2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第6章 阶段质量检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)
A．三棱锥　　　　　 　B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.
答案：B
2．已知点M不在直线b上，直线b不在平面α内，则下列对M，b，α间的关系用集合语言表示正确的是(　　)
A．M?b，b?α B．M?b，b?α
C．M?b，b?α D．M?b，b?α
解析：点M不在直线b上即M?b，直线b不在平面α内，则b?α.
答案：C
3．(全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A．π B.
C. D.
解析：设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－2＝，所以圆柱的体积V＝π×1＝.
答案：B
4．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰长和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积是(　　)
A．2＋ B.
C. D．1＋
解析：由直观图的画法规则可知，原平面图形是直角梯形，上底边长为1，下底边长为2×1×cos 45°＋1＝＋1.高为2×1＝2.其面积为×(1＋＋1)×2＝2＋.
答案：A
5．(全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
解析：法一：由正方体的性质，
得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，
所以BC1⊥平面A1B1CD.
又A1E?平面A1B1CD，
所以A1E⊥BC1.
法二：∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B、D错；
∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，
∴A1E⊥BC1，故C正确；
(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，
又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.
又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)
∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，
而D1E不与DC1垂直，故A错．
答案：C
6．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)
A.　　 　B．4π　　　
C．2π　　　 D.
解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，
所以半径r＝＝1，所以V球＝×13＝.故选D.
答案：D
7．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析：∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，
∴S表＝a2＋3××2＝a2.
答案：A
8．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
解析：由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
答案：D
9．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是(　　)
A. cm3　　　　　　　　　 B. cm3
C. cm3 D．7 cm3
解析：根据三视图可知几何体是棱长为2 cm的正方体截去三棱锥A-BCD，其中B，D分别为所在棱的中点，则BC＝CD＝1 cm，且AC⊥平面BCD，所以几何体的体积V＝2×2×2－××1×1×2＝(cm3)，故选A.
答案：A
10．设有直线m，n和平面α，β.下列四个说法中，正确的是(　　)
A．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
解析：由线面平行和线面垂直的判定可知，A，B，C错误，D正确．
答案：D
11．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线(其中任何两直线都不共面)，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是(　　)
A．n∥α B．n∥α或n?α
C．n?α或n与α不平行 D．n?α
解析：因为l?α，且l与n异面，所以n?α.
又m⊥α，n⊥m，所以n∥α.
答案：A
12．在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDE⊥平面ABC
D．平面PDF⊥平面PAE
解析：如图所示，正四面体P-ABC中，因为DF∥BC，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，因此选项A正确；
因为PB＝PC，AB＝AC，E是BC的中点，所以PE⊥BC，AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，而DF?平面PDF，所以平面PDF⊥平面PAE，因此选项B，D都正确．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．长方体ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是________．
解析：由平面BCC1B1⊥平面ABCD，MN⊥BC，
知MN⊥平面ABCD.
∴MN⊥AB.
答案：垂直
14．正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为________．
解析：∵AB1∥DC1，AD1∥BC1，AB1∩AD1＝A，
DC1∩BC1＝C1，∴平面AB1D1∥平面BC1D.
答案：平行
15．一个正三棱柱(底面是正三角形，各个侧面均是矩形)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为________．
解析：正三棱柱的底面是正三角形，且高为2.
设底面边长为a，则a＝2，∴a＝4.
由三视图知正三棱柱的侧棱长为2，
∴正三棱柱的表面积S＝S侧＋2S底＝3×4×2＋2×＝8(3＋)．
答案：8(3＋)
16．(全国卷Ⅰ)已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S -ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
解析：如图，连接AO，OB，
∵SC为球O的直径，
∴点O为SC的中点，
∵SA＝AC，SB＝BC，
∴AO⊥SC，BO⊥SC，
∵平面SCA⊥平面SCB，
平面SCA∩平面SCB＝SC，
∴AO⊥平面SCB，
设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R.
∴VS -ABC＝VA-SBC＝×S△SBC×AO
＝××AO，
即9＝××R，解得 R＝3，
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
答案：36π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点．求证：平面MDB1∥平面ANC.
证明：连接MN，因为M，N分别为AA1，BB1的中点，
所以MN綊CD，
所以四边形MNCD为平行四边形，于是CN∥MD.
∵CN?平面MDB1，MD?平面MDB1，
∴CN∥平面MDB1.
∵B1N綊AM，∴四边形B1NAM是平行四边形，
∴AN∥B1M.
∵AN?平面MDB1，B1M?平面MDB1，
∴AN∥平面MDB1，∴平面MDB1∥平面ANC.
18.(本小题满分12分)如图所示，在多面体FE-ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.
解：如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝.
所以AG＝GD＝BH＝HC＝，
S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
V＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC
＝×2＋×1
＝.
19．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB.
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD?平面ABD，
所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC?平面ABC，
所以AD⊥AC.
20．(本小题满分12分)如图所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图及其正视图和左视图(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的数据，求该多面体的体积．
解：(1)加上俯视图后的三视图如图所示．
(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V三棱锥＝4×4×6－××2＝(cm3)．
21．(本小题满分12分)(全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
解：(1)证明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD.
因为AB∥CD，所以AB⊥PD.
又AP∩PD＝P，
所以AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)如图所示，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.
由(1)知，AB⊥平面PAD，
故AB⊥PE，
可得PE⊥平面ABCD.
设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x.
故四棱锥P-ABCD的体积
VP-ABCD＝AB·AD·PE＝x3.
由题设得x3＝，故x＝2.
从而PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.
可得四棱锥P-ABCD的侧面积为
PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.
22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)证明：AC⊥平面PBD.
证明：(1)连接AC，设AC∩BD＝H，连接EH.
在△ADC中，
∵AD＝CD，且DB平分∠ADC，
∴H为AC的中点．
又E为PC的中点，
∴EH∥PA，
又HE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE.
(2)∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
由(1)知，BD⊥AC，PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PBD.