2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 7.3.1 圆的标准方程

7．3.1　圆的标准方程
1．圆的定义
圆是在平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合．这个定点就是圆心，这个定长就是半径．
2．定理4
圆心为点(a，b)，半径为r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆的标准方程．
3．圆心在原点(0,0)，半径r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
1．确定圆的几何条件有哪些？
[提示]　确定一个圆最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．
2．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)那么圆心坐标是什么？半径呢？
[提示]　圆心(－a，－b)，r＝|t|.
3．由圆的标准方程可以得到圆的哪些相关元素？
[提示]　由圆的标准方程可以得圆心、半径．
求圆的标准方程
写出下列各圆的标准方程．
(1)圆心在原点，半径为8；
(2)圆心在(2,3)，半径为2；
(3)圆心在(2，－1)且过原点．
[自主解答]　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.
(3)∵圆心在(2，－1)且过原点，
∴a＝2，b＝－1，r＝＝.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
若知道圆心和半径，就可以直接套用圆的标准方程，写出圆的方程．
1．指出下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝9；
(2)(x＋2)2＋(y－5)2＝3；
(3)(x－3)2＋y2＝5.
解：(1)圆心(0,0)，半径r＝3；
(2)圆心(－2,5)，半径r＝；
(3)圆心(3,0)，半径r＝.
用待定系数法求圆的标准方程
求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
[自主解答]　法一：待定系数法
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
法二：几何法
由题意知OP是圆的弦，
其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，
半径r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
求圆的标准方程一般有两种思路
(1)用待定系数法，这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法；
(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程．
2．求下列圆的标准方程：
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(2)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
解：(1)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
解得b＝0或b＝－8，则圆心为(0,0)或(0，－8)．
又∵半径r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(2)直线CD的斜率kCD＝＝1，
线段CD中点E的坐标为(0,2)，
故线段CD的垂直平分线的方程为
y－2＝－x，即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝2，
即圆心为(2,0)．由两点间的距离公式，
得r＝ ＝.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
点与圆位置关系的判断
已知圆心坐标为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
[自主解答]　因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，
所以圆的半径r＝＝5，
所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因为|P1C|＝＝＝2<5，
所以P1(－1,0)在圆内；
因为|P2C|＝＝5，
所以P2(1，－1)在圆上；
因为|P3C|＝＝6>5，
所以P3(3，－4)在圆外．
判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系．
(3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内．
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d3．若点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围为________________．
解析：由已知得(5a＋1－1)2＋(12a)2<1，解得－答案：
[随堂体验落实]
1．圆(x＋2)2＋(y－3)2＝2的圆心坐标和半径长分别为(　　)
A．(－2,3)，　　　　　　 　B．(－2,3)，2
C．(2，－3)，1 D．(2，－3)，
解析：圆心为(－2,3)，半径r＝.
答案：A
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：圆的半径r＝＝，圆心坐标为(1,1)，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：D
3．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29
B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116
D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
解析：圆心为线段AB的中点(1，－3)，半径为＝＝，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.故选B.
答案：B
4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于的圆的标准方程是________．
解析：设圆的方程(x－a)2＋y2＝3(a<0)，
由于圆过原点(0,0)，所以 a2＝3.即a＝－，
则圆的方程为(x＋)2＋y2＝3.
答案：(x＋)2＋y2＝3
5．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求该圆的标准方程．
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意知
解得
故圆的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
[感悟高手解题]
[多解题]
△ABC的三个顶点分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求其外接圆的方程．
解：法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程，
于是有
解此方程组，得
所以所求外接圆的方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
法二：因为A(0,5)，B(1，－2)，
所以线段AB的中点的坐标为，
直线AB的斜率kAB＝＝－7，
因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，
即x－7y＋10＝0，
同理，得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0，
由得圆心的坐标为(－3,1)，
又圆的半径长是r＝＝5.
所以所求外接圆的方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
一、选择题
1．已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则原点与圆的位置关系是(　　)
A．原点在圆内　　　　　 　B．原点在圆上
C．原点在圆外 D．以上都不对
解析：＝＝r，
故原点在圆上．
答案：B
2．若圆的方程为x2＋y2＋4x－6y－12＝0，则该圆的圆心坐标和半径长分别为(　　)
A．(2，－3)，25 B．(2，－3)，5
C．(－2,3)，5 D．(－2,3)，25
解析：由x2＋y2＋4x－6y－12＝0，得
(x＋2)2＋(y－3)2＝25，
故圆心坐标为(－2,3)，半径r＝5.
答案：C
3．圆(x－3)2＋(y－2)2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋3)2＋(y－2)2＝5
C．(x－3)2＋(y－2)2＝5 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝5
解析：由圆(x－3)2＋(y－2)2＝5得圆心(3,2)，(3,2)关于原点(0,0)对称的点为(－3，－2)，
则圆(x－3)2＋(y－2)2＝5关于原点(0,0)对称的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝5.
答案：A
4．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：圆心为(1,0)，则圆心到直线y＝x的距离，
d＝＝＝.
答案：A
二、填空题
5．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________________．
解析：设圆C的方程：(x－2)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得
解得
故圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
6．过点P(1,0)且与y轴相切于点(0,3)的圆的方程为________________．　
解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得解得
故圆的方程为(x－5)2＋(y－3)2＝25.
答案：(x－5)2＋(y－3)2＝25
7．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________________．
解析：圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，
则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，
则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1
8．若点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则实数a的取值范围是____________．
解析：由已知得(5＋1－1)2＋a<26，
∴a<1，又a≥0，∴0≤a<1.
答案：[0,1)
三、解答题
9．求经过A(－1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．
解：法一：设圆心坐标为(a，b)．
∵圆心在y轴上，∴a＝0.
设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆过A，B两点，
∴解得
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
法二：∵线段AB的中点坐标为(1,3)，
kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由解得
∴点(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间的距离公式，得圆的半径r＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
10．求过点A(－1,3)，B(4,2)，且在x轴，y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程．
解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
把点A，B的坐标代入，
得消去r2，得b＝5a－5. ①
令x＝0，则(y－b)2＝r2－a2，y＝b±，
∴在y轴上的截距之和是2b.
令y＝0，则(x－a)2＝r2－b2，x＝a±，
∴在x轴上的截距之和是2a.
∴2a＋2b＝4，即a＋b＝2. ②
①代入②，得a＝，∴b＝.
∴r2＝2＋2＝.
∴圆的标准方程为2＋2＝.