知直线方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标．
[自主解答]　(1)易知k＝－1，b＝－2，
由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y＝－x－2.
(2)由于直线斜率k＝－，且过点A(6，－4)，
根据直线方程的点斜式得直线方程为y＋4＝－(x－6)，
化为斜截式为y＝－x＋4.
(3)直线方程2x＋y－1＝0，可化为y＝－2x＋1，
由直线方程的斜截式知，直线的斜率k＝－2，截距b＝1，
直线与y轴交点的坐标为(0,1)．
直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
3．根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)由于倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.
由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，
所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，
故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
[随堂体验落实]
1．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－14＝0　　　　 　B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
解析：由点斜式知y－5＝－(x＋2)，
即3x＋4y－14＝0.
答案：A
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
解析：y＋2＝－(x＋1)，由点斜式可知直线的斜率为－1，过点(－1，－2)．
答案：C
3．已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α≤135°，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
解析：∵0°≤α≤135°，∴当0°≤α<90°时，k≥0；
当90°<α≤135°时，k≤－1.
∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
答案：D
4．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．
解析：设x轴上点P(m,0)或y轴上点P(0，n)．
由kPA＝1，得＝＝1，得m＝3，n＝－3.
故点P的坐标为(3,0)或(0，－3)．
答案：(3,0)或(0，－3)
5．求直线y＝4x＋8与坐标轴所围成的三角形的面积．
解：令x＝0，则y＝8，
令y＝0，则x＝－2.
∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积
S＝×8×|－2|＝8.
[感悟高手解题]
[妙解题]
已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求的最大值与最小值．
解：如图，AB为线段2x＋y＝8(2≤x≤3)，由已知点P(x，y)在线段AB上运动，其中A，B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，的几何意义是直线OP的斜率，因为kOA＝2，kOB＝，所以的最小值为，最大值为2.
一、选择题
1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为(　　)
A．y－2＝－(x＋4)
B．y－(－2)＝－(x－4)
C．y－(－2)＝(x－4)
D．y－2＝(x＋4)
解析：k＝tan 150°＝－，
由点斜式方程得y－(－2)＝－(x－4)．
答案：B
2．过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，那么m的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 　B．4
C．1或3 D．1或4
解析：由斜率公式得＝1，
解得，m＝1.
答案：A
3．如图，若图中直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则(　　)
A．k1B．k2C．k3D．k1解析：由图可知直线l3的倾斜角为钝角，所以k3<0.直线l1与l2的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角较大，所以k2>k1，所以k3答案：C
4．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为(　　)
A．y＝－x＋
B．y＝－x＋1
C．y＝3x－3
D．y＝x＋1
解析：直线y＝3x的斜率k＝3，绕原点逆时针旋转90°后所得直线与直线y＝3x垂直，因此旋转后的直线方程为y＝－x，再将该直线向右平移1个单位后所得直线方程为y＝ －(x－1)，即y＝－x＋.
答案：A
二、填空题
5.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
解析：因为直线l1的倾斜角为150°，
所以∠BCA＝30°，
所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.
答案：30°
6．过A(，－3)，B两点的直线的斜率为______，倾斜角为________．
解析：∵k＝＝＝－＝－，
∴tan α＝－.
∵0°≤α<180°，∴α＝120°.
答案：－　120°
7．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为________．
解析：∵点(1，－1)在直线ax＋3my＋2a＝0上，
∴a－3m＋2a＝0，
∴a＝m，
k＝－＝－.
答案：－
8．直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.
解析：令x＝0，y＝2m－1，
∴2m－1＝7，
∴m＝4.
答案：4
三、解答题
9．根据下列条件写出直线方程，并把它化成一般式：
(1)过点A(－2,3)，斜率为－；
(2)在x轴，y轴上的截距分别为－3和4.
解：(1)由直线的点斜式可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，
化为一般式为3x＋5y－9＝0.
(2)∵直线在x轴，y轴上的截距分别为－3和4，
∴直线过点(－3,0)和(0,4)，
∴直线的斜率k＝，
∴直线方程为y＝(x＋3)，即4x－3y＋12＝0.
10．直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，
即y＝kx－2k＋2.
令y＝0得，x＝.
由三角形的面积为2，得××2＝2.
解得，k＝.
可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，
综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2)．