2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第6章 6.2.1 点、线、面的位置关系(一)

6．2.1　点、线、面的位置关系(一)
1．点、直线、平面之间的位置关系的符号表示
点动成线，线动成面，所以直线、平面都可以看成点的集合.
文字语言
符号语言
图形语言
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
2．平面的性质
公理1　如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
公理2　过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．
三个推论：
(1)一条直线和直线外一点确定一个平面．
(2)两条相交直线确定一个平面．
(3)两条平行直线确定一个平面．
3．空间两条直线的位置关系
(1)相交直线→在同一个平面内，有且只有一个公共点．
(2)平行直线→在同一平面内，没有公共点．
(3)异面直线→不同在任何一个平面内，没有公共点．
1．立体几何中的平面与平面几何中的平面图形有何区别？
[提示]　(1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分；(2)平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的，无大小，无面积．它可以无限延展，没有边界．
2．画平面时有何要求？
[提示]　(1)用平行四边形表示平面．
(2)平面通常用希腊字母α，β，γ等表示(常把这些字母写在代表平面的平行四边形的一个角上)，如平面α，平面β，平面γ等．也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
(3)画图规则：①看见的画实线，遮住看不见的画虚线或不画．②辅助线的画法也是如此，这与平面几何是有区别的．
3．直线l与平面α有公共点，直线l一定在平面α内吗？
[提示]　直线l与平面α有一个公共点P，直线l不一定在平面α内；若直线l与平面α有两个公共点，因为两点确定一条直线，则这条直线在平面α内．
4．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
[提示]　不一定．分别在两个平面内的两条直线可能有三种位置关系：平行、相交、异面．
平面概念的理解
判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)平面的形状是平行四边形；
(2)矩形可以表示平面；
(3)平面ABCD的面积为10 cm2；
(4)空间图形中，后引的辅助线都是虚线；
(5)4个平面重叠起来比3个平面重叠起来厚．
[自主解答]　
题号
结论及理由
(1)
错误．因为平面是无限延展的．
(2)
正确．除了用平行四边形表示平面外，有时也用矩形、圆等表示平面．
(3)
错误．平面是不可度量的，无大小，无面积．
(4)
错误．在空间图形中，一般把能看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线，目的是为了增强立体感，后引入的辅助线也是如此．
(5)
错误．平面不可度量，无厚薄.
解决此类问题的关键是深刻理解平面的性质及相关概念，搞清平面与平面图形的区别与联系．另外要注意平面具有如下特点：
(1)平面是平的；
(2)平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的；
(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；
(5)平面图形是空间图形的重要组成部分．
1．下列语句是对平面的描述：
①平面是绝对平的且是无限延展的；
②一个平面将无限的空间分成两部分；
③平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集；
④四边形确定一个平面．
其中正确的序号是________．
解析：①②③正确．④四边形还有空间四边形，不能确定一个平面．
答案：①②③
平面性质的应用
证明：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
[自主解答]　已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a，b，c和l共面．
证明：法一(平面重合法)：如图所示，因为a∥b，由公理2的推论可知直线a与b确定一个平面，设为α.
因为l∩a＝A，l∩b＝B，
所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.
又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知l?α.
因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l?β.
因为平面α与平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2，知经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
法二(落入法)：因为a∥b，所以a，b确定平面α.
因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以l上有两点A，B在α内，
即直线l?α，直线a，b，l共面．
同理，a，c，l共面，即c在a，l确定的平面内．
故a，b，c和l共面．
在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有①直线和直线外一点确定一个平面，②两条平行线确定一个平面，③两条相交直线确定一个平面．
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．
2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：a，b，l共面．
证明：法一：
??l?α?a，b，l共面．
法二：∵a∥b，
∴a，b确定一个平面α.
a∩l＝A，直线a，l确定一个平面β，
又l∩b＝B，∴B∈α，B∈β，a?α，a?β，
∴平面α与β重合．
故直线a，b，l共面．
两直线位置关系的判定
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与NB是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确结论的序号为________．
[自主解答]　①AM与CC1是异面直线；
②AM与NB是异面直线；
③BN与MB1是异面直线；
④AM与DD1是异面直线．
故③④正确，①②不正确．
[答案]　③④
空间中的直线位置关系有三种
(1)若从有无公共点的角度看，可分两类：
①有且仅有一个公共点——相交直线
②没有公共点——
(2)若从是否共面的角度看，也可分两类：
①在同一平面内——
②不同在任一平面内——异面直线
3．如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是(　　)
A．6　　　　 　 B．4　　　　　
C．5　　　　　 D．8
解析：与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1共4条．
答案：B
4．若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是________．
解析：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，设直线D′C′为直线b，直线A′B′为直线a，满足a∥b，与a相交的直线c可以是直线B′C′，也可以是直线BB′.显然直线B′C′与b相交，BB′与b异面，故b与c的位置关系是异面或相交．
答案：异面或相交
[随堂体验落实]
1．下列说法中正确的是(　　)
A．镜面是一个平面
B．一个平面长10 m，宽5 m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D．所有的平面都是无限延展的
解析：由平面的定义可知，D正确．
答案：D
2．如图，不能用来表示平面的是(　　)
A．平面α　　　 　B．平面AB
C．平面AC D．平面ABCD
解析：利用希腊字母α，β，γ……或表示平面的平行四边形的字母，故AB不能表示平面，因为AB无法表示平行四边形．
答案：B
3．点M在直线a上，直线a在平面α内，可记为(　　)
A．M?a?α　　　　　　 　B．M∈a?α
C．M∈a∈α D．M?a∈α
解析：点在直线上用“∈”表示，直线在平面内用“?”．故B正确．
答案：B
4．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与B1C的位置关系是________．
解析：(1)A1B与D1C平行；
(2)A1B与B1C异面；
(3)D1D与D1C相交；
(4)AB与B1C异面．
答案：(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面
5．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D?l.
求证：直线AD，BD，CD共面．
证明：如图，∵D?l，
∴直线l和D确定一个平面α.
∵A∈l，B∈l，C∈l.
又l?平面α，∴A∈α，B∈α，C∈α.
又D∈α，∴DA?α，DB?α，DC?α.
∴AD，BD，CD共面．
[感悟高手解题]
[妙解题]如图所示，已知直线a与b不共面，直线c∩a＝M，直线b∩c＝N.又a∩平面α＝A，b∩平面α＝B，c∩平面α＝C.求证：A，B，C三点不共线．
巧思：证明A，B，C三点不共线，直接去证不太好入手，转化一下思想，若A，B，C共线能得出什么矛盾，从而用反证法证明结论．
妙解：假设A，B，C三点共线即都在直线l上．
∵A，B，C∈α，∴l?α，c∩l＝C，
∴c与l可确定一个平面β.
∵c∩a＝M，∴M∈β.又A∈β，∴a?β，同理可证b?β.
∴直线a，b共面，这与已知a与b不共面矛盾，
∴A，B，C三点不共线．
一、选择题
1．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 　B．1
C．1或4 D．无法确定
解析：①当四点中有三点共线时，确定一个平面．
②当四个点中任意三点都不共线时，可确定4个平面．
答案：C
2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b(　　)
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：∵a，b是异面直线，c∥a，∴c与b相交或异面，∴不可能是平行直线．
答案：C
3．下列命题正确的是(　　)
A．一条直线和一点确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．三条平行直线确定一个平面
解析：根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A不正确；B显然正确；C中四点不一定共面，故C不正确；三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D不正确．故选B.
答案：B
4．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A．a∥c B．a和c异面
C．a和c相交 D．a和c平行、相交或异面
解析：如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，令A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，
由题意，a和b是异面直线，b和c是异面直线．
若令B′C′所在直线为c，则a和c平行．
若令C′C所在直线为c，则a和c异面．
若令D′D所在直线为c，则a和c相交．
答案：D
二、填空题
5．用符号语言表示下列语句：
(1)点A在面α内但在β外：________________.
(2)直线a经过面α内一点A，α外一点B：________.
(3)直线a在面α内也在面β内：________.
答案：(1)A∈α，A?β　 (2)A∈α，B?α，A∈a，B∈a (3)α∩β＝a
6．设平面α与平面β相交于直线l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
解析：∵α∩β＝l，a?α，b?β，a∩b＝M，
∴M∈α，M∈β，又α∩β＝l，∴M∈l.
答案：∈
7．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β且C?l，AB∩l＝R，设过点A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.
解析：∵α∩β＝l，A，B∈α，又C∈β，C ?l，∴C ?α，
∵AB∩l＝R，∴R∈AB，R∈β，
又C∈β，∴β∩γ＝RC.
答案：RC
8．下列两个命题中正确的有________个．
①既不平行也不相交的两条直线是异面直线；
②分别在两个平面内的直线是异面直线．
解析：①正确，②分别在两个平面内的直线有三种可能：平行、相交、异面，
故②不正确．
答案：1
三、解答题
9．如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
解：在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，
在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P.
10．已知正方体A1B1C1D1-ABCD中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，BB1的中点，试作出过M，N，P三点的截面．
解：作法：(1)设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1＝R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1＝Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线(如图)．NQ是平面α与平面A1B1C1D1的交线．
(2)设MP∩A1A＝F，则FN是平面α与平面A1D1DA的交线，设FN∩AD＝H，连接HM，则HM是平面α与平面ABCD的交线，HN是平面α与平面A1D1DA的交线．
由(1)(2)知截面PMHNQ就是M，N，P三点的截面．
6．2.1　点、线、面的位置关系(二)
1．直线和平面平行
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行．
2．直线和平面的位置关系
(1)直线在平面内——有无数个公共点．
(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点．
(3)直线和平面平行——没有公共点．
3．公理3　平行于同一条直线的两条直线平行．
4．公理4　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
5．定理1　如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1．如何用符号和图形表示直线和平面的三种位置关系？
[提示]　
位置关系
直线a在平面α内
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
符号表示
a?α
a∩α＝O
a∥α
图形表示
2．直线a与平面α平行，直线b?α，则a与b有怎样的位置关系？
[提示]　直线a与平面α平行，则直线a和平面α内任何一条直线都没有公共点，故a与b可能平行，也可能异面．
直线与平面位置关系
下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；
②若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；
③若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中说法正确的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　　 　B．1
C．2 D．3
[自主解答]　对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，
∴a和α不一定平行，∴①说法错误．
对于②，∵直线a∥b，b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，
∴a不一定平行于α.∴②说法错误．
对于③，∵a∥b，b?α，∴a?α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．
∴③说法正确．
[答案]　B
1．直线与平面位置关系的判断方法
首先把文字语言转化为图形语言，然后弄清图形间的相对位置是确定的还是可变的，最后根据定义确定直线与平面的位置关系．可以借助几何体模型，把要判断关系的直线和平面放在某些具体的空间图形中，以便正确作出判断，切忌凭空臆断．
2．判断直线与平面位置关系应注意事项
(1)空间中直线与平面只有三种位置关系：直线与平面平行、直线与平面相交和直线在平面内．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽和遗漏．
(2)正确理解“直线在平面外”的含义．
1．下列说法中，正确的个数是(　　)
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；
②经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；
③如果直线a?平面α，直线b?平面α，直线l∩a＝A，直线l∩b＝B，那么l?α.
A．0　　　　　　　　　 　B．1
C．2 D．3
解析：①若a∥b，a∩α＝A，则b∩α＝B，故①正确．
②经过两条异面直线中的一条直线有且只有一个平面与另一条直线平行，故②正确．
③易知A∈α，B∈α，即直线l上有两点在平面α内，∴l?α，故③正确．
答案：D
平行公理的应用
如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形．
[自主解答]　(1)如图所示，连接EF，FG，GH，HE，
在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
同理FG∥BD，FG＝BD，
∴EH綊FG，
∴E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知EH綊FG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
∵EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD，
又HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC.
又AC⊥BD，∴EH⊥HG，
又四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH为矩形．
证明空间两条直线平行的方法有两个：一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线，平行四边形性质，平行线分线段成比例定理等)证明；二是利用公理3，就是需要找到第三条直线c，设a∥c，b∥c，由公理3得到a∥b.
2.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中点．
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1(平行公理)．
∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形．
∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
等角定理及其应用
已知E，E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证： ∠CEB＝∠C1E1B1.
[自主解答]　如图，连接E1E，
∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，
∴A1E1綊AE.
∴四边形A1E1EA为平行四边形．
∴A1A綊E1E.
又A1A綊B1B，∴E1E綊B1B，
∴四边形E1EBB1是平行四边形．
∴E1B1∥EB.同理，E1C1∥EC.
又∠C1E1B1与∠CEB方向相同．∴∠C1E1B1＝∠CEB.
证明两角相等，一般采用下面三种途径
(1)三角形全等与相似．
(2)平行四边形的对角线或平行线与第三条直线相交所得内错角、同位角．
(3)等角定理．
3.如图所示，不共面的三条直线a，b，c交于点O，在点O的同侧分别取点A和A1，B和B1，C和C1，使得＝，＝.
求证：△ABC∽△A1B1C1.
证明：∵＝，＝，
在平面OAB和平面OAC中，有A1B1∥AB，A1C1∥AC，
∴∠BAC＝∠B1A1C1.
同理∠ABC＝∠A1B1C1.
∴△ABC∽△A1B1C1.
[随堂体验落实]
1．如果两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系为(　　)
A．b∥α　　　　　　　　 　B．b与α相交
C．b?α D．b∥α或b与α相交
解析：∵a和b相交，a∥平面α.
∴b与平面α可能平行，也可能相交．
答案：D
2．已知空间两个角α，β的两边对应平行且α＝60°，则β为(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
解析：由定理1可知β＝60°或120°.
答案：D
3．设AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1平行的棱共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条或6条
解析：如图所示，A1A∥B1B，
A1A∥DD1，
又BB1∥CC1，
∴A1A∥CC1.
∴与AA1平行的棱共有3条．
答案：C
4．若点A∈平面α，点B?平面α，则直线AB与平面α内的直线的位置关系可能有________________．
解析：当平面α内的直线过点A时，AB与它相交．
当平面α内的直线不过点A时，AB与它异面．
答案：相交或异面
5．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，CC1的中点，求证：EF∥AB1.
证明：连接DC1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，有AD綊B1C1，
∴四边形AB1C1D是平行四边形，
∴AB1∥DC1，
在△CDC1中，E，F分别是CD，CC1的中点，
∴EF∥DC1.
由公理3知，EF∥AB1.
[感悟高手解题]
[妙解题]
空间四边形ABCD中，对角线为AC和BD，点E，F，G，H，M，N分别为AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点．
求证：线段EG，FH，MN必交于一点，且被该点平分．
巧思：要证明线段EG，FH，MN必交于一点，且被该点平分，只需证明四边形EFGH和四边形MFNH是平行四边形．
妙解：连接EF，FG，GH，HE.
∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF∥GH，EH∥FG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
设EG∩FH＝O，则O点平分EG，FH；
同理四边形MFNH是平行四边形，
设MN∩FH＝O′，则O′平分MN，FH，
即点O与O′都是FH的中点，从而两点重合，
即MN也过EG与FH的交点，
∴三条线段相交于一点O，且被O点平分．
一、选择题
1．如果直线a∥平面α，则(　　)
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内有无数条直线与a平行
C．平面α内不存在与a垂直的直线
D．平面α内有且仅有一条与a垂直的直线
解析：a∥平面α，则平面α内有无数条直线与a平行，故选B.
答案：B
2．如果两直线a∥b，且a∥平面α，则b和α的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　 　B．b∥α
C．b?α D．b∥α或b?α
解析：∵a∥b，且a∥平面α，∴b∥α或b?α.
答案：D
3．在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是(　　)
A．菱形 B．矩形
C．梯形 D．正方形
解析：如图，在△ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，
所以HE綊BD，同理GF綊BD，所以HE綊GF，
所以四边形EFGH为平行四边形．
又AC⊥BD，所以HG⊥HE，
所以四边形EFGH是矩形，故选B.
答案：B
4．下列四个命题中，假命题的个数是(　　)
①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；
③两条直线都和第三条垂直，则这两条直线平行；
④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：对于①，两条直线可能相交，也可能异面．
对于②，两直线可能异面．
对于③，两直线也可能异面．
对于④，当直线与平面相交时，也有可能．
答案：A
二、填空题
5．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行．则这条直线与另一个平面的位置关系是________．
解析：直线与另一个平面的位置关系可能有两种．一是平行，二是在平面内．
答案：平行或直线在平面内
6．空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.
解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，
∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.
又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.
答案：70°或110°
7．如图所示的各正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．
解析：①③中四点共面，②④不共面．
答案：①③
8．下列三个命题中正确的是________．
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
解析：如图，可借助长方体模型棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题③正确．
答案：③
三、解答题
9．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，
则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，
所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，
S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为.
10.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，C1D1的中点．
(1)求证：B，E，D，F四点共面；
(2)求四边形EFDB的面积．
解：(1)证明：如图所示，连接B1D1，
在△C1B1D1中，C1E＝EB1，C1F＝FD1，
∴EF∥B1D1，且EF＝B1D1，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B綊D1D，
∴四边形BB1D1D是平行四边形．
∴B1D1綊BD，∴EF∥BD，
∴E，F，D，B四点共面．
如图，过F作FH⊥BD，交BD于H点，
FH即为等腰梯形EFDB的高线．
由AB＝a，知BD＝B1D1＝a，EF＝a，
DF＝BE＝＝ ＝a，
DH＝(BD－EF)＝a，
FH＝＝a，
∴S四边形EFDB＝(EF＋BD)·FH＝a2.