2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 7.4 几何问题的代数解法
文档属性
| 名称 | 2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 7.4 几何问题的代数解法 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 272.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 15:27:21 | ||
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文档简介
7．4几何问题的代数解法
1．解析几何的基本思想方法
用代数方法解决几何问题．
2．几何的最基本元素
点和曲线分别用坐标和方程表示，将点和曲线的几何性质都用坐标和方程的代数性质来表示和处理．
1．解析几何是如何研究曲线的？
[提示] 它是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线(包括直线)，通过研究方程的特征来研究曲线的性质．
2．运用坐标法应注意哪些问题呢？
[提示] 用坐标法解决几何问题应注意以下几点：
(1)建立恰当的平面直角坐标系；
(2)准确地用坐标和方程表示问题中的几何元素；
(3)最后应把代数运算结果“翻译”成几何结论.
利用坐标法证明几何问题
在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，|OA|＝8，|OB|＝6，点P为它的内切圆C上任一点，求证：点P到顶点A，B，O的距离的平方和d∈[72,84]．
[自主解答] 如图所示，以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系xOy，
则A(8,0)，B(0,6)，内切圆C的半径r＝＝2.
∴圆心坐标为(2,2)．
∴内切圆C的方程为
(x－2)2＋(y－2)2＝4.
设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A，B，O的距离的平方和为d，
则d＝|PA|2＋|PB|2＋|PO|2
＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2
＝3x2＋3y2－16x－12y＋100
＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76.
∵点P(x，y)在圆上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.
∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x.
∵点P(x，y)是圆C上的任意点，∴x∈[0,4]．
∴当x＝0时，dmax＝88，当x＝4时，dmin＝72.
坐标法的基本步骤
第一步：建立坐标系用坐标表示有关量．
第二步：进行有关代数运算．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
1．已知三角形ABC，AD为三角形的中线，求证：2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4|AD|2.
证明：以BC所在的直线为x轴，以BC的中点D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)．从而
|AB|2＝(x＋a)2＋y2，
|AC|2＝(x－a)2＋y2.
|BC|2＝4a2，|AD|2＝x2＋y2，
所以2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2
＝4x2＋4y2＝4(x2＋y2)，
所以2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4|AD|2.
求曲线的方程
设A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a＞0)，求P点的轨迹．
[自主解答] 设动点P的坐标为(x，y)，由＝a(a＞0)，得＝a.
化简得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0.
当a≠1时，得2＋y2＝2，表示以为圆心，以为半径的圆．
当a＝1时，原方程化简得x＝0，P点轨迹的表示直线，即y轴．
到两定点的距离的比为定值的点的轨迹可以是圆，丰富了圆的定义，这种方法为求轨迹的一种基本方法：“解析法”．
2．已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹，求出曲线的方程．
解：设P(x，y)为曲线上任意一点，则有
＝，即＝，
化简得，x2＋y2＋2x－3＝0，
即(x＋1)2＋y2＝4.
方程表示的是以(－1,0)为圆心，以2为半径的圆．
[随堂体验落实]
1．下列方程中表示圆的是( )
A．x2＋y2－2x＋2y－4＝0
B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0
C．x2＋2y2－2x＋4y＋3＝0
D．x2＋2y2＋4x－12y＋9＝0
解析：由圆的方程的一般式的特征可知，A中的方程表示圆．
答案：A
2．方程y＝－表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
解析：由y＝－得x2＋y2＝25.
∵y＝－≤0，∴曲线表示的半个圆．
答案：D
3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B．或
C．2或0 D．－2或0
解析：配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
故圆心为(1,2)．由已知得＝，
故|a－1|＝1，∴a＝2或a＝0.
答案：C
4．圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是________________．
解析：设弦的中点(x，y)，则(x－2)2＋(y＋1)2＋1＝9，
∴(x－2)2＋(y＋1)2＝8，
故弦的中点的轨迹方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝8.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝8
5．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．
解：由两圆的方程相减，消去二次项得到一个二元一次方程，此方程即为公共弦AB所在的直线方程：4x＋3y－10＝0.
法一：由
解得或
∴两交点的坐标分别是(－2,6)，(4，－2)．
故|AB|＝＝10.
法二：过C1作C1D⊥AB于D，易知，
圆C1的圆心C1(5,5)，半径r1＝5，
则|C1D|＝＝5.
∴|AB|＝2|AD|＝2＝2＝10.
[感悟高手解题]
[多解题]
已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
解：法一：设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为
(x－3)2＋(y－3)2＝4，
圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，
∴kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
法二：设弦PQ的中点坐标为M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为P，Q两点都在已知圆上，
所以
由②－①得
(x－x)＋(y－y)－6(x2－x1)－6(y2－y1)＝0，
即(x1＋x2－6)(x2－x1)＋(y1＋y2－6)(y2－y1)＝0.
当x1＝x2时，直线方程为x＝－3，显然不符合题意．
当x1≠x2时，·＝－1.
而x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
＝kPQ＝，
所以·＝－1，
整理得x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
一、选择题
1．直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．(0，－1) B．(－1，＋1)
C．(－－1，－1) D．(0，＋1)
解析：由得(1－y)2＋y2－2ay＝0，
即2y2－(2＋2a)y＋1＝0.∴Δ＝4(1＋a)2－8＜0，
解得－－1＜a＜－1.
又∵a＞0，∴0＜a＜－1.
答案：A
2．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．(－，) B. [－，]
C. D.
解析：显然直线l的斜率存在，设为k，
则直线l的方程为y＝k(x－4)．
依题意，圆心到直线l的距离d＝≤1，
故k∈.
答案：D
3．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0
解析：两圆关于直线l对称，则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0的圆心为P(3，－3)，则线段OP的中点为Q，其斜率kOP＝＝－1，则直线l的斜率为k＝1，故直线l的方程为y－＝x－，即x－y－3＝0.
答案：D
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：设P(x，y)，则＝2.
化简得x2＋y2－4x＝0，
配方，得(x－2)2＋y2＝4，
∴S＝πr2＝4π.
答案：B
二、填空题
5．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．
解析：圆心(1,1)到直线x＋y＝4的距离d＝＝，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2
6．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)在圆x2＋y2＝1的________．(填圆上、圆外或圆内)
解析：由＜1，得a2＋b2＞1，
∴P(a，b)在圆x2＋y2＞1的外部．
答案：圆外
7．已知x＋y＋1＝0，那么的最小值是________．
解析：表示点P(x，y)和点(－2，－3)的距离，
则的最小值为点(－2，－3)到直线x＋y＋1＝0的距离，
d＝＝＝2.
答案：2
8．已知圆O的方程是x2＋y2＝2，圆O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向圆O和圆O′所引的切线的长相等，则动点P的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)，圆x2＋y2－8x＋10＝0配方得(x－4)2＋y2＝6，
由题意得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，整理得x＝.
答案：x＝
三、解答题
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
因为点M是BC的中点，
故点M的坐标为，即.
由两点间距离公式得
|BC|＝＝，
|AM|＝ ＝ .
所以|AM|＝|BC|.
10．求与y轴相切，且与圆A：x2＋y2－4x＝0也相切的圆P的圆心的轨迹方程．
解：把圆A的方程配方得(x－2)2＋y2＝4.
设P(x，y)为轨迹上任意一点．
当圆P与定圆A外切时，不妨设两圆切点为B，且圆P与y轴相切于点N，
则|PA|＝|PN|＋|AB|，
即＝|x|＋2.
当x＞0时，y2＝8x；当x＜0时，y＝0.
(2)当圆P与定圆A内切时，|PA|＝||PO|－|OA||，
即＝||x|－2|
x＞0时，y＝0；x＜0时，轨迹不存在．
综上可知，动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x(x＞0)和y＝0(x≠0，x≠2)．
1．解析几何的基本思想方法
用代数方法解决几何问题．
2．几何的最基本元素
点和曲线分别用坐标和方程表示，将点和曲线的几何性质都用坐标和方程的代数性质来表示和处理．
1．解析几何是如何研究曲线的？
[提示] 它是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线(包括直线)，通过研究方程的特征来研究曲线的性质．
2．运用坐标法应注意哪些问题呢？
[提示] 用坐标法解决几何问题应注意以下几点：
(1)建立恰当的平面直角坐标系；
(2)准确地用坐标和方程表示问题中的几何元素；
(3)最后应把代数运算结果“翻译”成几何结论.
利用坐标法证明几何问题
在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，|OA|＝8，|OB|＝6，点P为它的内切圆C上任一点，求证：点P到顶点A，B，O的距离的平方和d∈[72,84]．
[自主解答] 如图所示，以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系xOy，
则A(8,0)，B(0,6)，内切圆C的半径r＝＝2.
∴圆心坐标为(2,2)．
∴内切圆C的方程为
(x－2)2＋(y－2)2＝4.
设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A，B，O的距离的平方和为d，
则d＝|PA|2＋|PB|2＋|PO|2
＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2
＝3x2＋3y2－16x－12y＋100
＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76.
∵点P(x，y)在圆上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.
∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x.
∵点P(x，y)是圆C上的任意点，∴x∈[0,4]．
∴当x＝0时，dmax＝88，当x＝4时，dmin＝72.
坐标法的基本步骤
第一步：建立坐标系用坐标表示有关量．
第二步：进行有关代数运算．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
1．已知三角形ABC，AD为三角形的中线，求证：2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4|AD|2.
证明：以BC所在的直线为x轴，以BC的中点D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)．从而
|AB|2＝(x＋a)2＋y2，
|AC|2＝(x－a)2＋y2.
|BC|2＝4a2，|AD|2＝x2＋y2，
所以2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2
＝4x2＋4y2＝4(x2＋y2)，
所以2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4|AD|2.
求曲线的方程
设A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a＞0)，求P点的轨迹．
[自主解答] 设动点P的坐标为(x，y)，由＝a(a＞0)，得＝a.
化简得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0.
当a≠1时，得2＋y2＝2，表示以为圆心，以为半径的圆．
当a＝1时，原方程化简得x＝0，P点轨迹的表示直线，即y轴．
到两定点的距离的比为定值的点的轨迹可以是圆，丰富了圆的定义，这种方法为求轨迹的一种基本方法：“解析法”．
2．已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹，求出曲线的方程．
解：设P(x，y)为曲线上任意一点，则有
＝，即＝，
化简得，x2＋y2＋2x－3＝0，
即(x＋1)2＋y2＝4.
方程表示的是以(－1,0)为圆心，以2为半径的圆．
[随堂体验落实]
1．下列方程中表示圆的是( )
A．x2＋y2－2x＋2y－4＝0
B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0
C．x2＋2y2－2x＋4y＋3＝0
D．x2＋2y2＋4x－12y＋9＝0
解析：由圆的方程的一般式的特征可知，A中的方程表示圆．
答案：A
2．方程y＝－表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
解析：由y＝－得x2＋y2＝25.
∵y＝－≤0，∴曲线表示的半个圆．
答案：D
3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B．或
C．2或0 D．－2或0
解析：配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
故圆心为(1,2)．由已知得＝，
故|a－1|＝1，∴a＝2或a＝0.
答案：C
4．圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是________________．
解析：设弦的中点(x，y)，则(x－2)2＋(y＋1)2＋1＝9，
∴(x－2)2＋(y＋1)2＝8，
故弦的中点的轨迹方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝8.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝8
5．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．
解：由两圆的方程相减，消去二次项得到一个二元一次方程，此方程即为公共弦AB所在的直线方程：4x＋3y－10＝0.
法一：由
解得或
∴两交点的坐标分别是(－2,6)，(4，－2)．
故|AB|＝＝10.
法二：过C1作C1D⊥AB于D，易知，
圆C1的圆心C1(5,5)，半径r1＝5，
则|C1D|＝＝5.
∴|AB|＝2|AD|＝2＝2＝10.
[感悟高手解题]
[多解题]
已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
解：法一：设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为
(x－3)2＋(y－3)2＝4，
圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，
∴kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
法二：设弦PQ的中点坐标为M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为P，Q两点都在已知圆上，
所以
由②－①得
(x－x)＋(y－y)－6(x2－x1)－6(y2－y1)＝0，
即(x1＋x2－6)(x2－x1)＋(y1＋y2－6)(y2－y1)＝0.
当x1＝x2时，直线方程为x＝－3，显然不符合题意．
当x1≠x2时，·＝－1.
而x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
＝kPQ＝，
所以·＝－1，
整理得x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
一、选择题
1．直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．(0，－1) B．(－1，＋1)
C．(－－1，－1) D．(0，＋1)
解析：由得(1－y)2＋y2－2ay＝0，
即2y2－(2＋2a)y＋1＝0.∴Δ＝4(1＋a)2－8＜0，
解得－－1＜a＜－1.
又∵a＞0，∴0＜a＜－1.
答案：A
2．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．(－，) B. [－，]
C. D.
解析：显然直线l的斜率存在，设为k，
则直线l的方程为y＝k(x－4)．
依题意，圆心到直线l的距离d＝≤1，
故k∈.
答案：D
3．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0
解析：两圆关于直线l对称，则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0的圆心为P(3，－3)，则线段OP的中点为Q，其斜率kOP＝＝－1，则直线l的斜率为k＝1，故直线l的方程为y－＝x－，即x－y－3＝0.
答案：D
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：设P(x，y)，则＝2.
化简得x2＋y2－4x＝0，
配方，得(x－2)2＋y2＝4，
∴S＝πr2＝4π.
答案：B
二、填空题
5．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．
解析：圆心(1,1)到直线x＋y＝4的距离d＝＝，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2
6．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)在圆x2＋y2＝1的________．(填圆上、圆外或圆内)
解析：由＜1，得a2＋b2＞1，
∴P(a，b)在圆x2＋y2＞1的外部．
答案：圆外
7．已知x＋y＋1＝0，那么的最小值是________．
解析：表示点P(x，y)和点(－2，－3)的距离，
则的最小值为点(－2，－3)到直线x＋y＋1＝0的距离，
d＝＝＝2.
答案：2
8．已知圆O的方程是x2＋y2＝2，圆O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向圆O和圆O′所引的切线的长相等，则动点P的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)，圆x2＋y2－8x＋10＝0配方得(x－4)2＋y2＝6，
由题意得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，整理得x＝.
答案：x＝
三、解答题
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
因为点M是BC的中点，
故点M的坐标为，即.
由两点间距离公式得
|BC|＝＝，
|AM|＝ ＝ .
所以|AM|＝|BC|.
10．求与y轴相切，且与圆A：x2＋y2－4x＝0也相切的圆P的圆心的轨迹方程．
解：把圆A的方程配方得(x－2)2＋y2＝4.
设P(x，y)为轨迹上任意一点．
当圆P与定圆A外切时，不妨设两圆切点为B，且圆P与y轴相切于点N，
则|PA|＝|PN|＋|AB|，
即＝|x|＋2.
当x＞0时，y2＝8x；当x＜0时，y＝0.
(2)当圆P与定圆A内切时，|PA|＝||PO|－|OA||，
即＝||x|－2|
x＞0时，y＝0；x＜0时，轨迹不存在．
综上可知，动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x(x＞0)和y＝0(x≠0，x≠2)．