2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 阶段质量检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为(　　)
A．－3　　　　　　　　　 B．－6
C. D．
解析：由题意得－＝3得a＝－6.
答案：B
2．在空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是(　　)
A．2 B．2
C．9 D.
解析：由空间直角坐标系中两点间的距离公式得
|AB|＝＝.
答案：D
3．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy(　　)
A．无最小值且无最大值 B．无最小值但有最大值
C．有最小值但无最大值 D．有最小值且有最大值
解析：线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，
于是y＝4(0≤x≤3)，从而xy＝4x＝－2＋3，
显然当x＝∈[0,3]时，xy取最大值为3；当x＝0或3时，xy取最小值0.
答案：D
4．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于(　　)
A.或－ B．－或3
C．－3或 D．－3或3
解析：圆的方程变形为(x－1)2＋y2＝3，圆心(1,0)到直线x－y＋m＝0的距离等于半径，
即＝?|＋m|＝2?m＝或m＝－3.
答案：C
5．(全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1， 则a＝(　　)
A．－ B．－
C. D．2
解析：因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，
所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，
解得a＝－.
答案：A
6．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋(y＋1)2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析：圆C与已知圆关于直线y＝－x对称，其半径不变，只是圆心变化，
两圆的圆心关于直线y＝－x对称，
则圆心的横、纵坐标交换位置，并取相反数，
可得圆C的圆心为(0，－1)，
由此可知选B.
答案：B
7．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析：由于圆心在直线x＋y－2＝0上，
故可设圆心坐标为(a,2－a)，半径长为r，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2，
由圆过点A(1，－1)，B(－1,1)得
解得a＝1，r2＝4.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案：C
8．直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则实数m的值为(　　)
A．2或 B．2或－
C．－2或－ D．－2或
解析：由题意知，直线过(1,0)，代入直线方程解得m＝2或m＝.
答案：A
9．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
解析：由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．
因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.
又AP的斜率k＝＝－，所以直线MN的斜率为2，
所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
答案：D
10．直线x＋y－1＝0被圆x2＋y2－2x－2y－7＝0所截得的线段的中点为(　　)
A. B．(0,0)
C. D.
解析：过圆心(1,1)且垂直x＋y－1＝0的直线为y－1＝x－1，即y＝x.
由得x＝y＝，故中点为.
答案：A
11．点A(1,1)，B(3,5)到经过点(2,1)的直线l的距离相等，则l的方程为(　　)
A．2x－y－3＝0 B．x＝2
C．2x－y－3＝0或x＝2 D．以上都不对
解析：当A，B都在l的同侧时，
设l的方程为y－1＝k(x－2)，
此时，AB∥l，所以k＝kAB＝＝2，
l的方程为2x－y－3＝0.
当A，B在l的两侧时，A，B到x＝2的距离相等，
因此，l的方程为x＝2.
答案：C
12．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)
A．30 B．18
C．6 D．5
解析：配方得(x－2)2＋(y－2)2＝18.圆心(2,2)到直线x＋y－14＝0的距离为d＝＝5，又半径r＝3，∴圆上的点到直线的最大距离为d＋R＝8.最小距离为d－R＝2.∴8－2＝6.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则a，b，c应满足________．
解析：由题意知，直线的斜率大于0，在y轴上截距大于0，在x轴上截距小于0，
则ab<0，bc<0.
答案：ab<0，bc<0
14．已知点A(3,2)，B(－2，a)，C(8,12)在同一条直线上，则a＝________.
解析：过A，C的直线方程为：y－2＝2(x－3)，即2x－y－4＝0.
又(－2，a)在直线2x－y－4＝0上，∴a＝－8.
答案：－8
15．(全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝，
因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a，
即x－y＋2a＝0的距离d＝＝，
由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
答案：4π
16．已知点P1和P2的坐标分别是(4，－3)和(－2,6)，若＝4，点P在线段P1P2的延长线上，则P点坐标为________．
解析：∵点P在线段P1P2的延长线上，∴＝－4.
∴xP＝＝－4，yP＝＝9.
故P点坐标为(－4,9)．
答案：(－4,9)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l垂直于直线3x＋2y－6＝0，且在两坐标轴上的截距之和为－2，求直线l的方程．
解：依题意可设l的方程为2x－3y＋m＝0.
分别令x＝0，y＝0得，y＝，x＝－，
由已知得，－＝－2，
解得m＝12.
因此直线l的方程为2x－3y＋12＝0.
18．(本小题满分12分)直线l1：x＋y＋8＝0，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
解：由C，D两点的横坐标知，l2的斜率一定存在，
设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.
(1)因为l1∥l2，又直线l1的斜率k1＝－1，
所以－＝－1，即a＝3.
(2)因为l1⊥l2，又直线l1的斜率k1＝－1，
所以－·(－1)＝－1，即a＝－3.
19．(本小题满分12分)已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点O的距离为2的直线的方程；
(2)求过点P且与原点O的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；
(3)是否存在过点P且与原点O的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x＝2符合题意．
②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为
y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
根据题意，得＝2，解得k＝.
则直线方程为3x－4y－10＝0.
故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.
(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．
则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
最大距离为.
(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，
而6>，故不存在这样的直线．
20．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
解：(1)直线l的方程可化为m(x－1)－y＋1＝0，
由得
即直线l过定点P(1,1)．
又P(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5内，
所以直线l与圆C相交．
(2)设圆心C(0,1)到直线l的距离为d，则
d＝＝，
即＝，解得m＝±1.
所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
21．(本小题满分12分)已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；
(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程．
解：(1)设P(2m，m)，
由题可知MP＝2，所以(2m)2＋(m－2)2＝4，
解得m＝0或m＝，
故所求点P的坐标为P(0,0)或P.
(2)由题意易知k存在，设直线CD的方程为y－1＝k(x－2)，
由题知圆心M到直线CD的距离为，
所以＝，解得k＝－1或k＝－，
故所求直线CD的方程为：x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.
22．(本小题满分12分)(全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，
可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
模块综合检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知一直线的斜率为3，且经过A(3,4)，B(x,7)两点，则x的值为(　　)
A．4　　　　　　　　　 　B．12
C．－6 D．3
解析：由斜率公式得k＝＝3，解得x＝4.
答案：A
2．关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：
①OP的中点坐标为；
②点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
③点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；
④点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．
其中正确说法的个数是(　　)
A．2　　　　　　　　　 　B．3
C．4 D．1
解析：①显然正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故②错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故③错；④显然正确．
答案：A
3．过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程为(　　)
A．x＝1 B．y＝1
C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝0
解析：由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时，l应与圆心与M点的连线垂直，
设圆心为O，则O(2,0)，kOM＝＝－2，
∴直线l的斜率为，∴l的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
答案：D
4．已知直线y＝kx与圆(x－4)2＋y2＝4相切，则直线的倾斜角为(　　)
A.或 B.或
C.或 D.－或－
解析：由消去y得(1＋k2)x2－8x＋12＝0，
若直线y＝kx与圆相切，则Δ＝(－8)2－4×12(1＋k2)＝0.
解k2＝，∴k＝±
∵k＝tan α，又0≤α<π，∴α＝或.
答案：A
5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
解析：设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，
所以米堆的体积为V＝×π×r2×5＝×2×5≈(立方尺)．
故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．
答案：B
6．已知直线y＝a(a>0)和圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0相切，那么a的值是(　　)
A．5 B．3
C．2 D．1
解析：据题意知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心到直线的距离等于半径，
即|a－1|＝2?a＝3(a>0)．
答案：B
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A.＋π B.＋π
C.＋2π D.＋2π
解析：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．
由图中数据可得三棱锥的体积V1＝××2×1×1＝，
半圆柱的体积V2＝×π×12×2＝π，
∴V＝＋π.
答案：A
8．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)
A. B．－
C．－或－ D.或
解析：由题意知＝，
解得a＝－或a＝－.
答案：C
9．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若m?β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
解析：如图，符合A中的条件，但不满足m⊥α，排除A；
观察三棱柱的三个侧面，排除B；
观察教室相对的两面墙与地面，排除D.
答案：C
10．△ABC的顶点为A(7，－1)，B(－1,5)，C(2,1)，则AB边上中线长是(　　)
A．6 B.
C．4 D.
解析：因为线段AB的中点D为(3,2)，
所以中线的长为|CD|＝＝.
答案：D
11．点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q(3,0)所连线段PQ的中点M的轨迹方程是(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)＋4y2＝1
解析：设M(x，y)，则P(2x－3,2y)．
∴P点在圆x2＋y2＝1上运动，
∴(2x－3)2＋4y2＝1.
答案：C
12．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A. B．2
C. D．3
解析：如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.
又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，
所以球O的半径为R＝OA＝＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．(江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为R，
因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
所以圆柱的底面半径为R、高为2R，
所以＝＝.
答案：
14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．
解析：∵|AM|＝ ＝，
∴正方体的对角线l＝2.
设正方体棱长为a，则3a2＝l2，∴a＝＝.
答案：
15．若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于y轴的直线，则a为________．
解析：因为方程表示平行于y轴的直线，
所以3a2－5a＋2＝0，且6a2－a－2≠0，解得a＝1.
答案：1
16.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为__________________________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．
解析：(1)取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB.
由题意|AD|＝|CD|＝1，
故|AC|＝＝，即圆C的半径为.
又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)，
所以圆心C的坐标为(1，)，
故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
令(x－1)2＋(y－)2＝2中的x＝0，
解得y＝±1，故B(0，＋1)．
直线BC的斜率为＝－1，
故切线的斜率为1，切线方程为y＝x＋＋1.
令y＝0，解得x＝－－1，故所求截距为－－1.
答案：(1)(x－1)2＋(y－)2＝2　(2)－－1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知两条直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0的交点P，求：
(1)过点P且过原点的直线方程；
(2)过点P且垂直于直线l3：x－2y－1＝0的直线l的方程．
解：由解得
∴点P的坐标是(－2,2)，
(1)所求直线方程为y＝－x.
(2)∵所求直线l与l3垂直，
∴设直线l的方程为2x＋y＋C＝0.
把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，得C＝2.
∴所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0.
18．(本小题满分12分)已知直线m经过点P，被圆O：x2＋y2＝25所截得的弦长为8.
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求过点P的最短弦和最长弦所在直线的方程．
解：(1)当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为：
y＋＝k(x＋3)，即2kx－2y＋6k－3＝0.
由题意易知：圆心O到直线m的距离为3，
因此易求得k＝－.
此时直线m的方程为3x＋4y＋15＝0，
而直线的斜率不存在时，直线x＝－3显然也符合题意，
故直线m的方程为3x＋4y＋15＝0或x＝－3.
(2)过点P的最长弦所在直线为PO所在直线，
方程为：y＝x.
过点P的最短弦所在直线与PO垂直，
方程为y＋＝－2(x＋3)，
即4x＋2y＋15＝0.
19．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，求证：
①PD∥平面AGC.
②平面PBD⊥平面AGC.
解：(1)该几何体的直观图如图所示．
(2)证明：如图，①连接AC，BD交于点O，连接OG，
因为G为PB的中点，O为BD的中点，
所以OG∥PD.
又OG?平面AGC，PD?平面AGC，
所以PD∥平面AGC.
②连接PO，由三视图，PO⊥平面ABCD，
所以AO⊥PO.
又AO⊥BO，BO∩PO＝O，
所以AO⊥平面PBD.
因为AO?平面AGC，
所以平面PBD⊥平面AGC.
20．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2,0)，且斜率为k.
(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；
(2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．
解：(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，
则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2.
所以CD的中点E(－1,2)，|CD|＝＝2，
∴r＝，故所求圆E的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
(2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离＞2，解得k＜.
故k的取值范围为.
21.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE.
证明：(1)由题设知，B1B⊥AB，
又AB⊥BC，B1B∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.
因为AB?平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)取AB中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形，
所以C1F∥EG.
又因为EG?平面ABE，所以C1F∥平面ABE.
22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA，AB，AD两两垂直，且PA＝AD，截面ABMN是平行四边形，M是PC的中点，求证：
(1)AB∥CD；
(2)MN⊥平面PAD；
(3)截面ABMN⊥侧面PCD.
证明：(1)∵四边形ABMN是平行四边形，∴AB∥MN，
又∵MN?平面PCD，AB?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又∵CD＝平面PCD∩平面ABCD，∴AB∥CD.
(2)∵PA，AB，AD两两垂直，∴AB⊥平面PAD，
又∵AB∥MN，∴MN⊥平面PAD.
(3)∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD，
又已知M是PC的中点，
∴N是PD的中点，再由已知PA＝AD，得AN⊥PD.
∵MN⊥平面PAD，∴MN⊥AN，又∵MN∩PD＝N，
∴AN⊥平面PCD，∵AN?截面ABMN，
∴截面ABMN⊥侧面PCD.