2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第6章 6.2.2 平行关系

6．2.2　平行关系
第一课时　直线与平面平行
1．直线与平面平行的定义
l∥α?l∩α＝?.
2．定理2
(1)一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
(2)符号：l∥α，l?β，α∩β＝m?l∥m.
3．定理3
(1)平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行．
(2)符号：l∥m，m?α，l?α?l∥α.
1．若直线l与平面α平行，则l与平面α内任意一条直线都平行吗？
[提示]　不是．根据线面平行的性质定理，l与过直线l的平面与α的交线平行．
2．一小木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？
[提示]　如图，过平面VAC内一点P作直线DE∥AC，交VA于D，交VC于E；过平面VBA内一点D作直线DF∥VB交AB于F，则DE，DF所确定的截面为所求．
线面平行的性质定理及应用
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.
[自主解答]　∵AC∥A1C1，
而AC?平面A1EC1，
A1C1?平面A1EC1.
∴AC∥平面A1EC1.
而平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，AC?平面AB1C，
∴AC∥FG.
运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．
1．如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.
求证：BB1∥EE1.
证明：∵BB1∥CC1，BB1?平面CDD1C1，CC1?平面CDD1C1，
∴BB1∥平面CDD1C1，
又BB1?平面BEE1B1，
且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，
∴BB1∥EE1.
线面平行的判定定理及应用
已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
[自主解答]　如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，＝，＝.
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，∴PM綊QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又∵PQ?平面CBE，MN?平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
利用直线和平面的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等知识得出．
2．如图，M，N分别是底面为矩形的四棱锥P-ABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.
证明：如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，
∵N是PC的中点，
∴NE∥CD，NE＝CD.
又∵在矩形ABCD中，M是AB的中点，
∴AM∥CD且AM＝CD.
∴NE∥AM，NE＝AM.
∴四边形AMNE是平行四边形．
∴MN∥AE.
又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
线面平行的综合应用
如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点P∈BB′(不与B，B′重合)．PA∩BA′＝M，PC∩BC′＝N.求证：MN∥平面AC.
[自主解答]　∵AA′綊CC′，∴四边形ACC′A′为平行四边形，
∴AC∥A′C′，
又AC?平面BA′C′，A′C′?平面BA′C′，
∴AC∥平面BA′C′.
∵平面PAC过AC与平面BA′C′交于MN，
∴MN∥AC.
∵MN?平面AC，AC?平面AC，∴MN∥平面AC.
直线与平面平行判定定理与直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，可由如下示意图表示．

3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA＝4，BC＝6，与PA，BC都平行的截面四边形EFGH的周长为l，试确定l的取值范围．
解：∵PA∥平面EFGH，PA?平面PAB，平面PAB∩平面EFGH＝EH，∴PA∥EH，
同理，PA∥FG，BC∥EF，BC∥HG，
即四边形EFGH为平行四边形．
∵EF∥BC，∴＝，∴EF＝，
又FG∥PA，∴＝＝，∴FG＝，
∴四边形EFGH的周长l＝2(EF＋FG)
＝＝
＝＝8＋，
∵0<<1，∴8故l的取值范围为(8,12).
[随堂体验落实]
1．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　 　B．相交
C．异面 D．以上均有可能
解析：由线面平行的性质知m∥a，而m∥n，∴n∥a.
答案：A
2．能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)
A．b?α，a∥b
B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D．a?α，b?α，a∥b
解析：由线面平行的判定定理可知，D正确．
答案：D
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．相交或平行
解析：当M运动到A1点时，MD与平面A1ACC1相交．
当M运动到D1时，DD1∥CC1，CC1?平面A1ACC1
∴DD1∥平面A1ACC1.
答案：D
4．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．
解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．
答案：0或1
5．一个多面体的三视图及直观图如图所示．M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN∥平面ACC1A1.
　
证明：由三视图可知该多面体是侧棱长为a，底面为等腰直角三角形的直三棱柱，
AC＝BC＝a，∠ACB＝90°.
连接AB1，AC1，
由平行四边形的性质可知AB1与A1B相交于点M.
在△B1AC1中，
∵M，N分别是AB1，B1C1的中点，
∴MN∥AC1，
又MN?平面ACC1A1，
AC1?平面ACC1A1，
∴MN∥平面ACC1A1.
[感悟高手解题]
[多解题]
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.
证明：法一：如图(1)，作ME∥BC，交BB1于E，作NF∥AD，交AB于F，连接EF，
则EF?平面AA1B1B.且＝，＝.
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CM＝DN，
∴B1M＝NB.
又B1C＝BD，
∴＝＝，
∴ME＝NF.
又ME∥BC∥AD∥NF，
∴四边形MEFN为平行四边形，
∴MN∥EF.
∵MN?平面AA1B1B，EF?平面AA1B1B，
∴MN∥平面AA1B1B.
法二：如图(2)，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B1P，则B1P?平面AA1B1B.
∵△NDC∽△NBP，
∴＝.
又CM＝DN，B1C＝BD，
∴＝＝.∴MN∥B1P.
∵MN?平面AA1B1B，B1P?平面AA1B1B，
∴MN∥平面AA1B1B.
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是(　　)
①a∥b，b?α?a∥α；②a∥α，b?α?a∥b；
③a∥b，a∥α?b∥α；④a∥α，b∥α?a∥b.
A．0　　　　　　　　 　B．1
C．2 D．3
解析：①中还可能有a?α.②a，b还可能异面．③中还可能b?α.④中还可能a和b相交、异面．
答案：A
2．(全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)
解析：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ .又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A.
答案：A
3．下列说法正确的是(　　)
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b∥α，则a∥α
D．若直线a∥b，b?α，a?α，则直线a就平行于平面内的无数条直线
解析：对于A有可能l?α；对于B有可能a∩α＝A；对于C应强调a?α；对于D能推出a∥α，所以a平行平面内无数条直线．
答案：D
4．下列说法正确的个数为(　　)
①若点A不在平面α内，则过点A只能作一条直线与α平行；
②若直线a与平面α平行，则a与α内的直线的位置关系有平行和异面两种；
③若直线a与平面α平行，且a与直线b平行，则b也一定平行于α.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①③不正确，②正确．
答案：B
二、填空题
5．AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，经过它们中点的平面和AC的位置关系是________，和BD的位置关系是________．
解析：如图，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点．
连接AC，BD，
∵E，F为AB，BC的中点，
∴EF綊AC.
又EF?平面EFG，AC?平面EFG，
∴AC∥平面EFG.
∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG綊BD.
又FG?平面EFG，BD?平面EFG，
∴BD∥平面EFG.
答案：平行　平行
6．一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是________．
解析：如图，由线面平行的性质可得
EF∥AC，GH∥AC，
∴EF∥GH.
同理EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
答案：平行四边形
7．如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是________．
解析：∵ABC-A1B1C1是三棱柱，
∴A1B1∥AB.
又∵A1B1?平面ABC，AB?平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
∵A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，
∴A1B1∥DE.∴DE∥AB.
答案：DE∥AB
8.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②直线PA∥平面BDG；
③直线EF∥平面PBC；
④直线EF∥平面BDG.
其中正确的序号是________．
解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；
PA∥平面BDG；EF∥HG，
所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．
答案：①②③
三、解答题
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD.
证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD，
∵AD?平面PAD，
EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
10．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.
证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥MO，
而AP?平面BDM，
OM?平面BDM，
∴PA∥平面BMD，
又∵PA?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
又PA?平面PAD，GH?平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
第二课时　平面与平面平行
1．平面与平面平行的定义
(1)如果两个平面α，β没有公共点，就称这两个平面平行，记作α∥β.
(2)α∥β?α∩β＝?.
2．定理4(平面与平面平行的性质定理)
(1)两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线互相交行．
(2)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
3．定理5(平面与平面平行的判定定理)
(1)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
(2)a∩b＝A.a?α，b?α，a∥β，b∥β?α∥β.
1．若平面γ∩β＝a，γ∩α＝b，则a，b的位置关系是什么？
[提示]　平行或相交．
当β∥α时，由面面平行的性质定理知a∥b；
当α与β相交时，a与b相交或平行．
2．若直线a∥平面α，平面α∥β，则直线a与平面β的关系是什么？
[提示]　a?β或a∥β.
面面平行性质定理的应用
如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．
[自主解答]　直线a，b的位置关系是平行．
∵平面ABC∥平面A′B′C′，
平面A′D′B∩平面ABC＝a，
平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，
∴A′D′∥a，同理可得AD∥b.
又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，
∴DD′綊BB′，而BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，
∴四边形AA′D′D为平行四边形，
∴A′D′∥AD，因此a∥b.
面面平行可得线面平行或线线平行，这样就把空间问题转化成了平面问题，此时应熟练掌握平面几何的有关知识，如平行线分线段成比例等，从而使问题得到解决．
1．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，若F为PC的中点，证明：BF∥平面ACE.
证明：取PE的中点M，连接FM.
则FM∥CE.
所以EM＝PE＝ED，所以E是MD的中点．
连接BM，BD，设BD∩AC＝O，连接OE，
则O为BD的中点，所以BM∥OE.
又BM∩FM＝M，OE∩CE＝E，
BM?平面BFM，FM?平面BFM，
OE?平面AEC，CE?平面AEC，
所以平面BFM∥平面AEC.
又BF?平面BFM，所以BF∥平面AEC.
面面平行的判定
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[自主解答]　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
判定平面与平面平行的常用方法有
(1)根据定义：证明两个平面没有公共点，通常用反证法．
(2)根据判定定理：只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．
本例根据判定定理证明面面平行，解决此类问题的关键是选择或添加适当的辅助线(或辅助面)，使问题转化为证明线面平行或线线平行．
2．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP，
∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，∴MQ∥BC，
∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，
得平面MNQ∥平面PBC.
面面平行的综合应用
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图．
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
[自主解答]　(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AD綊B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.
又因为C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD.
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1?平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，
则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，
即CF＝FE，
所以A1E＝EF＝FC.
要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：
，
这种面面平行、线面平行、线线平行的相互转化，是处理平行问题的基本思想方法．
3．如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，
∴A′D′∥B′C′.
∵AA′∥BB′，且AA′，A′D′是平面AA′D′D内的两条相交直线，BB′，B′C′是平面BB′C′C内的两条相交直线，
∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面ABCD与平面BB′C′C的交线，故AD∥BC.
同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
[随堂体验落实]
1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是(　　)
A．一定平行　　　　 　B．一定相交
C．平行或相交 D．以上判断都不对
解析：可借助长方体模型来判断，两个平面可能平行也可能相交．
答案：C
2．已知平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，则
①a∥b；
②a，b为异面直线；
③a，b一定不相交；
④a∥b或a，b异面．
其中正确的是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①②③④
解析：若两个平面平行，则两个平面没有公共点，∴a∥b或a，b异面，即a，b一定不相交．故选C.
答案：C
3．下列命题正确的是(　　)
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③ B．②④
C．③④ D．②③④
解析：①②不正确，③④正确．
答案：C
4．如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
解析：由面面平行的性质可得，AC∥l.
答案：平行
5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.
解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．
[感悟高手解题]
[多解题]
设AB，CD是夹在两个平行面α，β之间的异面直线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.
证明：法一：如图(1)，过A点作AE∥CD交α于E，连接AC，ED.
因为α∥β，易得AE綊CD，即四边形AEDC为平行四边形．
设P为AE的中点，连接PN，PM，BE.
则PN∥ED，MP∥BE，
又因为PN?α，ED?α，所以 PN∥α.
同理可得PM∥α.因为PM∩PN＝P，
所以平面PMN∥α.
又MN?平面PMN，所以MN∥α.
法二：如图(2)所示，连接AD，取AD的中点Q，连接QM，QN.
因为Q，N分别为AD，CD的中点，所以QN∥AC.
因为QN?β，AC?β，所以QN∥β.
因为α∥β，QN∥β，QN?α，易证QN∥α.
因为M，Q分别为AB，AD的中点，所以MQ∥BD.
又MQ?α，BD?α，所以QM∥α.
因为QM∩QN＝Q，所以平面QMN∥α.
因为MN?平面MNQ，所以MN∥α.
一、选择题
1．下列说法正确的个数是(　　)
①夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；
②夹在两个平行平面间的等长线段平行；
③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行；
④两条平行直线被三个平行平面截得的线段成比例．
A．1　　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：①正确，②中的两线段还可能相交或异面，③中的直线还可能在另一个平面内，④中两条平行直线确定一个平面，由面面平行的性质定理可知该平面与三个平行平面的交线互相平行，易得结论．
答案：B
2．已知平面α∥平面β，平面γ∩平面α＝直线a，平面γ∩平面β＝直线b，直线c?β，且c∥b，则下列说法不正确的是(　　)
A．c∥a B．a∥b
C．a，c可能异面 D．c∥α
解析：根据题意画出图形，如图所示，
由图易知只有选项C不正确．
答案：C
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．正方形
解析：因为经过D1B的平面和左右两个侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．
答案：C
4．有以下三个命题：
①两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行；
②经过平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面；
③平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，那么直线a，b的位置关系可能是平行或异面．
其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：命题①中，两个平面还有可能相交，故命题①不正确．
若直线与平面相交，则过这条直线作不出平面平行于已知平面；若直线平行于平面，则过这条直线可以作一个平面与已知平面平行，故命题②不正确．
α∥β，且a?α，b?β，所以直线a，b没有公共点，故a∥b或a，b异面，命题③正确．
答案：B
二、填空题
5．a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，如果a∥b∥c，a?α，b?β，c?β，那么平面α与平面β的位置关系是____________．
解析：可借助正方体理解平面α与平面β平行或相交．
答案：平行或相交
6．平面α内有两条直线a和b，且a∥β，b∥β，则α与β的位置关系是____________．
解析：可借助正方体理解α与β平行或相交．
答案：平行或相交
7．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且相等，则两平面的位置关系为________．
解析：平行或相交，如图.
答案：平行或相交
8．如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
解析：连接AC，
易知MN∥平面ABCD，
所以MN∥PQ，
又MN∥AC，所以PQ∥AC.
又因为AP＝，
所以＝＝＝.
所以PQ＝AC＝×a＝a.
答案：a
三、解答题
9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：如图所示，连接SB，SD，
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
解：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，
由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，
由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，
平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，
可得AP∥D1M，
所以BQ∥D1M∥AP.
因为P为DD1的中点，
所以M为AA1的中点，Q为CC1的中点．
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.