2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 7.5 空间直角坐标系
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| 名称 | 2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 7.5 空间直角坐标系 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 575.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 15:27:48 | ||
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文档简介
7．5空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
在空间取定一个点作为原点O，过原点O作三条两两垂直的直线作为坐标轴，分别叫作x轴，y轴，z轴，在这三条轴上分别取定正方向，并选取一个长度单位作为三条坐标轴上共同使用的长度单位，这就建立了一个空间直角坐标系．
2．长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和．即
|AC′|＝.
3．P(x，y，z)点到原点的距离
|OP|＝.
4．空间中两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)之间的距离的公式
|PQ|＝.
1．在直角坐标平面上的动点M(x，y)到一定点C(a，b)的距离等于定长r(r＞0)，则M点的轨迹是以(a，b)为圆心，以r为半径的圆，方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.那么建立了空间直角坐标系后，动点P(x，y，z)到原点的距离为定长r，那么，点P的轨迹是什么？方程应该怎么表示？
[提示] P点的轨迹是以原点为球心，半径为r的球面，方程为x2＋y2＋z2＝r2.
2．点P在空间直角坐标系的坐标平面xOy内，A点的坐标为(0,0,4)，且|PA|＝5，问满足条件的P点组成什么曲线？
[提示] 点P的轨迹是在xOy平面内以O为圆心，3为半径的圆．
确定空间任一点的坐标
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．
[自主解答] 建立如图所示的空间直角坐标系，点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.
过F作FM⊥AD，FN⊥DC，由平面几何知FM＝，FN＝，
故F点坐标为.
点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝，
故G点坐标为.
由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，
故HK＝，CK＝.
∴DK＝.故H点坐标为.
空间中点P坐标的确定方法
(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．
(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
1．如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，B′D′的中点，其长AB＝4，宽BC＝3，高DD′＝2.求点E，F的坐标．
解：∵点E在坐标平面xDy上的射影为点B(3,4,0)，竖坐标为1，
∴E点坐标为(3,4,1)．
∵点F在坐标平面xDy上的射影为点G，竖坐标为2，
∴F点坐标为.
求空间两点间的距离
如图所示，在长方体OABC-O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD⊥AC于点D，求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离．
[自主解答] 由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的坐标分别为：O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，O1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,3,2)，C1(0，3,2)．
∵E是BC的中点，∴点E的坐标为(1,3,0)，
∴由两点间的距离公式得
|B1E|＝＝.
设D(x，y,0)，在Rt△AOC中，|OA|＝2，|OC|＝3，|AC|＝，
∴|OD|＝＝.
在Rt△ODA中，|OD|2＝x·|OA|，∴x＝＝，
在Rt△ODC中 ，|OD|2＝y·|OC|，∴y＝＝.
∴点D，由两点间的距离公式得
|O1D|＝ ＝ ＝.
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：
2．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.
解：如图，以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则B(4,0,0)，C1(0,4,4)，A1(0,0,4)，B1(4,0,4)．
因为M为BC1的中点，
所以由中点公式得M，即M(2,2,2)，
又N为A1B1的中点，所以N(2,0,4)．
所以由两点间的距离公式得
|MN|＝＝2.
空间两点间距离公式的应用
在空间直角坐标系中，解答下列各题：
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
[自主解答] (1)因为点P在x轴上，
所以设点P(x,0,0)，由题意，得
|P0P|＝＝.
解得x＝9或x＝－1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
(2)由已知，可设M(x,1－x,0)，则
|MN|＝
＝.
所以当x＝1时，|MN|min＝，
此时点M(1,0,0)．
应用坐标法求空间两点间距离的优缺点
(1)优点是利用坐标将抽象的空间想象转化为相对简单且大家熟悉的代数计算，便于问题的解决．
(2)缺点是对坐标的要求较高，必须要正确写出坐标来，否则一个坐标写错，可能整个题目全错．
3．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3)．在y轴上是否存在点M，使 △MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解：假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形．
由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，
所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形．
因为|MA|＝＝，|AB|＝2.
于是＝2，解得y＝±.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，
此时点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．
[随堂体验落实]
1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限内
解析：点(2,0,3)的y坐标为0，所以该点在xOz平面上．
答案：C
2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面对称的点的坐标是( )
A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)
解析：过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面对称的点P2的中点，因为N的坐标为(－2,1,0)，所以对称点P2的坐标为(－2,1，－4)．
答案：A
3．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )
A．4 B．2
C．4 D．3
解析：|AB|＝＝4.
答案：A
4．已知A(4，－7,1)，B(6,2，z)，若|AB|＝10，则z＝________.
解析：由两点间距离公式得
(4－6)2＋(－7－2)2＋(1－z)2＝100，
∴(1－z)2＝15，
∴z＝1±.
答案：1±
5．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．
解：如图，以A为坐标原点，以射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，
分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，
则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝|AB|＝，
所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－＝.
所以点E的坐标为，点F的坐标为(1,2,1)．
[感悟高手解题]
[多解题]
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，C，A1，B1的坐标．
解：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，
各点坐标分别为A(0,0,0)，B，C(0，a，0)，
A1(0,0，a)，B1，
法二：如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系．
由已知得A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C，B1(0，a，a)．
法三：O，O1分别为AC，A1C1的中点，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得A，
B，C，
A1，
B1.
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，A(－6,0,1)，B(3，－5,7)，则|AB|等于( )
A. B.
C. D．4
解析：|AB|＝＝＝.
答案：A
2．给定空间直角坐标系，若y轴上有一点P，且它与点P0(1,2,3)的距离为，则点P的坐标是( )
A．(0,6,0) B．(0，－2,0)
C．(0,0,0) D．(0,6,0)或(0，－2,0)
解析：由题意设点P的坐标是(0，y,0)，因为|P0P|＝，
即＝，
所以(y－2)2＝16，解得y＝6或y＝－2，
所以点P的坐标是(0,6,0)或(0，－2,0)．
答案：D
3．以A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)三点为顶点的三角形的形状是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：因为|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
|AB|＝＝，
所以|AC|＝|BC|，则△ABC为等腰三角形．
答案：B
4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7 B．－7
C．－1 D．1
解析：由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，
点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，
故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.
答案：D
二、填空题
5．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是________．
解析：因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．
由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，
整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，
即点M的坐标为(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0)
6．已知长方体ABCD-A1B1C1D1的四个顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,3)，则该长方体对角线的长为________．
解析：长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，B，D，A1分别在原点，x轴，y轴和z轴的正半轴上，所以点C，B1，C1，D1的坐标分别为C(1,2,0)，B1(1,0,3)，C1(1,2,3)，D1(0，2,3)．
由两点间距离公式，得|AC1|＝＝，
由长方体的性质，得|A1C|＝|BD1|＝|AC1|＝|B1D|，
所以对角线的长为.
答案：
7．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．
解析：由空间两点间的距离公式易得|AB|＝，
所以当a＝－1时，|AB|的值最小，最小值为＝3.
答案：3
8．点M(4，－3,5)到x轴的距离为m，到xOy坐标平面的距离为n，则m2＋n＝________.
解析：由题意得m2＝＝34，
而点M到xOy坐标平面的距离为5，故m2＋n＝39.
答案：39
三、解答题
9．已知坐标平面yOz上一点P满足：
(1)三坐标之和为2；
(2)到点A(3,2,5)，B(3,5,2)的距离相等．
求P点的坐标．
解：设P(0，y，z)，则
解得∴P点的坐标为(0,1,1)．
10．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF.
证明：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝|AD|＝2，四边形ABCD是矩形，
∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)．
∴|PB|＝＝2，
|BC|＝＝2，
∴|PB|＝|BC|，
又F为PC的中点，∴PC⊥BF.同理，PC⊥EF.
1．点的坐标
(1)两点间距离公式：两点P1(x1，y1)，Q(x2，y2)的距离|PQ|＝.
(2)定比分点坐标公式：分两点A(x1，y1)，B(x2，y2)所构成的有向线段为定比λ的分点的坐标为，.
(3)三角形重心坐标公式：以(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为顶点的三角形的重心坐标为，.
(4)三角形面积的公式：以向量(x1，y1)，(x2，y2)为两边的三角形的面积S＝|x1y2－x2y1|.
2．直线与方程
(1)直线法向量的应用
①直线垂直于向量(A，B)(法向量)?直线方程Ax＋By＋C＝0(C待定)．
②两条直线平行或重合?它们的法向量平行．
两条直线相交?它们的法向量不平行．
③两直线垂直?它们的法向量垂直(内积为0)．
(2)直线方程的几种形式
名称
方程
常数的几何意义
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率
直线不垂直于x轴
斜截式
y＝kx＋b
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
直线不垂直于x轴
两点式
(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点
任何情况
一般式
Ax＋By＋C＝0，(A，B不同时为0)
A，B，C为系数
任何情况
特殊直线
x＝a (y轴：x＝0)
垂直于x轴且过点(a,0)
斜率不存在
y＝b (x轴：y＝0)
垂直于y轴且过点(0，b)
斜率k＝0
(3)斜率公式和点到直线的距离公式
①k＝. ②d＝.
3．圆与方程
(1)标准方程：以(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．其中圆心坐标.
r＝.
(3)圆与直线的相互关系
由圆心到直线的距离d与圆的半径r的相互关系决定：
相离?d＞r，
相交?d＜r，
相切?d＝r.
(4)圆与圆的相互关系由两圆的半径R，r及圆心距d决定，有如下关系：(不妨设R≥r)
外离?d＞R＋r，
外切?d＝R＋r，
相交?R－r＜d＜R＋r，
内切?d＝R－r＞0，
内含?d＜R－r，
同心?d＝0.
4．空间两点间的距离
空间两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)的距离：
|PQ|＝.
定比分点坐标公式的应用
[例1] 点P1和P2的坐标分别是(－1，－6)和(3,0)，点P的横坐标为－，求点P分所成的比λ和点P的纵坐标y.
[解] 由λ的定义可得λ＝＝＝－，
y＝＝＝－8.
点P分所成的比为－，点P的纵坐标是－8.
(1)点P在线段P1P2上，则定比λ＞0，此时称分点P为内分点．
(2)点P在线段P1P2(或P2P1)的延长线上，则定比λ＜0，此时分点P是外分点．
1．已知A(2,1)，B(3，－1)及直线l：y＝4x－5，直线AB与l相交于P点，求P点分的比λ.
解：设P(x，y)，则由＝λ，得
(x，y)＝(2,1)＋(3，－1)
＝.
又∵点P在直线l上，
∴＝－5，
∴λ＝－.
2．已知点A(－1，－1)，B(2,5)，点C在直线AB上，且＝－5，求C点坐标．
解：∵＝－5，∴λ＝＝5.
设C点坐标为(x，y)，利用定比分点的坐标公式有：
x＝＝，
y＝＝4，
∴C点坐标为.
直线方程
[例2] 直线l过点P(8,6)且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．
[解] 设所求直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－.
∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形，
∴|b|＝.
∵b≠0，∴k＝±1.
当k＝1时，直线l的方程为y＝x＋b，
把P(8,6)代入得6＝8＋b，解得b＝－2，
∴直线l的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0；
当k＝－1时，直线l的方程为y＝－x＋b，
把P(8,6)代入得6＝－8＋b，解得b＝14，
∴直线l的方程为y＝－x＋14，即x＋y－14＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y－14＝0或x－y－2＝0.
解决直线问题时经常要用直线方程解决问题，但很多时候直线的方程并非已知，而是要通过设直线的方程，合理和灵活地把方程形式表示出来，思路才比较简捷，运算也比较简单．
3．已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求
(1)AB边的方程；
(2)AC和BC所在直线的方程．
解：(1)如图所示，AB边的方程为y＝1(1≤x≤5)．
(2)由AB∥x轴及△ABC在第一象限，可知
kAC＝tan 60°＝，
kBC＝tan(180°－45°)＝－1.
由点斜式可得AC，BC边所在直线的方程分别为
y－1＝(x－1)，y－1＝－(x－5)．
即x－y＋1－＝0，x＋y－6＝0.
4．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．
解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2，
又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．
设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，
由两平行直线间的距离公式，得d1＝，d2＝，
又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，
解得m＝－25或m＝－9.
故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.
圆的方程
[例3] 有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此 圆的方程．
[解] 法一：由题意可设所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，
又圆过点(5,2)，代入求得λ＝－1，
∴所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，
得
解得a＝5，b＝，r2＝.
∴圆的方程为(x－5)2＋2＝.
法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，
得解得
∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法四：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，
则CA方程为y－6＝－(x－3)，
即3x＋4y－33＝0.
又kAB＝＝－2，∴kBP＝，
∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.
解方程组得
∴P(7,3)．
∴圆心为AP中心，半径为|AC|＝.
∴所求圆的方程为(x－5)2＋2＝.
求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
(1)选择圆的方程的某一形式；
(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
(3)解出a，b，r(或D，E，F)；
(4)代入圆的方程．
5．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，5) B.
C. D.
解析：∵x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的一般方程，
∴D2＋E2－4F＝4＋1－4k＞0，∴k＜.
答案：B
6．圆心在直线4x＋y＝0上且过点P(4,1)，Q(2，－1)的圆的方程是______________．
解析：据题意可得线段PQ的垂直平分线方程是x＋y－3＝0，
圆心必为直线x＋y－3＝0与直线4x＋y＝0的交点M(－1,4)，
则r2＝|MP|2＝34，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－4)2＝34.
答案：(x＋1)2＋(y－4)2＝34
7．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M.
(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；
(2)求圆M的方程．
解：(1)法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中点D的坐标为(1，－2)．
又A(－3,0)，所以直线AD的方程为＝，
即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，
则△ABC是等腰三角形，
所以AD⊥BC.
因为直线BC的斜率kBC＝2，
所以直线AD的斜率kAD＝－，
由直线的点斜式方程，得y－0＝－(x＋3)，
所以直线AD的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
(2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，
得解得
所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋y－6＝0.
直线和圆的位置关系
[例4] 已知一圆C的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l：x－y－1＝0截得的弦长为2，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程．
[解] 设圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，
则弦长l＝2，其中d为圆心到直线x－y－1＝0的距离，d＝.
∴l＝2＝2，
∴r2＝4.
圆方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
由
解得弦的两端点坐标是(2,1)和(0，－1)．
∴过弦两端点的该圆的切线方程是x＝0和y＝1.
直线与圆相交弦长问题的解决，常采用根与系数的关系或几何法(半弦长，圆心距和圆的半径构成直角三角形)来解决．此题用待定系数法求圆的方程远不如利用几何法解题更为简捷．
8．已知2a2＋2b2＝c2，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
解析：圆心(0,0)到直线的距离为＝＝＜2，且＞0，
∴直线与圆相交但不过圆心．
答案：A
9．直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )
A．|b|＝ B．－1C．－1≤b≤1 D．非A，B，C的结论
解析：作出曲线x＝和直线y＝x＋b，
利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．
将曲线x＝变为x2＋y2＝1(x≥0)．当直线y＝x＋b与曲线x2＋y2＝1相切时，则满足＝1，|b|＝，b＝±.
观察图象，可得当b＝－或－1答案：B
10．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
解析：依题意直线l斜率存在，设为k，
则l方程为y＋2＝k(x＋1)，
圆方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
由弦长为及几何图形，可知圆心(1,1)到直线l的距离d＝＝，
根据点到直线距离公式可计算得k＝1或.
答案：1或
圆与圆的位置关系
[例5] 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，
圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，当m为何值时，圆C1与圆C2相切．
[解] 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9.
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
∴两圆的圆心C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径r1＝3，
r2＝2，且|C1C2|＝.
①若圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝r1＋r2，
即＝5.
解得m＝－5或m＝2.
②如果C1与C2内切，则有
＝3－2＝1，
即m2＋3m＋2＝0，
∴m＝－1或m＝－2.
故当m＝－1或m＝－2或m＝－5或m＝2时两圆相切．
针对这个类型的题目，其通法即为利用圆心距与两圆半径的和与差的关系判断，特别注意的是两圆相切分为外切和内切两种不同情况，也可以联立方程用“Δ”法根据方程根的个数来判断两圆位置关系，但此法不常用．
11．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析：∵两圆标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
(x－3)2＋y2＝9，
∴两圆的圆心分别为O1(2，－3)，O2(3,0)，
又∵AB的垂直平分线的方程即为直线O1O2的方程．
∴由O1，O2两点式方程得AB的垂直平分线方程为3x－y－9＝0.
答案：C
12．若圆B：x2＋y2＋b＝0与圆C：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：由已知圆B：x2＋y2＝－b，∴－b＞0，b＜0.
又圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
∵圆B的圆心恰在圆C上，要想两圆无公共点，圆B的半径＞10，
∴b＜－100.
答案：(－∞，－100)
1．空间直角坐标系
在空间取定一个点作为原点O，过原点O作三条两两垂直的直线作为坐标轴，分别叫作x轴，y轴，z轴，在这三条轴上分别取定正方向，并选取一个长度单位作为三条坐标轴上共同使用的长度单位，这就建立了一个空间直角坐标系．
2．长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和．即
|AC′|＝.
3．P(x，y，z)点到原点的距离
|OP|＝.
4．空间中两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)之间的距离的公式
|PQ|＝.
1．在直角坐标平面上的动点M(x，y)到一定点C(a，b)的距离等于定长r(r＞0)，则M点的轨迹是以(a，b)为圆心，以r为半径的圆，方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.那么建立了空间直角坐标系后，动点P(x，y，z)到原点的距离为定长r，那么，点P的轨迹是什么？方程应该怎么表示？
[提示] P点的轨迹是以原点为球心，半径为r的球面，方程为x2＋y2＋z2＝r2.
2．点P在空间直角坐标系的坐标平面xOy内，A点的坐标为(0,0,4)，且|PA|＝5，问满足条件的P点组成什么曲线？
[提示] 点P的轨迹是在xOy平面内以O为圆心，3为半径的圆．
确定空间任一点的坐标
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．
[自主解答] 建立如图所示的空间直角坐标系，点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.
过F作FM⊥AD，FN⊥DC，由平面几何知FM＝，FN＝，
故F点坐标为.
点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝，
故G点坐标为.
由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，
故HK＝，CK＝.
∴DK＝.故H点坐标为.
空间中点P坐标的确定方法
(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．
(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
1．如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，B′D′的中点，其长AB＝4，宽BC＝3，高DD′＝2.求点E，F的坐标．
解：∵点E在坐标平面xDy上的射影为点B(3,4,0)，竖坐标为1，
∴E点坐标为(3,4,1)．
∵点F在坐标平面xDy上的射影为点G，竖坐标为2，
∴F点坐标为.
求空间两点间的距离
如图所示，在长方体OABC-O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD⊥AC于点D，求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离．
[自主解答] 由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的坐标分别为：O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，O1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,3,2)，C1(0，3,2)．
∵E是BC的中点，∴点E的坐标为(1,3,0)，
∴由两点间的距离公式得
|B1E|＝＝.
设D(x，y,0)，在Rt△AOC中，|OA|＝2，|OC|＝3，|AC|＝，
∴|OD|＝＝.
在Rt△ODA中，|OD|2＝x·|OA|，∴x＝＝，
在Rt△ODC中 ，|OD|2＝y·|OC|，∴y＝＝.
∴点D，由两点间的距离公式得
|O1D|＝ ＝ ＝.
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：
2．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.
解：如图，以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则B(4,0,0)，C1(0,4,4)，A1(0,0,4)，B1(4,0,4)．
因为M为BC1的中点，
所以由中点公式得M，即M(2,2,2)，
又N为A1B1的中点，所以N(2,0,4)．
所以由两点间的距离公式得
|MN|＝＝2.
空间两点间距离公式的应用
在空间直角坐标系中，解答下列各题：
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
[自主解答] (1)因为点P在x轴上，
所以设点P(x,0,0)，由题意，得
|P0P|＝＝.
解得x＝9或x＝－1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
(2)由已知，可设M(x,1－x,0)，则
|MN|＝
＝.
所以当x＝1时，|MN|min＝，
此时点M(1,0,0)．
应用坐标法求空间两点间距离的优缺点
(1)优点是利用坐标将抽象的空间想象转化为相对简单且大家熟悉的代数计算，便于问题的解决．
(2)缺点是对坐标的要求较高，必须要正确写出坐标来，否则一个坐标写错，可能整个题目全错．
3．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3)．在y轴上是否存在点M，使 △MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解：假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形．
由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，
所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形．
因为|MA|＝＝，|AB|＝2.
于是＝2，解得y＝±.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，
此时点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．
[随堂体验落实]
1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限内
解析：点(2,0,3)的y坐标为0，所以该点在xOz平面上．
答案：C
2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面对称的点的坐标是( )
A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)
解析：过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面对称的点P2的中点，因为N的坐标为(－2,1,0)，所以对称点P2的坐标为(－2,1，－4)．
答案：A
3．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )
A．4 B．2
C．4 D．3
解析：|AB|＝＝4.
答案：A
4．已知A(4，－7,1)，B(6,2，z)，若|AB|＝10，则z＝________.
解析：由两点间距离公式得
(4－6)2＋(－7－2)2＋(1－z)2＝100，
∴(1－z)2＝15，
∴z＝1±.
答案：1±
5．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．
解：如图，以A为坐标原点，以射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，
分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，
则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝|AB|＝，
所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－＝.
所以点E的坐标为，点F的坐标为(1,2,1)．
[感悟高手解题]
[多解题]
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，C，A1，B1的坐标．
解：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，
各点坐标分别为A(0,0,0)，B，C(0，a，0)，
A1(0,0，a)，B1，
法二：如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系．
由已知得A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C，B1(0，a，a)．
法三：O，O1分别为AC，A1C1的中点，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得A，
B，C，
A1，
B1.
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，A(－6,0,1)，B(3，－5,7)，则|AB|等于( )
A. B.
C. D．4
解析：|AB|＝＝＝.
答案：A
2．给定空间直角坐标系，若y轴上有一点P，且它与点P0(1,2,3)的距离为，则点P的坐标是( )
A．(0,6,0) B．(0，－2,0)
C．(0,0,0) D．(0,6,0)或(0，－2,0)
解析：由题意设点P的坐标是(0，y,0)，因为|P0P|＝，
即＝，
所以(y－2)2＝16，解得y＝6或y＝－2，
所以点P的坐标是(0,6,0)或(0，－2,0)．
答案：D
3．以A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)三点为顶点的三角形的形状是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：因为|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
|AB|＝＝，
所以|AC|＝|BC|，则△ABC为等腰三角形．
答案：B
4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7 B．－7
C．－1 D．1
解析：由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，
点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，
故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.
答案：D
二、填空题
5．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是________．
解析：因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．
由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，
整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，
即点M的坐标为(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0)
6．已知长方体ABCD-A1B1C1D1的四个顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,3)，则该长方体对角线的长为________．
解析：长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，B，D，A1分别在原点，x轴，y轴和z轴的正半轴上，所以点C，B1，C1，D1的坐标分别为C(1,2,0)，B1(1,0,3)，C1(1,2,3)，D1(0，2,3)．
由两点间距离公式，得|AC1|＝＝，
由长方体的性质，得|A1C|＝|BD1|＝|AC1|＝|B1D|，
所以对角线的长为.
答案：
7．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．
解析：由空间两点间的距离公式易得|AB|＝，
所以当a＝－1时，|AB|的值最小，最小值为＝3.
答案：3
8．点M(4，－3,5)到x轴的距离为m，到xOy坐标平面的距离为n，则m2＋n＝________.
解析：由题意得m2＝＝34，
而点M到xOy坐标平面的距离为5，故m2＋n＝39.
答案：39
三、解答题
9．已知坐标平面yOz上一点P满足：
(1)三坐标之和为2；
(2)到点A(3,2,5)，B(3,5,2)的距离相等．
求P点的坐标．
解：设P(0，y，z)，则
解得∴P点的坐标为(0,1,1)．
10．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF.
证明：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝|AD|＝2，四边形ABCD是矩形，
∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)．
∴|PB|＝＝2，
|BC|＝＝2，
∴|PB|＝|BC|，
又F为PC的中点，∴PC⊥BF.同理，PC⊥EF.
1．点的坐标
(1)两点间距离公式：两点P1(x1，y1)，Q(x2，y2)的距离|PQ|＝.
(2)定比分点坐标公式：分两点A(x1，y1)，B(x2，y2)所构成的有向线段为定比λ的分点的坐标为，.
(3)三角形重心坐标公式：以(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为顶点的三角形的重心坐标为，.
(4)三角形面积的公式：以向量(x1，y1)，(x2，y2)为两边的三角形的面积S＝|x1y2－x2y1|.
2．直线与方程
(1)直线法向量的应用
①直线垂直于向量(A，B)(法向量)?直线方程Ax＋By＋C＝0(C待定)．
②两条直线平行或重合?它们的法向量平行．
两条直线相交?它们的法向量不平行．
③两直线垂直?它们的法向量垂直(内积为0)．
(2)直线方程的几种形式
名称
方程
常数的几何意义
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率
直线不垂直于x轴
斜截式
y＝kx＋b
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
直线不垂直于x轴
两点式
(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点
任何情况
一般式
Ax＋By＋C＝0，(A，B不同时为0)
A，B，C为系数
任何情况
特殊直线
x＝a (y轴：x＝0)
垂直于x轴且过点(a,0)
斜率不存在
y＝b (x轴：y＝0)
垂直于y轴且过点(0，b)
斜率k＝0
(3)斜率公式和点到直线的距离公式
①k＝. ②d＝.
3．圆与方程
(1)标准方程：以(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．其中圆心坐标.
r＝.
(3)圆与直线的相互关系
由圆心到直线的距离d与圆的半径r的相互关系决定：
相离?d＞r，
相交?d＜r，
相切?d＝r.
(4)圆与圆的相互关系由两圆的半径R，r及圆心距d决定，有如下关系：(不妨设R≥r)
外离?d＞R＋r，
外切?d＝R＋r，
相交?R－r＜d＜R＋r，
内切?d＝R－r＞0，
内含?d＜R－r，
同心?d＝0.
4．空间两点间的距离
空间两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)的距离：
|PQ|＝.
定比分点坐标公式的应用
[例1] 点P1和P2的坐标分别是(－1，－6)和(3,0)，点P的横坐标为－，求点P分所成的比λ和点P的纵坐标y.
[解] 由λ的定义可得λ＝＝＝－，
y＝＝＝－8.
点P分所成的比为－，点P的纵坐标是－8.
(1)点P在线段P1P2上，则定比λ＞0，此时称分点P为内分点．
(2)点P在线段P1P2(或P2P1)的延长线上，则定比λ＜0，此时分点P是外分点．
1．已知A(2,1)，B(3，－1)及直线l：y＝4x－5，直线AB与l相交于P点，求P点分的比λ.
解：设P(x，y)，则由＝λ，得
(x，y)＝(2,1)＋(3，－1)
＝.
又∵点P在直线l上，
∴＝－5，
∴λ＝－.
2．已知点A(－1，－1)，B(2,5)，点C在直线AB上，且＝－5，求C点坐标．
解：∵＝－5，∴λ＝＝5.
设C点坐标为(x，y)，利用定比分点的坐标公式有：
x＝＝，
y＝＝4，
∴C点坐标为.
直线方程
[例2] 直线l过点P(8,6)且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．
[解] 设所求直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－.
∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形，
∴|b|＝.
∵b≠0，∴k＝±1.
当k＝1时，直线l的方程为y＝x＋b，
把P(8,6)代入得6＝8＋b，解得b＝－2，
∴直线l的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0；
当k＝－1时，直线l的方程为y＝－x＋b，
把P(8,6)代入得6＝－8＋b，解得b＝14，
∴直线l的方程为y＝－x＋14，即x＋y－14＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y－14＝0或x－y－2＝0.
解决直线问题时经常要用直线方程解决问题，但很多时候直线的方程并非已知，而是要通过设直线的方程，合理和灵活地把方程形式表示出来，思路才比较简捷，运算也比较简单．
3．已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求
(1)AB边的方程；
(2)AC和BC所在直线的方程．
解：(1)如图所示，AB边的方程为y＝1(1≤x≤5)．
(2)由AB∥x轴及△ABC在第一象限，可知
kAC＝tan 60°＝，
kBC＝tan(180°－45°)＝－1.
由点斜式可得AC，BC边所在直线的方程分别为
y－1＝(x－1)，y－1＝－(x－5)．
即x－y＋1－＝0，x＋y－6＝0.
4．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．
解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2，
又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．
设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，
由两平行直线间的距离公式，得d1＝，d2＝，
又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，
解得m＝－25或m＝－9.
故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.
圆的方程
[例3] 有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此 圆的方程．
[解] 法一：由题意可设所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，
又圆过点(5,2)，代入求得λ＝－1，
∴所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，
得
解得a＝5，b＝，r2＝.
∴圆的方程为(x－5)2＋2＝.
法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，
得解得
∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法四：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，
则CA方程为y－6＝－(x－3)，
即3x＋4y－33＝0.
又kAB＝＝－2，∴kBP＝，
∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.
解方程组得
∴P(7,3)．
∴圆心为AP中心，半径为|AC|＝.
∴所求圆的方程为(x－5)2＋2＝.
求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
(1)选择圆的方程的某一形式；
(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
(3)解出a，b，r(或D，E，F)；
(4)代入圆的方程．
5．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，5) B.
C. D.
解析：∵x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的一般方程，
∴D2＋E2－4F＝4＋1－4k＞0，∴k＜.
答案：B
6．圆心在直线4x＋y＝0上且过点P(4,1)，Q(2，－1)的圆的方程是______________．
解析：据题意可得线段PQ的垂直平分线方程是x＋y－3＝0，
圆心必为直线x＋y－3＝0与直线4x＋y＝0的交点M(－1,4)，
则r2＝|MP|2＝34，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－4)2＝34.
答案：(x＋1)2＋(y－4)2＝34
7．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M.
(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；
(2)求圆M的方程．
解：(1)法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中点D的坐标为(1，－2)．
又A(－3,0)，所以直线AD的方程为＝，
即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，
则△ABC是等腰三角形，
所以AD⊥BC.
因为直线BC的斜率kBC＝2，
所以直线AD的斜率kAD＝－，
由直线的点斜式方程，得y－0＝－(x＋3)，
所以直线AD的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
(2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，
得解得
所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋y－6＝0.
直线和圆的位置关系
[例4] 已知一圆C的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l：x－y－1＝0截得的弦长为2，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程．
[解] 设圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，
则弦长l＝2，其中d为圆心到直线x－y－1＝0的距离，d＝.
∴l＝2＝2，
∴r2＝4.
圆方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
由
解得弦的两端点坐标是(2,1)和(0，－1)．
∴过弦两端点的该圆的切线方程是x＝0和y＝1.
直线与圆相交弦长问题的解决，常采用根与系数的关系或几何法(半弦长，圆心距和圆的半径构成直角三角形)来解决．此题用待定系数法求圆的方程远不如利用几何法解题更为简捷．
8．已知2a2＋2b2＝c2，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
解析：圆心(0,0)到直线的距离为＝＝＜2，且＞0，
∴直线与圆相交但不过圆心．
答案：A
9．直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )
A．|b|＝ B．－1
解析：作出曲线x＝和直线y＝x＋b，
利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．
将曲线x＝变为x2＋y2＝1(x≥0)．当直线y＝x＋b与曲线x2＋y2＝1相切时，则满足＝1，|b|＝，b＝±.
观察图象，可得当b＝－或－1
10．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
解析：依题意直线l斜率存在，设为k，
则l方程为y＋2＝k(x＋1)，
圆方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
由弦长为及几何图形，可知圆心(1,1)到直线l的距离d＝＝，
根据点到直线距离公式可计算得k＝1或.
答案：1或
圆与圆的位置关系
[例5] 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，
圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，当m为何值时，圆C1与圆C2相切．
[解] 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9.
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
∴两圆的圆心C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径r1＝3，
r2＝2，且|C1C2|＝.
①若圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝r1＋r2，
即＝5.
解得m＝－5或m＝2.
②如果C1与C2内切，则有
＝3－2＝1，
即m2＋3m＋2＝0，
∴m＝－1或m＝－2.
故当m＝－1或m＝－2或m＝－5或m＝2时两圆相切．
针对这个类型的题目，其通法即为利用圆心距与两圆半径的和与差的关系判断，特别注意的是两圆相切分为外切和内切两种不同情况，也可以联立方程用“Δ”法根据方程根的个数来判断两圆位置关系，但此法不常用．
11．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析：∵两圆标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
(x－3)2＋y2＝9，
∴两圆的圆心分别为O1(2，－3)，O2(3,0)，
又∵AB的垂直平分线的方程即为直线O1O2的方程．
∴由O1，O2两点式方程得AB的垂直平分线方程为3x－y－9＝0.
答案：C
12．若圆B：x2＋y2＋b＝0与圆C：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：由已知圆B：x2＋y2＝－b，∴－b＞0，b＜0.
又圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
∵圆B的圆心恰在圆C上，要想两圆无公共点，圆B的半径＞10，
∴b＜－100.
答案：(－∞，－100)