2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第6章 6.2.3 垂直关系

6．2.3　垂直关系
第一课时　直线与平面的垂直
1．线面垂直的定义
如果一条直线与一个平面相交，并且垂直于这个平面内所有的直线，就称这条直线与这个平面垂直．这条直线叫作这个平面的垂线，这个平面叫作这条直线的垂面，它们的交点叫作垂足．记作l⊥α.
2．定理6(直线与平面垂直的判定定理)
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线就与这个平面垂直．
3．如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
4．定理7
垂直于同一个平面的两条直线平行．
1．一条直线垂直于一个平面内的两条直线，这条直线垂直于这个平面吗？
[提示]　不一定．例如a∥b且a，b?α.若c⊥a，c⊥b，则c有可能也在平面α内．
2．过一定点有多少个平面和一条直线垂直？
[提示]　有且只有一个．
直线与平面垂直的定义及判定的理解
有下列四个命题，正确的命题的序号是________．
①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；
④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α.
[自主解答]　①正确；
对于②，若直线n?α，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；
对于③，注意a，b需相交；
④显然错误，因为不平行即相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．
故只有①正确．
[答案]　①
直线与平面垂直的定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直．
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，该直线与已知平面垂直．
即线线垂直?线面垂直．
(2)证明线线垂直．
若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．
即线面垂直?线线垂直．
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C．若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b
D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
解析：当l与α内的任何一条直线都垂直时，l⊥α，故A错；
当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；
C显然是正确的；
而D中，a可能在α内，所以D错误．
答案：C
直线与平面垂直的判定
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面， M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
[自主解答]　(1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB?平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.
证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.
由题意知AD＝BD，SA＝SB，SD＝SD，
所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，
因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
直线与平面垂直的性质
如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：DF∥平面ABC.
[自主解答]　取AB的中点G，连接FG，CG，
可得FG∥AE，FG＝AE.
∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴CD∥AE.
又∵CD＝AE.
∴FG∥CD且FG＝CD.
∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG.
又∵CG?平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC.
线线垂直和线面垂直的相互转化
3.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a?β，a⊥AB.求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.
又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.因此a∥l.
[随堂体验落实]
1．直线a与直线b垂直，b平行于平面α，则a与α的位置关系是(　　)
A．a⊥α　　　　　　　　 　B．a∥α
C．a?α或a∥α D．不确定
解析：当b∥α时，可存在直线a?α，a⊥α，a∥α，故关系不确定．
答案：D
2．已知m，n是两条不重合的直线，α是平面，给出以下命题：
①?n⊥α；②?m∥n；③?n∥α.
其中正确命题的个数为(　　)
A．0　　　 　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．3
解析：由线面垂直的性质可知①②正确．③中n∥α或n?α.
答案：C
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CD的中点，则下列直线中不互相垂直的是(　　)
A．B1C与D1C1
B．D1B与B1C
C．A1B与B1C1
D．D1B与EF
解析：由得D1C1⊥B1C；
连接BC1.
由??B1C⊥D1B；
由?A1B⊥B1C1；
D1B与EF不垂直．故选D.
答案：D
4．给出下列四个命题：
①若直线a?平面M，直线b?M，且a∩b＝?，则a∥M；
②若a?M，直线a平行于平面M内的两条直线，则a∥M；
③若直线a垂直于平面M内的无数条直线，则a⊥M；
其中正确命题的序号是________．
解析：由线面垂直的判定和性质可知，①③不正确．②正确．
答案：②
5.如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)求证：PB⊥平面AMN.
证明：(1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵BC⊥平面PAC，AN?平面PAC，
∴BC⊥AN，又AN⊥PC，BC∩PC＝C，
∴AN⊥平面PBC，∴AN⊥PB，
又AM⊥PB，AN∩AM＝A，
∴PB⊥平面AMN.
[感悟高手解题]
[妙解题]
在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．求证：AC⊥平面EDB.
巧思：直接证AC⊥平面EDB不好入手，应做辅助线，通过线线垂直证线面垂直．
妙解：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．
连接EG，GH，由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.
又EF∥AB，∴EF⊥BC.
而EF⊥FB，FB∩BC＝B，
∴EF⊥平面BFC，又FH?平面BFC，
∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.
又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.
又FH∥EG，∴AC⊥EG.
又AC⊥BD，EG∩BD＝G，
∴AC⊥平面EDB.
一、选择题
1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　)
①三角形的两边；②梯形的两边；
③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
A．①③　　　　　　　　　 　B．②
C．②④ D．①②④
解析：由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．
答案：A
2．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为(　　)
①a⊥α，b∥α?a⊥b；
②a⊥α，a⊥b?b∥α；
③a⊥α，b⊥α?a∥b.
A．0　　　　　　　　　　 　B．1
C．2 D．3
解析：由线面垂直的性质可知①③正确，②不正确．
答案：C
3．E，F分别是正方形ABCD中AB，BC中点，沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合于一点P，则有(　　)
A．DP⊥平面PEF B．DE⊥平面PEF
C．EF⊥平面PEF D．DF⊥平面DEF
解析：易知DP⊥PF，DP⊥PE，又PE∩PF＝P，∴DP⊥平面PEF.
答案：A
4．如图，在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是(　　)
解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，且EFMNQG是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选D.
答案：D
二、填空题
5．如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．
解析：折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．
答案：垂直
6．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有__________________；
(2)与AP垂直的直线有__________．
解析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，
∴与PC垂直的直线AB，AC，BC.
(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，
AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC.
又AP?平面PAC，所以BC⊥AP.
答案：(1)AB，AC，BC
(2)BC
7．已知三棱锥P-ABC的底面为正三角形，PA＝PB＝PC，D，E分别为AB，BC的中点，有以下三个结论：
①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.
则所有正确结论的序号为________．
解析：如图，取AC的中点F，连接PF，BF.因为△PAC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，所以PF⊥AC，BF⊥AC，又PF∩BF＝F，所以AC⊥平面PBF，因为PB?平面PBF，所以AC⊥PB，即结论①正确．
由AC∥DE，知AC∥平面PDE，即结论②正确．
若AB⊥平面PDE，则AB⊥DE，又DE∥AC，所以AB⊥AC.这与△ABC为正三角形矛盾．因此，结论③不正确．
答案：①②
8．DP垂直于正六边形ABCDEF，若正六边形边长为a，PD＝a，则点P到BC的距离为________．
解析：如图，过D作DG⊥BC于G.连接PG.
由线面垂直的判定和性质得PG⊥BC，
易知DG＝a，
∴PG＝＝＝a.
答案：a
三、解答题
9.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.
求证：D′H⊥平面ABCD.
证明：由已知得，AC⊥BD，AD＝CD，
又由AE＝CF，得＝，
故AC∥EF.
因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.
由EF∥AC得＝＝，
所以OH＝1，D′H＝DH＝3，
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，
故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，
所以D′H⊥平面ABCD.
10．如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.
证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，又SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE，
又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC，
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF.
∴SC⊥AG，
∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.
第二课时　平面与平面的垂直
1．定理8(平面与平面垂直的判定定理)
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直．
2．定理9(平面与平面垂直的性质定理)
两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
1．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？
[提示]　不一定．只有垂直于两平面的交线时才能垂直于另一个平面．
2．两个平面垂直，过一个平面内的一点垂直于两平面交线的直线，一定垂直于第二个平面吗？
[提示]　不一定．有可能垂直，也有可能斜交，还可能平行，因为过该点与交线垂直的直线有可能是异面垂直．
两个定理的理解
已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l?α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
[自主解答]　A项中缺少了条件：l?α，故A错．
B项中缺少了条件α⊥β，故B错．
C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错．
D项具备了面面垂直的性质定理的全部条件，正确．
[答案]　D
对于这种以符号语言的形式考查对定义、定理的理解的题目，常将定义或定理中的条件错误改编或缺少其中一个，这时就不能得出结论，对应命题就是错误的．
1．判断下列命题是否正确，并说明理由(l，m，n是不同的直线，α为平面)．
(1)l∥m，m∥n，l⊥α?n⊥α；
(2)l∥m，m⊥α，n⊥α?l∥n；
(3)l∥α，l⊥m?m⊥α.
解：(1)因为l∥m，m∥n，所以l∥n，
又l⊥α，所以n⊥α.
即命题(1)正确．
(2)因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，
又l∥m，所以l∥n.
即命题(2)正确．
(3)因为l∥α，l⊥m，
所以m?α或m⊥α或m∥α或m与α斜交．
即命题(3)不正确．
面面垂直的判定
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
证明：平面AEC⊥平面AFC.
[自主解答]　如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，
可得EF＝.
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.
因为EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
证明平面与平面垂直的方法是用判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，也就是把“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，又将“线面垂直”问题进一步转化为“线线垂直”问题．
2．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：如图，连接AC交BD于F，连接EF，
∴EF是△SAC的中位线，
∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD.
又EF?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD.
面面垂直的性质
如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，G为AD的中点，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
求证：(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
[自主解答]　
(1)如图，在菱形ABCD中，
连接BD，
由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)如图，连接PG.
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.
又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.
而PB?平面PBG，∴AD⊥PB.
应用面面垂直性质定理应注意的问题
应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线(过其中一个平面内一点作交线的垂线)，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直．
3．已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
又PA?平面PAC，∴DF⊥AP.
作DG⊥AB于G，
同理可证DG⊥AP.
∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于H，
∵E是△PBC的垂心，
∴PC⊥BE.
又已知AE是平面PBC的垂线，
∴PC⊥AE.∴PC⊥平面ABE.
∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PA⊥AB，又PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
[随堂体验落实]
1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A．α∥γ　　　　　　　　 　B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
解析：α⊥β，β⊥γ，则α∥γ，α⊥γ，α与γ相交但不垂直，都有可能．
答案：D
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?β
C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
解析：∵m∥n，n⊥β，∴m⊥β.又m?α，∴α⊥β.
答案：C
3．AP⊥平面ABCD(ABCD为正方形)，则在平面PAB，平面PAD，平面PCD，平面PBC及平面ABCD中，互相垂直的有(　　)
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
解析：∵AP⊥平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD
平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PDC，共有5对．
答案：C
4．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有以下四个说法：
①α∥β?l⊥m；
②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
其中正确的序号是________．
解析：①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，
又m?β，∴l⊥m.故①正确．
②l⊥α，α⊥β，m?β?l∥m或l与m相交或l与m异面，
故②不正确．
③∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α.
又∵m?β，
∴α⊥β，故③正确．
④l⊥m，l⊥α，m?β?α∥β或α与β相交，故④不正确．
答案：①③
5．如图，已知△ABC中，O为AC中点，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC.求证：平面PAC⊥平面ABC.
证明：∵PA＝PC，O为AC的中点，
∴PO⊥AC.又∵∠ABC＝90°，
∴OA＝OB＝OC.又PA＝PB＝PC，
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴∠POB＝∠POA＝∠POC＝90°.∴PO⊥OB.
∴PO⊥平面ABC，又PO?平面PAC.
∴平面PAC⊥平面ABC.
[感悟高手解题]
[多解题]
已知：平面α∩平面β＝AB，α⊥γ，β⊥γ.求证：AB⊥γ.
证明：法一：如图(1)，∵α⊥γ于BC，β⊥γ于BD，
在γ内过一点P作直线n⊥BD，过P作直线m⊥BC，则m⊥α，n⊥β.
∵α∩β＝AB，∴m⊥AB，n⊥AB.
又m∩n＝P，∴AB⊥γ.
法二：如图(2)，在平面α内作直线m⊥BC，
∵α⊥γ，α∩γ＝BC，∴m⊥γ.
同理在平面β内作直线n⊥BD，
则n⊥γ.∴m∥n.∵n?β，∴m∥β.
又m?α，α∩β＝AB，
∴m∥AB，∴AB⊥γ.
法三：过A作AB1⊥γ于B1.
∵α⊥γ，且点A∈α，∴AB1?α，同理AB1?β.
∴AB1＝α∩β，∴AB1与AB重合，即AB⊥γ.
法四：假设AB不垂直于γ，
∵α⊥γ于BC，在α内作AB1⊥BC，
则AB1⊥γ，在β内作AB2⊥BD，
又β⊥γ于BD，∴AB2⊥γ.
上述作法与过一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故AB不垂直于γ是不可能的，因此AB⊥γ.
一、选择题
1．已知a，b是不重合的直线，α，β，γ是两两不重合的平面，给出下列说法：
①若a⊥α，b⊥β，则α⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若b⊥α，β⊥α，则b∥β；
④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，
则a∥b.其中正确的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：面面垂直的判定和性质可知①②③不正确，④正确．
答案：A
2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有(　　)
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．
答案：A
3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　)
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，
∴AD⊥平面BCD.
又∵AD?平面ADC，
∴平面ADC⊥平面DBC.
答案：D
4.如图，在四面体D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下面结论正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，
同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.
因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.
又由于AC?平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE，所以选C.
答案：C
二、填空题
5．AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在平面，C是圆周上任一点(不同于A，B)，连接AC，BC，PB，PC，则在四面体P-ABC 中，共有________对互相垂直的平面．
解析：如图，AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∴平面PAC⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面ABC，
平面PAC⊥平面PBC.共有3对．
答案：3
6．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列三个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；
③若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.
其中正确命题的序号是________．
解析：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α 或 l?α，所以①错误；
②若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α或l与α相交，所以②错误；③正确．
答案：③
7．如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，那么以P，A，B，C，D五个点中的三点为顶点的直角三角形的个数是________．
解析：分三类：
(1)在底面ABCD中，共有四个直角，因而有四个直角三角形；
(2)四个侧面都是直角三角形；
(3)过两条侧棱的截面中，△PAC为直角三角形．
故共有9个直角三角形．
答案：9
8．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案：1或无数
三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．若PA＝PD，
求证：平面PQB⊥平面PAD.
证明：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形．
∴AD＝AB，又∵∠BAD＝60°.
∴△ABD为正三角形，
∵Q为AD的中点，
∴AD⊥BQ.
∵PA＝PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ.
又BQ∩PQ＝Q，
∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD.
10．四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为2的菱形，∠ADC为锐角，M为PA的中点．
(1)求证：PA⊥CD；
(2)求证：平面CDM⊥平面PAB.
证明：(1)取DC中点E，连接PE，AE，
因为△PDC为正三角形，所以PE⊥DC，PE＝.
又因为四边形ABCD为菱形，面积为2，且∠ADC为锐角，
所以2＝2×2×sin∠ADC，得∠ADC＝60°.
所以AE⊥DC.因为PE⊥CD，AE⊥CD，
AE∩PE＝E，所以CD⊥平面PEA，
所以CD⊥PA.
(2)因为AD＝DP，M为PA的中点，
所以DM⊥PA，
由(1)知PA⊥CD，DM∩CD＝D，
所以PA⊥平面CDM，
所以平面CDM⊥平面PAB.
1．空间几何体的三视图与直观图
(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形：
正视图：物体前后方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和长度；
左视图：物体左方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和宽度；
俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，它能反映物体的长度和宽度．
注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．
(2)空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形，斜二测画法的步骤及标准为：
①建坐标系，定水平面；
②与坐标轴平行的线段保持平行；
③水平线段等长，竖直线段减半．
三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量．
2．几何体的表面积和体积的有关计算
(1)几何体的侧面积和表面积是两个不同的概念，表面积不仅仅包括侧面积，还包括底面面积．
(2)多面体的展开图是由多个平面图形组成的，计算其表面积需分别计算各个面的面积，之后相加即可．
①对于圆柱(侧面展开图是矩形)、圆锥(侧面展开图是扇形)、圆台(侧面展开图是扇环)，要分别弄清展开图中各数据与原几何体相应量之间的关系．
②球的表面不能展开为平面图形，其表面积公式为S＝4πR2.
(3)柱体的体积公式为V＝Sh(S为底面面积，h为高)，锥体的体积公式为V＝Sh(S为底面面积，h为高)．球的体积公式为V＝πR3＝SR(其中S为球的表面积，R为球的半径)．
3．线线关系
空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．
(1)证明线线平行的方法
①线线平行的定义；
②公理3：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
③线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；
④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；
⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
(2)证明线线垂直的方法
①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；
②线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b；
③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b.
4．线面关系
直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种．
(1)证明直线与平面平行的方法
①线面平行的定义；
②判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；
③平面与平面平行的性质：α∥β，a?α?a∥β.
(2)证明直线与平面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②判定定理1：?l⊥α；
③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；
④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；
⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
5．面面关系
两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．
(1)证明面面平行的方法
①面面平行的定义；
②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β；
③线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β?α∥β；
④公理3的推广：平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ?α∥β.
(2)证明面面垂直的方法
面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.
利用三视图求几何体的表面积和体积
[例1]　(山东高考)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．
[解析]　该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，
∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.
[答案]　2＋
解答此类问题，可首先由三视图想象出几何体的形状，并由相关数据，得出几何体中的量，进而求解对应问题，此类问题在高考题中多以选择题和填空题的形式出现．
1．(浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)
A.＋1　　　　　　　　　 B.＋3
C.＋1 D.＋3
解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.
答案：A
2．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)
A．2＋ B．4＋
C．2＋2 D．5
解析：作出三棱锥的示意图如图，在△ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.
在三棱锥S -ABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底面三角形ABC是等腰三角形，AC＝BC，AB边上的高CD＝2，AD＝BD＝1，斜高SD＝，AC＝BC＝.
∴S表＝S△ABC＋S△SAC＋S△SBC＋S△SAB
＝×2×2＋×1×＋×1×＋×2×
＝2＋2.
答案：C
空间中的平行问题
[例2]　已知空间四边形ABCD中，P，Q分别是△ABC和△BDC的重心．求证：PQ∥平面ACD.
[证明]　取BC中点E.
∵P是△ABC的重心，连接AE，
则AE∶PE＝3∶1.
∵Q为△BCD的重心，连接DE，
则DE∶QE＝3∶1.∴在△AED中，PQ∥AD.
又AD?平面ACD，PQ?平面ACD，
∴PQ∥平面ACD.
1．证明线线平行的常用方法
(1)利用公理4：找第三条直线，只需证明两条直线都与第三条直线平行即可．
(2)利用三角形的中位线的性质．
(3)构建平行四边形利用其对边平行．
2．判定直线与平面平行的两种方法
(1)利用直线与平面平行的判定定理．
关键：在该平面内找或作一条直线证明其与已知直线平行．
(2)利用面面平行的性质．
关键：过该线找或作一个平面证明其与已知平面平行．
3．判定面面平行的四个方法
(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行．
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．
4．平行问题的转化关系
3．如图E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明：(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，
易证OG綊B1C1，
BE綊B1C1，
∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形．∴OB∥GE.
∵OB?平面BDD1B1，
GE?平面BDD1B1，
∴GE∥平面BDD1B1.
(2)由正方体性质得B1D1∥BD，
∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，
易证四边形HBFD1是平行四边形，
得HD1∥BF.
∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，
∴HD1∥平面BDF，∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
空间中的垂直关系
[例3]　如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
[解]　(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0<λ<1)，
∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
又∵EF?平面BEF，
∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知BE⊥EF，
∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，
∴BE⊥平面ACD.
又∵AC?平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝，∴AB＝tan 60°＝，
∴AC＝＝.
由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，
∴AE＝，∴λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
1．判定线面垂直的四种方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．”
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
2．判定面面垂直的两种方法
(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．
(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．
3．垂直关系相互转化的示意图如下
4.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
(1)求三棱锥P-ABC的体积；
(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．
解：(1)由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
可得S△ABC＝·AB·AC·sin 60°＝.
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P-ABC的高．又PA＝1，
所以三棱锥P-ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.
(2)证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.
在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，
从而NC＝AC－AN＝.
由MN∥PA，得＝＝.
5．如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE.
　　
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36，求a的值．
解：(1)证明：在图(1)中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，
所以BE⊥AC.
即在图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱锥A1-BCDE的高．
由图(1)知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，
从而四棱锥A1-BCDE的体积为
V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.
由a3＝36，得a＝6.
1．空间几何体的三视图与直观图
(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形：
正视图：物体前后方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和长度；
左视图：物体左方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和宽度；
俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，它能反映物体的长度和宽度．
注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．
(2)空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形，斜二测画法的步骤及标准为：
①建坐标系，定水平面；
②与坐标轴平行的线段保持平行；
③水平线段等长，竖直线段减半．
三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量．
2．几何体的表面积和体积的有关计算
(1)几何体的侧面积和表面积是两个不同的概念，表面积不仅仅包括侧面积，还包括底面面积．
(2)多面体的展开图是由多个平面图形组成的，计算其表面积需分别计算各个面的面积，之后相加即可．
①对于圆柱(侧面展开图是矩形)、圆锥(侧面展开图是扇形)、圆台(侧面展开图是扇环)，要分别弄清展开图中各数据与原几何体相应量之间的关系．
②球的表面不能展开为平面图形，其表面积公式为S＝4πR2.
(3)柱体的体积公式为V＝Sh(S为底面面积，h为高)，锥体的体积公式为V＝Sh(S为底面面积，h为高)．球的体积公式为V＝πR3＝SR(其中S为球的表面积，R为球的半径)．
3．线线关系
空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．
(1)证明线线平行的方法
①线线平行的定义；
②公理3：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
③线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；
④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；
⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
(2)证明线线垂直的方法
①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；
②线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b；
③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b.
4．线面关系
直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种．
(1)证明直线与平面平行的方法
①线面平行的定义；
②判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；
③平面与平面平行的性质：α∥β，a?α?a∥β.
(2)证明直线与平面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②判定定理1：?l⊥α；
③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；
④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；
⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
5．面面关系
两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．
(1)证明面面平行的方法
①面面平行的定义；
②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β；
③线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β?α∥β；
④公理3的推广：平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ?α∥β.
(2)证明面面垂直的方法
面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.
利用三视图求几何体的表面积和体积
[例1]　(山东高考)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．
[解析]　该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，
∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.
[答案]　2＋
解答此类问题，可首先由三视图想象出几何体的形状，并由相关数据，得出几何体中的量，进而求解对应问题，此类问题在高考题中多以选择题和填空题的形式出现．
1．(浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)
A.＋1　　　　　　　　　 B.＋3
C.＋1 D.＋3
解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.
答案：A
2．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)
A．2＋ B．4＋
C．2＋2 D．5
解析：作出三棱锥的示意图如图，在△ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.
在三棱锥S -ABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底面三角形ABC是等腰三角形，AC＝BC，AB边上的高CD＝2，AD＝BD＝1，斜高SD＝，AC＝BC＝.
∴S表＝S△ABC＋S△SAC＋S△SBC＋S△SAB
＝×2×2＋×1×＋×1×＋×2×
＝2＋2.
答案：C
空间中的平行问题
[例2]　已知空间四边形ABCD中，P，Q分别是△ABC和△BDC的重心．求证：PQ∥平面ACD.
[证明]　取BC中点E.
∵P是△ABC的重心，连接AE，
则AE∶PE＝3∶1.
∵Q为△BCD的重心，连接DE，
则DE∶QE＝3∶1.∴在△AED中，PQ∥AD.
又AD?平面ACD，PQ?平面ACD，
∴PQ∥平面ACD.
1．证明线线平行的常用方法
(1)利用公理4：找第三条直线，只需证明两条直线都与第三条直线平行即可．
(2)利用三角形的中位线的性质．
(3)构建平行四边形利用其对边平行．
2．判定直线与平面平行的两种方法
(1)利用直线与平面平行的判定定理．
关键：在该平面内找或作一条直线证明其与已知直线平行．
(2)利用面面平行的性质．
关键：过该线找或作一个平面证明其与已知平面平行．
3．判定面面平行的四个方法
(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行．
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．
4．平行问题的转化关系
3．如图E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明：(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，
易证OG綊B1C1，
BE綊B1C1，
∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形．∴OB∥GE.
∵OB?平面BDD1B1，
GE?平面BDD1B1，
∴GE∥平面BDD1B1.
(2)由正方体性质得B1D1∥BD，
∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，
易证四边形HBFD1是平行四边形，
得HD1∥BF.
∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，
∴HD1∥平面BDF，∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
空间中的垂直关系
[例3]　如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
[解]　(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0<λ<1)，
∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
又∵EF?平面BEF，
∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知BE⊥EF，
∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，
∴BE⊥平面ACD.
又∵AC?平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝，∴AB＝tan 60°＝，
∴AC＝＝.
由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，
∴AE＝，∴λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
1．判定线面垂直的四种方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．”
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
2．判定面面垂直的两种方法
(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．
(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．
3．垂直关系相互转化的示意图如下
4.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
(1)求三棱锥P-ABC的体积；
(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．
解：(1)由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
可得S△ABC＝·AB·AC·sin 60°＝.
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P-ABC的高．又PA＝1，
所以三棱锥P-ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.
(2)证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.
在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，
从而NC＝AC－AN＝.
由MN∥PA，得＝＝.
5．如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE.
　　
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36，求a的值．
解：(1)证明：在图(1)中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，
所以BE⊥AC.
即在图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱锥A1-BCDE的高．
由图(1)知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，
从而四棱锥A1-BCDE的体积为
V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.
由a3＝36，得a＝6.