2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 7.3.3 直线与圆、圆与圆的位置关系

7．3.3　直线与圆、圆与圆的位置关系
第一课时　直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系
(1)几何方法：
圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离
d＝，
d＜r?直线与圆相交；
d＝r?直线与圆相切；
d＞r?直线与圆相离．
(2)代数法：
联立方程组消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则
Δ＞0?直线与圆相交；
Δ＝0?直线与圆相切；
Δ＜0?直线与圆相离．
1．如何利用“代数法”与“几何法”判断直线和圆的位置关系？
[提示]　(1)“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，结合了图形的几何性质．
(2)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，成为判断直线与圆位置关系的常用方法．
2．直线x－y＋5＝0与圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0的位置关系是怎样的？
[提示]　圆的方程配方得：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，
圆心C的坐标为(2，－3)，半径r＝5.
圆心到直线的距离d＝＝5＞5，此直线与圆相离．
直线与圆位置关系的判定
若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离，试分别求实数a的取值范围．
[自主解答]　法一：(代数法)
由方程组
消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
(1)当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－50(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；
(3)当直线和圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50.
法二：(几何法)圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝＝，
(1)当直线和圆相交时，d(2)当直线和圆相切时，d＝r，即＝10，a＝50或a＝－50；
(3)当直线和圆相离时，d>r，即>10，a<－50或a>50.
直线与圆位置关系的两种判断方法比较
(1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单．
(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单．
1．求实数m的范围，使直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
解：圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，
圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，圆的半径r＝2.
(1)若直线与圆相交，则d＜r，即＜2.
得m＜－2或m＞2.
(2)若直线与圆相切，则d＝r，即＝2.
得m＝－2或m＝2.
(3)若直线与圆相离，则d＞r，即＞2，
得－2＜m＜2.
求圆的切线方程
过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
[自主解答]　∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
∴点A在圆外．
若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0.
(2)若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，
所以另一条切线方程是x＝4，
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
求圆的切线方程一般有三种方法
(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；
(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；
(3)定义法：根据切线的定义求出切线方程．
一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．
2．求与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程．
解：(1)截距为0时，设切线方程为y＝kx，
则d＝＝1，解得k＝±，
所求直线方程为y＝±x.
(2)截距不为0时，设切线方程为x－y＝a，
则d＝＝1，解得a＝－2±，
所求直线方程为x－y＋2±＝0.
综上所述，所求的直线方程为
y＝±x和x－y＋2±＝0.
圆的弦长问题
求经过点P被定圆x2＋y2＝25截得的弦长为8的直线的方程．
[自主解答]　当直线的斜率不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4，所以弦长为|y1－y2|＝8，符合题意；
当直线的斜率存在时，设所求方程为y＋＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k－＝0.
由已知，得弦心距为＝3，
所以＝3，
解得k＝－，所以此直线的方程为y＋＝－(x＋3)，即3x＋4y＋15＝0.
所以所求直线的方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
与圆相关的弦长问题的两种解决方法
(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法．
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法，但很烦琐，一般不用．
3．圆心C在直线l：x＋2y＝0上，圆C过点M(2，－3)，且截直线m：x－y－1＝0所得弦长为2，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因为圆心坐标C(a，b)在直线l：x＋2y＝0上，所以C(－2b，b)．
设直线m：x－y－1＝0被圆C截得的弦为AB，则|AB|＝2，
过点C作CH⊥AB，垂足为H，
则由点到直线的距离公式得|CH|＝＝，且|AH|＝|AB|＝.
在Rt△CHA中，r2＝|CH|2＋|AH|2＝＋2， ①
因为点M(2，－3)在圆C上，
所以r2＝|CM|2＝(－2b－2)2＋(b＋3)2， ②
由①②得＋2＝(－2b－2)2＋(b＋3)2，
化简，得b2＋22b＋21＝0，解得b＝－1或b＝－21.
当b＝－1时，圆心C的坐标为(2，－1)，r2＝4；
当b＝－21时，圆心C的坐标为(42，－21)，r2＝1 924.
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4或(x－42)2＋(y＋21)2＝1 924.
[随堂体验落实]
1．设m＞0，则直线(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为(　　)
A．相切　　　　　　　　 　B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
解析：x2＋y2＝m的圆心(0,0)，则圆心到直线的距离：d＝.
又－＝≥0，
∴直线和圆相切或相离．
答案：C
2．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析：圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
答案：D
3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)
A. B．2
C. D．2
解析：直线方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，
所以圆心(0,2)到直线的距离d＝＝1，
所求弦长为2＝2.
答案：D
4．已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．
解析：设圆心为(a,0)(a＜0)，则＝，解得a＝－2，
故圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2.
答案：(x＋2)2＋y2＝2
5．(全国卷Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－y＋6＝0，
∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，
从而∠BDP＝60°.
在Rt△BOD中，∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.
取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，
∴OH为直角梯形ABDC的中位线，
∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.
答案：4
[感悟高手解题]
[多解题]
求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．
解：法一：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为，
∴r2＝2＋()2，
即2r2＝(a－b)2＋14， ①
由于所求的圆与x轴相切，
∴r2＝b2. ②
又因为所求圆的圆心在直线3x－y＝0上，
∴3a－b＝0， ③
联立①②③解得
a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.
故所求的圆的方程是
(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
法二：设所求的圆的方程是
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆心为，半径为 .
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F. ④
又圆心到直线y＝x的距离为，
由已知，得2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)， ⑤
又圆心在直线3x－y＝0上，
∴3D－E＝0. ⑥
联立④⑤⑥解得D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.
故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.
一、选择题
1．直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　　　 　B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
解析：圆心坐标为，半径长r＝，圆心到直线的距离d＝＜r，
所以直线与圆是相交的但不过圆心．
答案：C
2．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：圆心到直线的距离：d＝＝5，
故圆上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为5－1＝4.
答案：C
3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
解析：圆心(a,0)到直线的距离d＝，
由＋2＝4，得a＝4或a＝0.
答案：D
4．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，
设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；
直线在x，y轴上的截距均不为0，
则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，
则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．
答案：C
二、填空题
5．圆心为(1,1)且与直线x－y＝4相切的圆的方程是________．　
解析：设圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝r2，
则＝r，
∴r2＝8，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝8
6．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
解析：设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
|CA|＝＝.
∴半弦长＝＝＝.
∴最短弦的长为2.
答案：2
7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，
所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2 ＝.
答案：
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
解析：因为圆的半径长为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，
所以圆心到直线的距离小于1，即＜1，解得－13＜c＜13.
答案：(－13,13)
三、解答题
9．已知直线l：x－y＋1＝0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，圆与直线l和y轴均相切．
(1)求该圆的方程；
(2)直线m：mx＋y＋m＝0与圆C交于A，B两点，且|AB|＝，求m的值．
解：(1)设圆心C(a,0)，a>0，半径为r，
则∴
所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
作CH⊥AB垂足为H，则H为AB中点，
∴|AH|＝，|CH|＝＝ ＝，
即点C到直线m的距离为.
∴＝，
∴m2＝，解得m＝±.
10．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．
解：(1)直线l可改写为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1,1)，
又＝1＜，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，
又k＝tan 120°＝－，所以m＝－.
此时，圆心C(0,1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离
d＝＝，
又圆C的半径长r＝，
所以|AB|＝2＝2＝.
第二课时　圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别是R，r，(不妨设R≥r)两圆圆心的距离为d，则两圆有如下位置关系：
(1)d＞R＋r，两圆外离，无公共点；
(2)d＝R＋r，两圆外切，一个公共点；
(3)R－r＜d＜R＋r，两圆相交，两个公共点；
(4)d＝R－r＞0，两圆内切，一个公共点；
(5)d＜R－r，大圆内含小圆，无公共点；
(6)d＝R－r＝0，两圆同心，(当R＝r时两圆重合)．
2．两圆位置关系的判定
(1)几何法：由两圆的圆心距d与半径长R，r的大小来判断．
如果d＝R＋r，那么两圆外切且两圆的连心线过切点；
如果d＝|R－r|，那么两圆内切；
如果d＞R＋r，那么两圆外离；
如果d＜|R－r|，那么两圆内含；
如果|R－r|＜d＜R＋r，那么两圆相交．
(2)代数法：设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.
对于方程组
①如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交；
②如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；
③如果该方程组没有实数解，那么两圆外离或内含．
1．利用几何法和代数法判断两圆的位置关系，应注意什么？
[提示]　(1)利用几何法判断两圆的位置关系，直观，容易理解，但不能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的位置关系，并不能准确地判断位置关系(如：Δ＝0仅能说明两圆只有一个公共点，但确定不了是内切还是外切；0＜0仅能说明两圆没有公共点，到底是相离还是内含，必须辅以图形)．
(2)应用代数法判定两圆位置关系时应注意：
①Δ＞0时，两圆有两个公共点，相交；
②Δ＝0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；
③Δ＜0时，两圆无公共点，包括内含与外离．
2．当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定外离？只有一组解时一定外切吗？
[提示]　①两圆的方程组成的方程组无解时，两圆不一定相离，有可能内含；
②有一组解时，不一定外切，还有可能内切．
两圆位置关系的判断
已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，
C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．
试求：a为何值时两圆C1, C2(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
[自主解答]　对圆C1，C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3即a＜3时两圆内含．
判断两圆位置关系的步骤
(1)将圆的方程化为标准方程，写出圆心和半径；
(2)计算两圆圆心的距离d；
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆位置关系或求参数范围．
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切　　　　　　　　 　B．相交
C．外切 D．相离
解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、之和为5，而1<<5，
所以两圆相交．
答案：B
2．到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
解析：到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；
同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，
所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，
而这两圆的圆心距|AB|＝＝5.
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．
答案：4
两圆相切的有关问题
已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并和直线l：x＋y＝0相切于点 (3，－)，求圆C的方程．
[自主解答]　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆x2＋y2－2x＝0化为标准形式为(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1,0)，半径为1，
由圆C与此圆相外切得 ＝r＋1，①.
由圆C与直线x＋y＝0相切于点(3，－)得
r＝，·＝－1，
解得b＝(a－4)，r＝2|a－3|，
代入①得 ＝2|a－3|＋1.
当a≥3时，解得a＝4，
∴b＝0，r＝2，圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4；
当a<3时，解得a＝0，
∴b＝－4，r＝6，圆C的方程为x2＋(y＋4)2＝36.
处理两圆相切问题时，可利用待定系数法，设出圆的标准方程，根据圆与直线、圆与圆相切的条件列出关于a，b，r的方程组求解，其中圆与圆相切的问题转化为圆心距问题，圆与直线相切问题转化为点线距问题．
3．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径长为1的圆的方程．
解：设所求圆的圆心为P(a，b)，
则＝1， ①
(1)若两圆外切，则有＝1＋2＝3， ②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，
所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若两圆内切，则有＝|2－1|＝1， ③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
两圆的公共弦问题
求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
[自主解答]　法一：联立两圆的方程得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，
此即为两圆公共弦所在直线的方程．
设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
解得或
所以|AB|＝＝2，即公共弦长为2.
法二：联立两圆的方程得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，
此即为两圆公共弦所在直线的方程．
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为
d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝(3)2＋l2，
解得l＝，故公共弦长2l＝2.
1．求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减，所得的方程即为两圆的公共弦所在直线的方程．
2．在求两圆公共弦长时，可先求两圆的交点坐标，再用距离公式求弦长，也可利用相交两圆的几何性质和勾股定理求弦长．
4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝，
如图，由已知|AC|＝，|OA|＝2.
有|OC|＝＝1，∴a＝1.
答案：1
[随堂体验落实]
1．两圆x2＋y2－4x－6y＋9＝0与x2＋y2＋12x＋6y－19＝0的位置关系是(　　)
A．内切　　　　　　　　 　B．外切
C．相交 D．相离
解析：两圆方程分别配方得(x－2)2＋(y－3)2＝4，(x＋6)2＋(y＋3)2＝64，
又两圆心之间的距离|C1C2|＝10＝r＋R＝2＋8，故两圆外切．
答案：B
2．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：两圆方程分别配方得(x－3)2＋(y＋8)2＝121，
(x＋2)2＋(y－4)2＝64，故两圆的半径长分别为R＝11，r＝8.
两圆心之间的距离d＝＝13，
∴R－r＜d＜R＋r，
∴两圆相交，故两圆的公切线共有2条．
答案：C
3．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　)
A. B.
C. D．5
解析：由题意，知2r＝ ＝，r＝.
答案：B
4．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．
解析：连接OO1，记AB与OO1的交点为C，
如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，
∴|OO1|＝5，
∴|AC|＝＝2，
∴|AB|＝4.
答案：4
5．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的 圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①
已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0，②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，
又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
[感悟高手解题]
[多解题]
求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
解：法一：由得两圆相交公共弦所在直线方程为y＝x，
∴
解得或
∴两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)、B(3,3)．
线段AB的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)．
由得
∴所求圆的圆心为(3，－1)，半径为＝4.
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
法二：设经过已知两圆的交点的圆的方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)．
则其圆心坐标为.
∵所求圆的圆心在直线x－y－4＝0上，
∴－－4＝0.
∴λ＝－.
∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－6－(x2＋y2－4y－6)＝0，
即x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
法三：同解法1得两圆交点坐标A(－1，－1)，B(3,3)，
故设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
依题意得
解得
故所求圆方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
一、选择题
1．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　　 　B．相交
C．内切 D．外切
解析：圆C1的圆心为C1(0,0)，半径长r1＝9；
圆C2的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心为C2(3,4)，半径长r2＝4，
所以|C1C2|＝ ＝5.因为r1－r2＝5，
所以|C1C2|＝r1－r2，所以圆C1和圆C2内切．
答案：C
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　)
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
解析：两圆方程相减得公共弦AB所在直线方程为4x－4y＋1＝0.
而两圆的圆心分别为(1,0)和(－1,2)，两个圆心的中点为(0,1)，
又垂直平分线的斜率为－1，故AB的垂直平分线方程为y－1＝－(x－0)，
即x＋y－1＝0.
答案：A
3．两圆x2＋y2－1＝0与x2＋y2＋3x＋9y＋2＝0的公共弦长为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋3y＋1＝0，圆x2＋y2－1＝0的圆心为(0,0)，半径长为1，所以公共弦长为2＝.
答案：B
4．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：∵半径长为6的圆与x轴相切，
设圆心坐标为(a，b)，则根据题意得b＝6，
再由 ＝5可以解得a＝±4，
故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
答案：D
二、填空题
5．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．
解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，
|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，
因此两圆外切．
答案：外切
6．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点之间的最短距离是________．
解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由x2＋y2－4x＋2y＋3＝0得(x－2)2＋(y＋1)2＝2，两圆圆心距为＝3＞2，故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是3－－＝.
答案：
7．若圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆O2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则实数a，b的关系是________．　
解析：⊙O1始终平分⊙O2的周长，那么⊙O1经过⊙O2的一条直径AB的两端点．
∴|AO1|2＝|O1O2|2＋|AO2|2，
其中O1(a，b)，O2(－1，－1)．
∴b2＋1＝(a＋1)2＋(b＋1)2＋4，
化简得a2＋2a＋2b＋5＝0.
答案：a2＋2a＋2b＋5＝0
8．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析：由x2＋y2＋6x－8y－11＝0得(x＋3)2＋(y－4)2＝36，
所以两圆的圆心距d＝＝5，
当两圆有公共点时，它们只能是内切、外切或相交，
因此圆心距d应满足|r2－r1|≤d≤r1＋r2，
即|－6|≤5≤＋6，
从而1≤≤11，即1≤m≤121.
答案：[1,121]
三、解答题
9．已知两圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在直线方程及公共弦长．
解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组的解．
－②得3x－4y＋6＝0，则A，B两点的坐标都满足此方程，
即直线3x－4y＋6＝0过A，B两点，
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3.
又C1到直线AB的距离为
d＝＝.
∴|AB|＝2＝2＝.
即两圆的公共弦长为.
10．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0和圆C2：x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，求圆C1，圆C2的公切线方程．
解：由圆C1的圆心坐标为C1(－1，－3)，半径r1＝1，
圆C2的圆心坐标为C2(3，－1)，半径r2＝3，
则|C1C2|＞r1＋r2，所以两圆相离，有四条公切线．
设公切线方程为y＝kx＋b，
则圆C1到切线的距离等于r1＝1.
∴＝1.①
则圆C2到切线的距离等于r2＝3.
∴＝3.②
解①②所联立的方程组得
k＝0，b＝－4，或k＝，b＝0，或k＝－，b＝－.
当斜率不存在时，x＝0与两圆相内切．
∴所求切线方程为y＋4＝0，或4x－3y＝0，或x＝0，或3x＋4y＋10＝0.