2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第6章 6.1.1 几类简单的几何体

6．1.1　几类简单的几何体
1．多面体
由多边形围成的几何体称为多面体．这些多边形称为多面体的面，两个相邻的面的公共边，称为多面体的棱．每个多边形的顶点也就是每条棱的端点，称为多面体的顶点．
2．棱柱、棱台、棱锥
多面体
结构特征
图形
表示
棱柱
有两个面相互平行，其余各面都是同时与这两个面相邻的平行四边形的多面体叫作棱柱．棱柱中，两个互相平行的面叫作棱柱的底面，简称底；其余各面叫作棱柱的侧面；相邻两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱；所有侧棱互相平行．侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱．棱柱的底面和侧面都是矩形，这样的棱柱是长方体，所有棱长都相等的长方体是正方体
我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，左图可表示为棱柱ABCDEF- A′B′C′D′E′F′.也可以用它的某一条对角线的两个端点的字母表示如棱柱AC′或棱柱BD′
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．原棱锥的底面和截面分别叫作棱台的下底面和上底面．棱台也有侧面、侧棱、顶点．由三棱锥、四棱锥、五棱锥、……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台、……
棱台与棱柱的表示一样，左图棱台可表示为ABCD -A′B′C′D′
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫作棱锥．多边形叫作棱锥的底面或底；有公共顶点的三角形叫作棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫作棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形、……的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥、……其中三棱锥又叫四面体
棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母表示，左图可表示为棱锥S-ABCD，也可以用顶点和底面一条对角线端点字母表示
如棱锥S-AC
3．圆柱、圆锥、圆台
(1)定义
分别以矩形的一边，直角三角形的一条直角边、直角梯形的垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．旋转轴叫作它们的轴．在轴上这条边的长度叫作它们的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面．无论旋转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．
(2)性质
①平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆．
②圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．
4．球
(1)定义
以半圆的直径为旋转轴，半圆弧旋转一周形成的曲面围成的几何体叫作球．球的表面称为球面．这个半圆的圆心就是这个球的球心．这个半圆的半径就是球的半径．
(2)性质
①球面上所有的点到球心的距离都相等，等于球的半径．
②用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径．
1．多面体与旋转体的主要区别是什么？
[提示]　多面体是由多个多边形围成的几何体．旋转体是由平面图形绕轴旋转而成的几何体．
2．如图所示，是由两个相同形状的三棱柱叠放在一起形成的几何体，请问这个几何体是棱柱吗？
[提示]　这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下底面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内．所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱．
3．用一个平行于底面的平面去截棱柱、棱锥、棱台所得截面与底面的关系如何？
[提示]　对于棱柱，所得截面与底面是全等的几何图形．
对于棱锥、截面与底面相似，对于棱台、截面与底面也相似．
4．圆柱、圆锥、圆台之间有什么联系？对于一般的柱体、锥体、台体呢？
[提示]　圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，当圆台的一个底面变为与另一个底面同样大时，圆台变为圆柱；当圆台的一个底面缩为一个点时，圆台变为圆锥．
对于一般的柱体、锥体、台体之间的联系如下：
5．我们用的篮球、排球、铅球都是球吗？
[提示]　篮球、排球不是球，铅球是球．
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
判断下列说法的真假．
(1)棱柱的侧棱长一定相等，侧面是平行四边形；
(2)有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体叫棱锥；
(3)有两个面是互相平行的相似多边形，其余各面都是梯形的多面体一定是棱台．
[自主解答]　(1)由棱柱的定义可知，(1)是正确的．
(2)不正确．一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形组成的几何体叫棱锥．
(3)不正确．棱台是由棱锥截得的，也就是说，棱台的侧棱延长相交于一点．
判断棱柱、棱锥、棱台的结构特征的真假，一定抓住其本质特征
(1)棱柱有两个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面每相邻两个面的公共边都互相平行．
(2)棱锥有两个本质特征：①有一个面是多边形；②其余的各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．
(3)棱台的本质特征是：①各侧棱延长后交于同一点；②两底面是平行的相似多边形．
1．判断下列说法的真假．
(1)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱．
(2)棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台．
(3)三棱锥的每个面都可以作底面．
解：(1)不正确．直棱柱的侧面平行四边形都是矩形．
(2)不正确．平行于底面的平面截棱锥、底面与截面之间是棱台．
(3)正确．
圆柱、圆锥、圆台的结构特征
给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是(　　)
A．①②　　　　　　　　 　B．②③
C．①③ D．②④
[自主解答]　在旋转时，不垂直于轴的边无论旋转到什么位置，都叫作侧面的母线．故①③不正确，②④正确．
[答案]　D
1．判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成．
(2)明确旋转轴是哪条直线．
2．简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
2．以下命题正确的是(　　)
A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．绕直角梯形一腰所在直线旋转一周所得的几何体是圆台
解析：由圆锥、圆柱、圆台的形成过程可知，A，B，D不正确，C正确．
答案：C
球的结构特征
判断下列说法的真假．
(1)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．
(2)球的截面中心过球心的截面面积最大．
(3)用任意一个平面去截球得到的截面是一个圆．
[自主解答]　(1)不正确．形成球面．
(2)正确．
(3)不正确．截面是圆面．
球是半圆面绕其直径所在直线旋转一周所形成的几何体，还可以看成是空间到定点的距离等于或小于定长的点的集合．
3．如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　)
A．一个球体　　　　 　B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个棱柱
解析：由图形旋转可得一个球体中间挖去一个圆柱．
答案：B
[随堂体验落实]
1．下列结论正确的是(　　)
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．故选D.
答案：D
2．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是(　　)
A．一个圆锥　　　　　　 　B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台
解析：直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是两个圆锥．
答案：C
3．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
解析：由球的定义知选C.
答案：C
4．一个棱柱至少有_______个面，面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．
解析：棱柱至少有5个面，面数最少的棱柱是三棱柱，有6个顶点，9条棱．
答案：5　6　9
5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体．
解析：根据正方体的特点可知①③④正确，②不正确．
答案：①③④
[感悟高手解题]
[妙解题]
四棱柱是棱柱中最为常见的一种形式，几个特殊的棱柱之间的关系如下：
四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体．
根据以上信息完成以下各题：
(1)直平行六面体的性质：底面是________形，侧棱________于底面，侧面是________形．
(2)以下判定正确的是________．
①直平行六面体是长方体；
②底面是矩形的直平行六面体是长方体；
③各侧面都是矩形的四棱柱是长方体；
④底面是正方形的长方体是正方体．
(3){四棱柱}________{直平行六面体}________{长方体}．
巧思：(1)由所给信息知直平行六面体是侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱．
对于(2)：
①直平行六面体的底面不一定是矩形；
③不能保证底面是矩形；
④侧棱不一定与底面边长相等．
对于(3)结合已知信息用集合的观点解答．
妙解：(1)平行四边　垂直　矩　(2)②　(3)?　?
一、选择题
1．棱台不具有的性质是(　　)
A．两底面相似　　　　　 　B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
解析：棱台是由棱锥截得的，故侧棱都相等不正确．这要看截得棱台的棱锥．
答案：C
2．给出下列命题，其中正确的个数为(　　)
①直线绕定直线旋转形成柱面；
②曲线平移一定形成曲面；
③直角梯形绕一边旋转形成圆台；
④半圆绕定直线旋转形成球．
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：①可能是锥面，对于②若曲线在平面内平移就形成了平面．③④不符合定义，旋转轴不确定．
答案：D
3．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是(　　)
A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形
解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．
答案：D
4．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(　　)
A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆柱、一个圆台 D．一个圆柱、两个圆锥
解析：从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱、两个圆锥所组成的几何体，如图所示．
答案：D
二、填空题
5．关于棱锥、棱台的下列叙述：
①四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；
②n棱锥的顶点有(n＋1)个；
③三棱锥的四个面可能都是直角三角形；
④棱台的上、下底面及平行于底面的截面是相似多边形．
其中正确的是________(填序号)．
解析：根据棱锥、棱台的结构特征可知①②③④正确．
答案：①②③④
6．一个球的半径为4 cm，则过球心的截面的面积为________cm2.
解析：过球心的截面的半径就是球的半径，故S＝πr2＝16π cm2.
答案：16π
7．两条直角边分别为3 cm和4 cm的直角三角形绕一边旋转而形成的圆锥，其底面积为__________cm2，母线长为________ cm.
解析：底面积S＝πr2＝9π cm2或S＝16π cm2.
母线长为l＝＝5.
答案：9π或16π　5
8．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝3，AA1＝4，AB＝5，则从A点沿表面到C1的最短距离为__________．
解析：沿表面展开有三种情况：
(1)AC1＝＝，
(2)AC1＝＝，
(3)AC1＝＝，
故最短为.
　
答案：
三、解答题
9．圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．
解：轴截面如图所示，
设下底面半径为R.
则R－a＝，
∴＝a，∴R＝2a，
∴上底面半径为r＝a，
∴两底面面积之和为πa2＋π(2a)2＝5πa2.
10．在半径为25 cm的球内有一个截面，它的面积是49π cm2，求球心到这个截面的距离．
解：设截面的半径为r，球心到截面的距离为d，
则πr2＝49π，∴r＝7，
∴d＝＝
＝＝
＝4×3×2＝24.
即球心到这个截面的距离为24 cm.