2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第6章 6.1.2 在平面上画立体图形

6．1.2　在平面上画立体图形
1．三视图
我们从三个方向所看到的图形，分为从正面看到的正视图，从左面看到的左视图(或从右面看到的右视图)和从上面看到的俯视图．
2．斜二测画法的规则
(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°；
(2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)．∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴， y′轴或z′轴的线段；
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
3．中心投影和平行投影
(1)投影中心距投影面有限远时，投射线都经过投影中心的投影法叫作中心投影法．用此法得到的投影叫作中心投影．
(2)如果所有的投射线都互相平行，或看作投影中心在无限远处，这种投影法叫作平行投影法，用此法得到的投影叫作平行投影．
1．两个人分别站在同一几何体的左右两侧，他们画的三视图一样吗？
[提示]　不一定一样，选择不同的视角，所得三视图可能不同．但有些几何体的三视图一样，如长方体三视图不同，而球三视图相同．
2．怎样由三视图还原几何体？
[提示]　(1)要熟悉常见的简单几何体的三视图的形状．
(2)分别由正视图、左视图(右视图)和俯视图的前后、左右、上下判断其形状．
(3)还原出几何体后对照其三视图进行检验．
3．利用斜二测画法，空间几何体的直观图唯一吗？
[提示]　不唯一，作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不同．
画几何体的三视图
画出下列几何体的三视图．
[自主解答]　(1)　　　　　　　　　(2)
　
在画三视图时，要想象几何体的后面、右面、下面有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面照下，我们画的是影子的轮廓，再一条一条验证几何体的轮廓线，看到的画实线，看不到的画虚线．
1．画出如图所示的物体的三视图．
解：三视图如图所示．
由三视图得几何体的原形
根据如图所示的三视图，画出几何体．
[自主解答]　由正视图、左视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．
只要熟悉简单几何体的三视图的形状，由简单几何体的三视图还原几何体并不困难．对于组合体需要综合正视图、左视图、俯视图的特征，确定分界线，找出组成组合体的简单几何体，再将组合体还原．
2．一个几何体的三视图如图，请说出这个几何体的结构特征．
解：由三视图可知，该几何体是由三个圆柱拼接而成的．
画水平放置的平面图形的直观图
画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[自主解答]　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB
所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建
立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
(1)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．
(2)要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．
3．如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图．
解：画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°(如图(2))；
(2)在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC；在y′轴上截取O′D′＝OD.
(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．
空间几何体的直观图的画法
画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[自主解答]　画法：(1)画轴
画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图．
(2)画底面
以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.
(3)画顶点
在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图
顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
4．画出正五棱柱的直观图．
解：(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都等于正棱柱的高．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②即是正五棱柱的直观图．
[随堂体验落实]
1．下面哪个几何体的三视图都是同样的平面图形(　　)
A．长方体　　　　　　　 　B．圆柱
C．正四棱锥 D．正方体
解析：从三视图的特点看是同样的三视图的几何体是正方体．
答案：D
2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)
解析：由题意知，A和C中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求；D中所给几何体的侧视图不符合要求；由左视图可判断该几何体的直观图是B.故选B.
答案：B
3．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析：如图(1)(2)所示的实际图形和直观图，
由图(2)可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.
∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
答案：D
4.如图，在多面体ABC-A′B′C′中，底面ABC为正三角形，三条侧棱AA′，BB′，CC′分别平行，侧棱垂直于底面ABC，且3AA′＝ BB′＝CC′＝AB，则下面图形可视为多面体ABC-A′B′C′的正视图的是________．
解析：根据正视图的画法，因为底面ABC为正三角形且AA′所以正视图为④.
答案：④
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的投影可能是________(填序号)．
解析：从上下方向上看，△PAC的投影为图①所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为图④所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为图④所示的情况．
答案：①④
[感悟高手解题]
[易错题]
易错点　三视图中虚线漏画或画为实线
如图所示，请画出该几何体的正视图与俯视图．
错解：由图知该组合体由两个圆柱构成，其正视图与俯视图如图所示．
正解：正视图与俯视图如图所示．
错因分析：该组合体的下部是一个圆柱，上部是一个大圆柱中间挖掉一个小圆柱，在画正视图时，为体现中空应用虚线作图，错解中正视图的上边矩形中缺少示意图中中间小圆柱形成的轮廓线(用虚线表示)；在画俯视图时，因为三个圆都是可见的，所以应画为实线.
一、选择题
1．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)
解析：由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
答案：B
2．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是(　　)
A．①②　　　　　　　　 　B．①
C．③④ D．①②③④
解析：①②正确，③④不正确．
答案：A
3．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是(　　)
解析：根据斜二测画法中的平行性不变的原则，原图必为直角梯形．
答案：C
4.(全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)
A．10　　　 B．12　　　　
C．14　　　　 D．16
解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为×2＝12，故选B.
答案：B
二、填空题
5．如图所示三视图的实物图形的名称是________．
解析：由三视图可知该几何体为四棱锥．
答案：四棱锥
6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图可能是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观察者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．
答案：①②③⑤
7．如图，E，F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________(要求：把可能的图形的序号都填上)．
解析：②中图形是在上、下面上的投影．
③是在面BCC1B1和面ADD1A1上的投影．
①④不是四边形BFD1E在正方体面上的投影．
答案：②③
8．如图是由小正方体组成的几何图形的三视图，则组成它的小正方体的个数是________．
解析：由三视图可知组成的小正方体的个数为5.
答案：5
三、解答题
9．如图所示是一个四棱柱铁块，画出它的三视图．
解：三视图如图所示．
10.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．
解：如图，建立直角坐标系xOy，
在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；
在y轴上取OB＝2O′B′＝2 cm；
在过点B的x轴的平行线上取
BC＝B′C′＝1 cm.
连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．
由作法可知，OABC为平行四边形，
OC＝＝＝3 cm，
∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm，面积为S＝1×2＝2 cm2.