2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第6章 6.1.3 面积和体积公式

6．1.3　面积和体积公式
第一课时　表面积公式
1．表面积
几何体的表面积是指该几何体的各个面的面积之和．
2．公式1：S圆柱侧＝cl＝2πrl.
3．公式2：S圆锥侧＝cl＝πrl.
4．公式3：S圆台侧＝(c＋c′)l＝π(r＋r′)l.
5．公式4：S球＝4πr2.
1．对于一个圆锥，如果我们沿一条母线剪开，会得到什么样的图形？
[提示]　圆锥的侧面展开图是一个扇形．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么联系？
[提示]　
柱体的表面积
(全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)
A．18＋36　　　　　　　　 　B．54＋18
C．90 D．81
[自主解答]　由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故选B.
[答案]　B
求柱体的表面积的基本步骤
(1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积．
(2)求出其底面的面积．
(3)求和得到表面积．
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)
A．3π B．4π
C．2π＋4 D．3π＋4
解析：由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．
表面积为2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π.
答案：D
锥体的表面积
将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积．
[自主解答]　设扇形的半径和圆锥的母线长都为l，圆锥的底面半径为r，
则πl2＝3π，l＝3；×3＝2πr，r＝1.
S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π.
对于棱锥的表面积是简单侧面三角形的面积与底面多边形面积的和，圆锥需要求出底面圆的半径和母线，利用公式直接求解即可．
2．已知圆锥的轴截面是正三角形(又称等边圆锥)，且轴截面面积是4，求此圆锥的 表面积．
解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则×(2r)2·sin 60°＝4，
∴r＝2，l＝2r＝4，
S表面积＝πrl＋πr2＝π×2×4＋π×4＝12π.
3．某四棱锥的三视图如图所示，求四棱锥的表面积．
解：由三视图知原几何体是一个底面边长为4，高是2的正四棱锥，如图所示．
∵AO＝2，OB＝2，∴AB＝2.
又∵S侧＝4××4×2＝16，
S底＝4×4＝16，
∴S表＝S侧＋S底＝16＋16.
台体的表面积及侧面积
圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．
[自主解答]　如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，
同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.
对于棱台的侧面积和表面积直接运算，正棱台只求出上、下底面周长和斜高即可；圆台的侧面积和表面积只要求出上、下底面圆半径和母线即可；由于圆台的侧面展开图是一个扇环，其侧面积也可以利用两个扇形的面积之差来计算．
4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，求圆台的表面积．
解：先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，
则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，
所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
球的表面积
如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)．
[自主解答]　如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，
在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，
∴S球＝4πR2，
S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，
S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，
∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝4πR2＋πR2＋πR2
＝πR2.
∴旋转所得几何体的表面积为πR2.
求球的表面积的方法
(1)要求球的表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积的相关题目也就易如反掌了．
5．若球的半径由R增加为2R，则这个球的表面积是原来的多少倍？
解：S球＝4πR2，球的半径增加为2R后，
S′球＝4π(2R)2＝16πR2，S′球＝4S球．
所以这个球的表面积是原来的4倍．
[随堂体验落实]
1．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)
A．4πS　　　　　　　　 B．2πS
C．πS D．πS
解析：设圆柱的底面半径为r，则πr2＝S，∴r＝ ，
∴圆柱的高为：2πr＝2π·，
∴S侧＝(2πr)2＝2＝4π2·＝4πS.
答案：A
2．若长方体中有三个面的面积分别是，，，则长方体的对角线长为(　　)
A．2 B．3
C. D.
解析：设长方体的三条棱为a，b，c，对角线为l.
∴l2＝a2＋b2＋c2，∴?
∴l＝＝＝.
答案：D
3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B．πa2
C.πa2 D．5πa2
解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.
答案：B
4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于____________．
解析：由三棱柱的正视图可知底面是边长为2的正三角形，
故三棱柱的表面积：S＝2××2×2×sin 60°＋3×2×1＝2＋6.
答案：6＋2
5．如图所示直角梯形OABO′，上、下底面边长、高分别为2,4，，将此直角梯形绕着垂直于底边的腰所在的直线旋转一周形成圆台，求这个圆台的表面积．
解：圆台的母线长l＝＝3，
则圆台的表面积：
S圆台＝πr＋πr＋π(r1＋r2)·l
＝π·22＋π·42＋π(2＋4)×3
＝38π.
[感悟高手解题]
[妙解题]
如图，圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上一点，且SM＝x，若用一条细绳绕过圆锥侧面连接点A和点M.
(1)求绳子的最短长度f(x)；
(2)绳子最短时，求顶点到绳子的最短距离．
巧思：将圆锥沿母线SA剪开展成扇形，连接AM此时最短．
妙解：将圆锥沿母线SA展成扇形SAA′，如图所示．
因为＝2πr＝2π，设∠ASA′＝n°，
则＝2π，所以n＝90，
即∠ASA′＝90°.
由题意知，最短的绳子应为图中的AM，
在Rt△ASM中，AM＝＝(0≤x≤4)，
所以f(x)＝(0≤x≤4)．
绳子最短时，在展开图中，作SH⊥AM于点H，
则SH的长度为顶点S到绳子的最短距离．
在Rt△ASM中，SA·SM＝AM·SH，
所以SH＝＝(0≤x≤4)，即为所求．
一、选择题
1．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B.
C．2 D.
解析：S＝4××1×1×sin 60°
＝4××1×1×＝4×＝.
答案：D
2．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的(　　)
A.倍 B．3倍
C．2倍 D．5倍
解析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则l＝2r，
S侧＝πrl＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，∴S侧＝2S底．
答案：C
3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)
A．20π B．24π
C．28π D．32π
解析：由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.
由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，
由勾股定理得：l＝＝4，
S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.
答案：C
4.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，
则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.
又S＝16＋20π，
∴(5π＋4)r2＝16＋20π，
∴r2＝4，r＝2，故选B.
答案：B
二、填空题
5．若一个几何体的三视图是三个直径为4的圆，那么该几何体的表面积为________．
解析：由三视图可知该几何体是直径为4的球，S＝4πR2＝4π×22＝16π.
答案：16π
6．若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是________．
解析：设圆台的母线长为l，
则π(1＋3)·l＝2(π×1＋π×9)，∴l＝5.
答案：5
7．两个正方体的棱长分别是a和b，第三个正方体的表面积等于前两个正方体的表面积之和，则第三个正方体的棱长是________．
解析：设第三个正方体的棱长为x，则
6x2＝6a2＋6b2，∴x＝.
答案： 
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
解析：依题意可知，该几何体是一个半球与一个正四棱柱的组合体．
因此，该几何体的表面积等于
22＋4×2×3＋×4π×22＋π×22－22＝24＋12π.
答案：24＋12π
三、解答题
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积．
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
10．半径为10 cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为36π cm2,64π cm2，求这两个平行平面间的距离．
解：如图1，当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆圆心的距离之差，即为－＝2(cm)．
如图2，当球的球心在两个平行平面之间，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆圆心的距离之和，即为＋＝14(cm)．
第二课时　体积公式
1．拟柱体
(1)定义：多面体的所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫作拟柱体．
(2)拟柱体的体积公式：设拟柱体的上、下底面面积分别为S′和S，中截面面积为S0，高为h，体积为V，则V拟柱体＝h(S′＋S＋4S0)．
2．柱体的体积公式
(1)V棱柱＝Sh；
(2)V圆柱＝πr2h.
3．锥体的体积公式
(1)V棱锥＝Sh；
(2)V圆锥＝πr2h.
4．台体的体积公式
(1)V棱台＝h(S′＋S＋)．
(2)V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)．
5．球的体积公式
V球＝πr3.
1．棱柱、棱锥、棱台是拟柱体吗？
[提示]　是．都是特殊的拟柱体．
2．如何利用体积公式？
[提示]　棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台直接利用它们各自的体积公式比较简单，对其余的拟柱体不用去判断它是否棱台，直接用拟柱体体积公式就行了.
柱体、锥体的体积
(1)已知长方体形的铜块长，宽、高分别是8,4,2，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块(不计损耗)，求铸成的铜块的体积和表面积．
(2)已知圆锥的高是2，其侧面展开图是一个弧长为6π的扇形．求圆锥的体积．
[自主解答]　(1)因为正方体形铜块的体积等于长方体形铜块的体积，
所以V正方体＝V长方体＝8×4×2＝64.
设正方体形铜块的棱长为a，
则V正方体＝64＝a×a×a，a＝4.
则正方体形铜块的表面积为6×4×4＝96.
(2)设圆锥的底面半径为r，
则2πr＝6π，r＝3，
则圆锥的体积V＝×π×32×2＝6π.
求棱柱、圆柱的体积关键是求底面面积和高，然后代入公式V＝Sh即可．锥体的体积公式V＝Sh，系数易被忽略．
1．圆柱有一个内接长方体AC1，长方体的对角线长为10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形面积为100π cm2.求圆柱的体积．
解：设圆柱底面半径为r，高为h，如图，
则圆柱轴截面长方体的对角线长等于它的内接长方体的对角线长，
则∴
∴V圆柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10＝250π(cm3)．
台体的体积
粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图所示，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算：
(1)这个下料斗的体积；
(2)制造这样一个下料斗所需铁板的面积(保留两个有效数字)．
[自主解答]　要求下料斗所需铁板面积，就是求正四棱台的侧面积．
正四棱台的侧面积公式S侧＝(c＋c′)·h′.
(1)∵S上＝4402，S下＝802，h＝200，
∴V正四棱台＝(S上＋S下＋)h
＝(4402＋802＋440×80)×200＝
≈1.6×107(mm3)．
(2)下底面周长c′＝4×80＝320(mm)，
上底面周长c＝4×440＝1 760(mm)，
斜高h′＝ ≈269(mm)．
∴S正棱台侧＝(c＋c′)·h′
＝(1 760＋320)×269≈2.8×105(mm2)．
在求台体的体积公式时若能直接利用台体的体积公式的可直接求解，有时还经常还原为锥，借助锥体去求解．
2．已知一个三棱台的两底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为4 cm，求棱台的体积．
解：如图，上、下两底面三角形的高分别为10 cm、15 cm，
设上、下底面面积分别为S1，S2，
则S1＝×20×10＝100(cm2)，
S2＝×30×15＝225(cm2)，
V＝(S1＋S2＋)
＝×4×(100＋225＋)
＝1 900(cm3).
组合体的体积
一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A．2π＋2　　　　　　　 　B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
[自主解答]　该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.
[答案]　C
在求一个复杂的几何体的体积时，关键是能把它分成几部分简单的几何体，单独计算后就不复杂了．
3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：由三视图可知，该几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的体积为×2××2＝2，截去的三棱锥的体积为××2××1＝，所以该几何体的体积为2－＝，故选A.
答案：A
[随堂体验落实]
1．长方体过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为2，则这个长方体的体积是(　　)
A．6　　　　　　　　　 　B．12
C．24 D．48
解析：可设长方体的三条棱长为x,2x,3x，则x2＋4x2＋9x2＝4×14，
∴x2＝4，∴x＝2，∴三条棱长为2,4,6，
V＝2×4×6＝48.
答案：D
2．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于(　　)
A. B．1
C．2 D．3
解析：设球的半径为r，则πr3＝4πr2，∴r＝3.
答案：D
3．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)
A. B.
C．2π D．4π
解析：绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××π×2×＝.
答案：B
4．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 ，则a＝________.
解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V＝3×＝3 ，所以a＝.
答案：
5．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，求这个圆台的体积．
解析：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，
则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，
∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝，
∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝π.
[感悟高手解题]
[多解题]
如图，三棱锥P-ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P-ABC的体积．
解：法一：设D为BC的中点，连接AD，PD，作PO⊥平面ABC.
因∠PAB＝∠PAC且AB＝AC，
故O∈AD.
作PE⊥AB于E，连接OE，则OE⊥AB.
在Rt△PAE中，PE＝asin 60°＝a，AE＝.
在Rt△AEO中，OE＝tan 30°＝a.
∴OP＝＝a，
∴VP-ABC＝·S△ABC·OP＝a3.
法二：如图，取AB中点M，连接PM，
则AM＝a＝AP，
又∠PAB＝60°，故PM＝a，PM＝AB，从而AP⊥PB.
同理，AP⊥PC.∴AP⊥平面BPC.
进而可知Rt△PAB≌Rt△PAC，
∴PB＝PC＝a.
∴△PBC为等腰三角形，且BC＝2a.
取BC的中点D，连接PD，则PD⊥BC.
∴VP-ABC＝VA-PBC＝·S△PBC·AP
＝··BC·PD·AP＝a3.
法三：作PO⊥底面ABC，O为垂足，
连接AO并延长交BC于D.
由∠PAB＝∠PAC，AB＝AC，得BC⊥AD，
故BC⊥平面PAD.
∴VP-ABC＝VB-PAD＋VC-PAD＝S△PAD·BC.
在Rt△PCD中，易知PC＝a，PD＝＝a.
∴PA2＋PD2＝AD2，∴△PAD为直角三角形．
∴S△APD＝a·a＝a2.∴VP-ABC＝a3.
一、选择题
1．(全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)
A．90π　　　　　　 　B．63π
C．42π D．36π
解析：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，
故其体积V＝π×32×10－×π×32×6＝63π.
答案：B
2．一个正方体的表面积为6，并且正方体的各个顶点都在一个球面上，则此球的体积为(　　)
A. B.
C.π D.
解析：设正方体的边长为a，球的半径为R，
则6a2＝6，∴a＝1，
∴2R＝，即R＝，V＝πR3＝π×＝π.
答案：D
3．体积为52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么，截得这个圆台的圆锥的体积为(　　)
A．54 cm3 B．54π cm3
C．58 cm3 D．58π cm3
解析：设截得这个圆台的圆锥的体积为V.
两底面的面积比为1∶9，
则半径比为1∶3，
所以有：＝3，
∴27V－52×27＝V，
∴V＝＝54(cm3)．
答案：A
4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积(　　)
A. B.
C. D.
解析：由三视图知该几何体左边是四棱锥，即“阳马”，底面边长为1和  ，高为1，其体积V1＝×1××1＝；右边是直三棱柱，即“堑堵”，底面边长是和1的直角三角形，高为1，其体积V2＝×1××1＝；
故该几何体的体积V＝V1＋V2＝＋＝.
答案：A
二、填空题
5．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求高为，所以体积为V＝×1×1×＝.
答案：
6．一个棱台的高为20 cm，体积为1 720 cm3，两底面对应边的比为5∶8，则这个棱台的两个底面积为________．
解析：设这个棱台的两底面面积为S1，S2，且S1∶S2＝25∶64，
∴V＝h(S1＋S2＋)
＝×20×
＝×20×＝1 720，
∴S2＝128 cm2，S1＝×128＝50 cm2.
答案：50 cm2,128 cm2
7．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________ cm.
解析：由三视图可知，棱锥的三条长分别为5,6，h的侧棱两两垂直，
故××5×6×h＝20，h＝4(cm)．
答案：4
8．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铜球先熔成一个大球，再将其制成一个最大的正方体，则这一正方体的体积为________cm3.
解析：设大球的半径为R，则πR3＝π(33＋43＋53)．
∴R＝6.
设正方体的边长为a，则a＝2R＝12，a＝4.
∴V正方体＝a3＝192(cm3)．
答案：192
三、解答题
9．一个正四棱台的斜高为12，侧棱长为13 cm，侧面积为720 cm2，求它的体积．
解：由已知得正四棱台的一个侧面积为＝180 cm2，
设上底面边长为a，则下底面边长为
a＋2＝a＋10，
∴×12＝180，
解得a＝10，下底边长为20，
设棱台的高为h，则h＝ ＝，
所以棱台的体积
V＝×(102＋202＋10×20)＝ cm3.
10．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形．如果圆柱的体积是V，底面直径与母线长相等．那么三棱柱的体积是多少？
解：设圆柱的母线长为l，底面半径为R，
由题意可知，R＝l，V＝πR2l，
所以R2l＝.
又设正三角形的边长为a，则a×＝R.所以a＝R，
故V三棱柱＝a2l＝×3R2l＝.