2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 7.1 点的坐标
文档属性
| 名称 | 2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 7.1 点的坐标 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 501.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 15:33:57 | ||
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文档简介
7．1点的坐标
第一课时 向量的坐标与两点之间的距离
1．向量坐标的基本概念
(1)先取一个点O作为基准点，称为原点．
(2)取定这个基准点之后，任何一个点P的位置就由O到P的向量唯一表示，称为点P的位置向量．它表示点P相对于点O的位置．
(3)在平面上取定两个互相垂直的单位向量e1，e2作为基，则可唯一地分解为：＝xe1＋ye2的形式，
其中x，y是一对实数，(x，y)就是向量的坐标．
2．向量的坐标
从任意一点出发的向量的坐标，任一点A(x1，y1)，B(x2，y2)
＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．
3．两点之间的距离
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝.
1．坐标能表示向量及点的位置吗？
[提示] 若＝(x，y)，则坐标唯一地表示了向量，也唯一地表示了点P的位置．
2．若向量e1，e2能作为平面的一组基底，它能表示平面内的任意向量吗？
[提示] 能，作为平面内的任意向量p，存在唯一的一对实数λ1，λ2使得p＝λ1e1＋λ2e2.
向量的坐标运算
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N的坐标及＋.
[自主解答] 法一：由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，得
＝(1,8)，＝3＝3(1,8)＝(3,24)，
＝(6,3)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，
∴即∴M(0,20)．
又＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，
∴
即∴N(9,2)．
∴＝(9，－18)，又＝(5，－5)，
∴＋＝(9，－18)＋(5，－5)＝(9，－18)＋(1，－1)＝(10，－19)．
故M(0,20)，N(9,2)，＋＝(10，－19)．
法二：取点O为原点，由＝3，
得－＝3－3，
即＝3－2＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(－6,12)＋(6,8)＝(0,20)，
∴M(0,20)．
由＝2，
得－＝2－2，
即＝2－
＝2(3，－1)－(－3，－4)
＝(6，－2)＋(3,4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．
又＝(5，－5)，＝(9，－18)，
∴＋＝(10，－19)．
向量的坐标等于它的终点坐标减去起点的坐标，解答本题的关键是求M，N点的坐标，利用向量相等通过待定系数法求M，N点的坐标．
1．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)．＝，＝，求向量.
解：设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
∵＝(2,2)，＝(－2,3)，
∴＝＝，＝＝，
∴(x1，y1)－(－1,0)＝，
(x2，y2)－(3，－1)＝，
∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝，
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝－＝.
两点之间的距离公式
已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|.并求|PA|的值．
[自主解答] 设所求点P(x,0)，于是有，
|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，得
x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
所以，所求点P(1,0)且|PA|＝＝2.
1．点P1，P2的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为|P1P2|＝.
2．距离公式的几个特例：
(1)当P1P2⊥x轴时，|P1P2|＝|y2－y1|；
(2)当P1P2⊥y轴时，|P1P2|＝|x2－x1|；
(3)若P2为原点，则|P1P2|＝.
2．已知△ABC的三个顶点是A(－1,0)，B(1,0)，C.试判断△ABC的形状．
解：因为|AB|＝|1－(－1)|＝2，
|BC|＝ ＝1，
|AC|＝ ＝，
故有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以△ABC是直角三角形．
[随堂体验落实]
1．已知＝(2,3)，＝2，C(3,0)，则D点坐标是( )
A．(1,6) B．(－1,6)
C．(7,6) D．(7，－6)
解析：设D(x，y)，则＝(x－3，y)．
∵(x－3，y)＝2(2,3)，
∴?
答案：C
2．已知点A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．4 B．－4或2
C．－2 D．－2或4
解析：∵|AB|＝＝5，
∴a＝－2或4.
答案：D
3．已知点M(3，－2)，N(－5，－1)，若＝，则点P的坐标是________．
解析：令P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∵＝，
即(x－3，y＋2)＝(－8,1)，
∴
即∴P.
答案：
4．已知点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则a的值为________．
解析：由已知得＝，
∴a＝－.
答案：－
[感悟高手解题]
[妙解题]
求函数y＝＋的最小值．
巧思：函数可化为y＝＋，可看做求点与点距离的最小值．
妙解：由于函数可化为y＝＋.
那么，第一个根式就构造为点P(x,0)到点A(－2，－1)的距离，
第二个根式就构造为P(x,0)到点B(3,2)的距离，
求y的最小值就转化为在x轴上求一点P(x,0)到A，B两点的距离之和最小．如图所示，由于A，B两点在x轴两侧，
所以这个最小值就是A，B两点的距离，
即ymin＝＝.
一、选择题
1．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x的值为( )
A．－1 B．－1或4
C．4 D．1或－4
解析：∵＝(2,0)，又a＝.
∴
解得x＝－1.
答案：A
2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析：由平面向量的坐标运算法则知a－b＝(－1,2)．
答案：D
3．若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为( )
A．(－2,0) B．(1,0)
C. D．(，0)
解析：设M(x,0)，(x＞0)，
由已知得x2＝52＋(－3)2＝34，
∴x＝.
答案：D
4．已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，若A，B，C是△ABC的三个顶点，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：因为|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
|BC|＝＝2，
|AC|＝|BC|，
所以△ABC为等腰三角形．
答案：B
二、填空题
5．已知向量a的起点A，终点B.若a＝(－2,1)，A(0,0)，则B点坐标为________．
解析：设B(x，y)，则a＝＝(x，y)＝(－2,1)，
∴x＝－2，y＝1.
∴B点坐标为(－2,1)．
答案：(－2,1)
6．若＝(2,8)，＝(－7,2)，则＝________.
解析：＝－＝(－9，－6)．
则＝(－3，－2)．
答案：(－3，－2)
7．已知点A(a，－5)与B(0,10)间的距离是17，则a＝________.
解析：由两点间距离公式得a2＋(－5－10)2＝172，
∴a2＝172－152＝32×2＝64.
∴a＝±8.
答案：±8
8．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数a的值是________．
解析：|AB|＝
＝
＝
＝.
∴当a＝时，|AB|取得最小值．
答案：
三、解答题
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)．
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
10．已知三角形的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．证明：△ABC为等腰直角三角形．
证明：根据题意可得，
|AB|＝＝2，
|BC|＝＝2，
|AC|＝＝2，
则|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC为等腰直角三角形．
第二课时 定比分点坐标
1．中点坐标公式
A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M的坐标为(x，y)，
则
2．定比分点坐标公式
A(x1，y1)，B(x2，y2)，且点P分有向线段所成的比为λ，
则P点的坐标(x，y)满足
3．三角形的重心坐标公式
已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
则△ABC的重心G的坐标为：
.
1．定比分点坐标公式和中点坐标公式有什么关系？
[提示] 在定比分点坐标公式中，当λ＝1时，就成了中点坐标公式．
2．λ为点P分有向线段的比，λ的符号与点P和有向线段，，方向 的关系？
[提示] (1)当P在线段AB之间时，，方向相同，λ＞0；
(2)点P在线段AB之外，此时，方向相反，λ＜0且λ≠－1；
(3)当点P与点A重合时λ＝0，而点P与点B重合时不可能写成＝0的实数倍．
中点坐标公式的应用
平面上三个点，分别为A(2，－5)，B(3,4)，C(－1，－3)，D为线段BC的中点，求向量的坐标．
[自主解答] 因为D为线段BC的中点，
由线段的中点坐标公式x＝，y＝，
可以求得D.
由向量的坐标公式得
＝(2，－5)－＝.
若M为AB的中点，则＝，＝(＋)，再利用坐标公式求得．也可以利用它求对称问题．
1．设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M(－1,2)，则|PQ|＝________.
解析：设P(a,0)，Q(0，b)，
由中点坐标公式得∴
∴|PQ|＝＝＝2.
答案：2
定比分点坐标公式的应用
已知A(1,3)，B(－2,0)，C(2,1)为三角形的三个顶点，L，M，N分别是BC，CA，AB上的点，满足BL∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3，求点L，M，N的坐标．
[自主解答] 因为A(1,3)，B(－2,0)，C(2,1)，
所以＝(1,3)，＝(－2,0)，＝(2,1)，
又因为BL∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3，
所以由＝2，得＝＋＝(2,1)＋(－2,0)＝；
由＝2，得＝＋＝(1,3)＋(2,1)＝；
由＝2，得＝＋＝(－2,0)＋(1,3)＝(0,2)，
所以点L，M，N的坐标分别为L，M，N(0,2)．
设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为两定点，P为直线P1P2上一点，且＝λ (λ≠－1)，则点P的坐标是.
事实上，设点P(x，y)，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
∴可得
在利用该公式时，一定要准确．
2．过点P1(2,3)，P2(6，－1)的直线上有一点P使||∶||＝3，求点P的坐标．
解：由||∶||＝3可得||＝3||，
从而当＝－3时，＝＋＝(5,0)；
当＝3时，＝－＋＝(8，－3)，
于是P(5,0)或P(8，－3)即为所求.
三角形重心坐标公式的应用
在△ABC中，A(3,1)，AB的中点为D(2,4)，三角形的重心为G(3,4)，求B，C两点的坐标．
[自主解答] 设B点坐标为(x1，y1)，C点坐标为(x2，y2)，则∴
又∵三角形的重心为G(3,4)，
∴∴
∴B点坐标为(1,7)，C点坐标为(5,4)．
三角形重心的坐标等于三个顶点相应坐标的算术平均值．在利用时一定要准确写出每个顶点的坐标，并合理的利用中点坐标公式，定比分点坐标公式以及重心坐标公式．
3．已知△ABC的三个顶点为A(3,1)，B(－3，－2)，C(a，b)且△ABC的重心G关于点(1,1)的对称点的坐标为(1,2)，求a，b的值．
解：设重心G的坐标为(x，y)，
则
又点(x，y)关于点(1,1)对称的点为(1,2)，
∴
得
∴a＝3，b＝1.
[随堂体验落实]
1．点(4,0)关于(2,3)对称的点是( )
A．(6,0) B．(4,6)
C．(0,6) D．(2，－2)
解析：由中点坐标公式可得
解得
答案：C
2．线段AB的端点A(2，－3)，B(－5,4)，C点分线段AB的比为，则C点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：设C点的坐标为(x，y)，
则x＝＝＝－，
y＝＝＝－.
∴C点的坐标为.
答案：D
3．已知△ABC的两个顶点A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是( )
A．(－3，－7) B．(－3，－7)或(2，－5)
C．(3，－5) D．(2，－7)或(－3，－5)
解析：设C(x，y)，显然AC，BC的中点不同在一条坐标轴上．
若AC的中点在x轴上，BC中点在y轴上，
则有y＋7＝0，－2＋x＝0，即C(2，－7)；
若AC中点在y轴上，BC中点在x轴上，
则有3＋x＝0,5＋y＝0，即C(－3，－5)．
答案：D
4．如图，点B分有向线段的比为λ1＝________；点C分有向线段的比为λ2＝________；点A分有向线段的比为λ3＝________.
解析：λ1＝＝；λ2＝＝－；λ3＝＝－.
答案： － －
[感悟高手解题]
[妙解题] 等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，如图所示，A(0，k)，B(－1，0)，C(1,0)，求k的值．
巧思：通过BB′⊥CC′可知⊥，则通过·＝0列关于k的方程求解．
妙解：∵＝(1，k)，＝(2,0)，＝(－1，k)，
∴＝ (＋)＝(3，k)＝，
＝ (＋)＝(－3，k)＝.
又∵⊥，∴·＝0，
即－＋＝0，
∴k2＝9.∴k＝±3.
一、选择题
1．线段AB的中点M的坐标为(8，－2)，端点A的坐标为(3,7)，则端点B的坐标为( )
A．(13，－11) B．(13,11)
C．(－13，－11) D．(－13,11)
解析：设B的坐标为(x，y)，
则得
答案：A
2．已知两点A(1,2)，B(－1,3)．设点C使＝－，则C点的坐标为( )
A．(3，－1) B．(－1,3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
解析：λ＝＝－，设C的坐标为(x，y)，
则x＝＝3，y＝＝1.
答案：C
3．已知两点A(0,2)，B(－3,1)．点P(x,3)，则P分的比λ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：由3＝，解得λ＝－.
答案：A
4．在△ABC中，A(1,0)，B(3,2)，三角形的重心为G(3,1)，则C点的坐标为( )
A．(5,1) B．(－5,1)
C．(1,5) D．(0，－1)
解析：设C点坐标为(x，y)，则有
解得
∴C点坐标为(5,1)．
答案：A
二、填空题
5．已知三点A(x,5)，B(－2，y)，C(1,1)且点C平分线段AB，则x＝________，y＝________.
解析：由中点坐标公式得
∴
答案：4 －3
6．已知三角形ABC中，A(0,5)，B(a，－3)，C(4，b)，重心G(0，1)，则a＝________，b＝________.
解析：由＝0，得a＝－4，
又由＝1，得b＝1.
∴a＝－4，b＝1.
答案：－4 1
7．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则x＝________.
解析：由已知得
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)
＝(1－2λ，3－4λ)，
∴∴
答案：2
8．连接A(4,1)和B(－2,4)两点的直线和x轴交点的坐标是________，和y轴交点的坐标是________．
解析：设直线AB和x轴的交点M的坐标为(x,0)，和y轴的交点N的坐标为(0，y)，
又设点N分AB的比为λ1，
则0＝.
∴λ1＝2，
∴y＝＝3.
∴N点坐标为(0,3)．
设M分AB的比为λ2，
∴0＝，∴λ2＝－.
∴x＝＝6，
∴M点坐标为(6,0)．
答案：(6,0) (0,3)
三、解答题
9．已知A(2,3)，B(－1,5)，且＝，＝3，求点C，D的坐标．
解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
∵＝，∴λ1＝＝，
∴x1＝＝1，
y1＝＝.
∵＝3，
∴λ2＝＝－，
∴x2＝＝－7.
y2＝＝9.
∴C点坐标为，
D点坐标为(－7,9)．
10．已知以点A(－3，y)与点B(x,2)为端点的线段的中点C在x轴上，O为原点，
(1)若|OC|＝1，求点C的坐标；
(2)当|AC|取最小值时，求点A关于点C的对称点坐标．
解：由中点公式，点C的坐标为，
由于点C在x轴上，所以y＝－2，即A(－3, －2)．
(1)∵|OC|＝1，∴＝1，
解得x＝5或x＝1，
即点C的坐标为(5,0)或(1,0)．
(2)∵|AC|＝ ＝ ，
∴当x＝－3时，|AC|有最小值2，
∴C(－3,0)．
∴点A关于点C的对称点坐标为(－3,2)．
第一课时 向量的坐标与两点之间的距离
1．向量坐标的基本概念
(1)先取一个点O作为基准点，称为原点．
(2)取定这个基准点之后，任何一个点P的位置就由O到P的向量唯一表示，称为点P的位置向量．它表示点P相对于点O的位置．
(3)在平面上取定两个互相垂直的单位向量e1，e2作为基，则可唯一地分解为：＝xe1＋ye2的形式，
其中x，y是一对实数，(x，y)就是向量的坐标．
2．向量的坐标
从任意一点出发的向量的坐标，任一点A(x1，y1)，B(x2，y2)
＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．
3．两点之间的距离
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝.
1．坐标能表示向量及点的位置吗？
[提示] 若＝(x，y)，则坐标唯一地表示了向量，也唯一地表示了点P的位置．
2．若向量e1，e2能作为平面的一组基底，它能表示平面内的任意向量吗？
[提示] 能，作为平面内的任意向量p，存在唯一的一对实数λ1，λ2使得p＝λ1e1＋λ2e2.
向量的坐标运算
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N的坐标及＋.
[自主解答] 法一：由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，得
＝(1,8)，＝3＝3(1,8)＝(3,24)，
＝(6,3)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，
∴即∴M(0,20)．
又＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，
∴
即∴N(9,2)．
∴＝(9，－18)，又＝(5，－5)，
∴＋＝(9，－18)＋(5，－5)＝(9，－18)＋(1，－1)＝(10，－19)．
故M(0,20)，N(9,2)，＋＝(10，－19)．
法二：取点O为原点，由＝3，
得－＝3－3，
即＝3－2＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(－6,12)＋(6,8)＝(0,20)，
∴M(0,20)．
由＝2，
得－＝2－2，
即＝2－
＝2(3，－1)－(－3，－4)
＝(6，－2)＋(3,4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．
又＝(5，－5)，＝(9，－18)，
∴＋＝(10，－19)．
向量的坐标等于它的终点坐标减去起点的坐标，解答本题的关键是求M，N点的坐标，利用向量相等通过待定系数法求M，N点的坐标．
1．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)．＝，＝，求向量.
解：设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
∵＝(2,2)，＝(－2,3)，
∴＝＝，＝＝，
∴(x1，y1)－(－1,0)＝，
(x2，y2)－(3，－1)＝，
∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝，
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝－＝.
两点之间的距离公式
已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|.并求|PA|的值．
[自主解答] 设所求点P(x,0)，于是有，
|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，得
x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
所以，所求点P(1,0)且|PA|＝＝2.
1．点P1，P2的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为|P1P2|＝.
2．距离公式的几个特例：
(1)当P1P2⊥x轴时，|P1P2|＝|y2－y1|；
(2)当P1P2⊥y轴时，|P1P2|＝|x2－x1|；
(3)若P2为原点，则|P1P2|＝.
2．已知△ABC的三个顶点是A(－1,0)，B(1,0)，C.试判断△ABC的形状．
解：因为|AB|＝|1－(－1)|＝2，
|BC|＝ ＝1，
|AC|＝ ＝，
故有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以△ABC是直角三角形．
[随堂体验落实]
1．已知＝(2,3)，＝2，C(3,0)，则D点坐标是( )
A．(1,6) B．(－1,6)
C．(7,6) D．(7，－6)
解析：设D(x，y)，则＝(x－3，y)．
∵(x－3，y)＝2(2,3)，
∴?
答案：C
2．已知点A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．4 B．－4或2
C．－2 D．－2或4
解析：∵|AB|＝＝5，
∴a＝－2或4.
答案：D
3．已知点M(3，－2)，N(－5，－1)，若＝，则点P的坐标是________．
解析：令P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∵＝，
即(x－3，y＋2)＝(－8,1)，
∴
即∴P.
答案：
4．已知点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则a的值为________．
解析：由已知得＝，
∴a＝－.
答案：－
[感悟高手解题]
[妙解题]
求函数y＝＋的最小值．
巧思：函数可化为y＝＋，可看做求点与点距离的最小值．
妙解：由于函数可化为y＝＋.
那么，第一个根式就构造为点P(x,0)到点A(－2，－1)的距离，
第二个根式就构造为P(x,0)到点B(3,2)的距离，
求y的最小值就转化为在x轴上求一点P(x,0)到A，B两点的距离之和最小．如图所示，由于A，B两点在x轴两侧，
所以这个最小值就是A，B两点的距离，
即ymin＝＝.
一、选择题
1．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x的值为( )
A．－1 B．－1或4
C．4 D．1或－4
解析：∵＝(2,0)，又a＝.
∴
解得x＝－1.
答案：A
2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析：由平面向量的坐标运算法则知a－b＝(－1,2)．
答案：D
3．若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为( )
A．(－2,0) B．(1,0)
C. D．(，0)
解析：设M(x,0)，(x＞0)，
由已知得x2＝52＋(－3)2＝34，
∴x＝.
答案：D
4．已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，若A，B，C是△ABC的三个顶点，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：因为|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
|BC|＝＝2，
|AC|＝|BC|，
所以△ABC为等腰三角形．
答案：B
二、填空题
5．已知向量a的起点A，终点B.若a＝(－2,1)，A(0,0)，则B点坐标为________．
解析：设B(x，y)，则a＝＝(x，y)＝(－2,1)，
∴x＝－2，y＝1.
∴B点坐标为(－2,1)．
答案：(－2,1)
6．若＝(2,8)，＝(－7,2)，则＝________.
解析：＝－＝(－9，－6)．
则＝(－3，－2)．
答案：(－3，－2)
7．已知点A(a，－5)与B(0,10)间的距离是17，则a＝________.
解析：由两点间距离公式得a2＋(－5－10)2＝172，
∴a2＝172－152＝32×2＝64.
∴a＝±8.
答案：±8
8．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数a的值是________．
解析：|AB|＝
＝
＝
＝.
∴当a＝时，|AB|取得最小值．
答案：
三、解答题
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)．
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
10．已知三角形的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．证明：△ABC为等腰直角三角形．
证明：根据题意可得，
|AB|＝＝2，
|BC|＝＝2，
|AC|＝＝2，
则|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC为等腰直角三角形．
第二课时 定比分点坐标
1．中点坐标公式
A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M的坐标为(x，y)，
则
2．定比分点坐标公式
A(x1，y1)，B(x2，y2)，且点P分有向线段所成的比为λ，
则P点的坐标(x，y)满足
3．三角形的重心坐标公式
已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
则△ABC的重心G的坐标为：
.
1．定比分点坐标公式和中点坐标公式有什么关系？
[提示] 在定比分点坐标公式中，当λ＝1时，就成了中点坐标公式．
2．λ为点P分有向线段的比，λ的符号与点P和有向线段，，方向 的关系？
[提示] (1)当P在线段AB之间时，，方向相同，λ＞0；
(2)点P在线段AB之外，此时，方向相反，λ＜0且λ≠－1；
(3)当点P与点A重合时λ＝0，而点P与点B重合时不可能写成＝0的实数倍．
中点坐标公式的应用
平面上三个点，分别为A(2，－5)，B(3,4)，C(－1，－3)，D为线段BC的中点，求向量的坐标．
[自主解答] 因为D为线段BC的中点，
由线段的中点坐标公式x＝，y＝，
可以求得D.
由向量的坐标公式得
＝(2，－5)－＝.
若M为AB的中点，则＝，＝(＋)，再利用坐标公式求得．也可以利用它求对称问题．
1．设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M(－1,2)，则|PQ|＝________.
解析：设P(a,0)，Q(0，b)，
由中点坐标公式得∴
∴|PQ|＝＝＝2.
答案：2
定比分点坐标公式的应用
已知A(1,3)，B(－2,0)，C(2,1)为三角形的三个顶点，L，M，N分别是BC，CA，AB上的点，满足BL∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3，求点L，M，N的坐标．
[自主解答] 因为A(1,3)，B(－2,0)，C(2,1)，
所以＝(1,3)，＝(－2,0)，＝(2,1)，
又因为BL∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3，
所以由＝2，得＝＋＝(2,1)＋(－2,0)＝；
由＝2，得＝＋＝(1,3)＋(2,1)＝；
由＝2，得＝＋＝(－2,0)＋(1,3)＝(0,2)，
所以点L，M，N的坐标分别为L，M，N(0,2)．
设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为两定点，P为直线P1P2上一点，且＝λ (λ≠－1)，则点P的坐标是.
事实上，设点P(x，y)，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
∴可得
在利用该公式时，一定要准确．
2．过点P1(2,3)，P2(6，－1)的直线上有一点P使||∶||＝3，求点P的坐标．
解：由||∶||＝3可得||＝3||，
从而当＝－3时，＝＋＝(5,0)；
当＝3时，＝－＋＝(8，－3)，
于是P(5,0)或P(8，－3)即为所求.
三角形重心坐标公式的应用
在△ABC中，A(3,1)，AB的中点为D(2,4)，三角形的重心为G(3,4)，求B，C两点的坐标．
[自主解答] 设B点坐标为(x1，y1)，C点坐标为(x2，y2)，则∴
又∵三角形的重心为G(3,4)，
∴∴
∴B点坐标为(1,7)，C点坐标为(5,4)．
三角形重心的坐标等于三个顶点相应坐标的算术平均值．在利用时一定要准确写出每个顶点的坐标，并合理的利用中点坐标公式，定比分点坐标公式以及重心坐标公式．
3．已知△ABC的三个顶点为A(3,1)，B(－3，－2)，C(a，b)且△ABC的重心G关于点(1,1)的对称点的坐标为(1,2)，求a，b的值．
解：设重心G的坐标为(x，y)，
则
又点(x，y)关于点(1,1)对称的点为(1,2)，
∴
得
∴a＝3，b＝1.
[随堂体验落实]
1．点(4,0)关于(2,3)对称的点是( )
A．(6,0) B．(4,6)
C．(0,6) D．(2，－2)
解析：由中点坐标公式可得
解得
答案：C
2．线段AB的端点A(2，－3)，B(－5,4)，C点分线段AB的比为，则C点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：设C点的坐标为(x，y)，
则x＝＝＝－，
y＝＝＝－.
∴C点的坐标为.
答案：D
3．已知△ABC的两个顶点A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是( )
A．(－3，－7) B．(－3，－7)或(2，－5)
C．(3，－5) D．(2，－7)或(－3，－5)
解析：设C(x，y)，显然AC，BC的中点不同在一条坐标轴上．
若AC的中点在x轴上，BC中点在y轴上，
则有y＋7＝0，－2＋x＝0，即C(2，－7)；
若AC中点在y轴上，BC中点在x轴上，
则有3＋x＝0,5＋y＝0，即C(－3，－5)．
答案：D
4．如图，点B分有向线段的比为λ1＝________；点C分有向线段的比为λ2＝________；点A分有向线段的比为λ3＝________.
解析：λ1＝＝；λ2＝＝－；λ3＝＝－.
答案： － －
[感悟高手解题]
[妙解题] 等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，如图所示，A(0，k)，B(－1，0)，C(1,0)，求k的值．
巧思：通过BB′⊥CC′可知⊥，则通过·＝0列关于k的方程求解．
妙解：∵＝(1，k)，＝(2,0)，＝(－1，k)，
∴＝ (＋)＝(3，k)＝，
＝ (＋)＝(－3，k)＝.
又∵⊥，∴·＝0，
即－＋＝0，
∴k2＝9.∴k＝±3.
一、选择题
1．线段AB的中点M的坐标为(8，－2)，端点A的坐标为(3,7)，则端点B的坐标为( )
A．(13，－11) B．(13,11)
C．(－13，－11) D．(－13,11)
解析：设B的坐标为(x，y)，
则得
答案：A
2．已知两点A(1,2)，B(－1,3)．设点C使＝－，则C点的坐标为( )
A．(3，－1) B．(－1,3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
解析：λ＝＝－，设C的坐标为(x，y)，
则x＝＝3，y＝＝1.
答案：C
3．已知两点A(0,2)，B(－3,1)．点P(x,3)，则P分的比λ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：由3＝，解得λ＝－.
答案：A
4．在△ABC中，A(1,0)，B(3,2)，三角形的重心为G(3,1)，则C点的坐标为( )
A．(5,1) B．(－5,1)
C．(1,5) D．(0，－1)
解析：设C点坐标为(x，y)，则有
解得
∴C点坐标为(5,1)．
答案：A
二、填空题
5．已知三点A(x,5)，B(－2，y)，C(1,1)且点C平分线段AB，则x＝________，y＝________.
解析：由中点坐标公式得
∴
答案：4 －3
6．已知三角形ABC中，A(0,5)，B(a，－3)，C(4，b)，重心G(0，1)，则a＝________，b＝________.
解析：由＝0，得a＝－4，
又由＝1，得b＝1.
∴a＝－4，b＝1.
答案：－4 1
7．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则x＝________.
解析：由已知得
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)
＝(1－2λ，3－4λ)，
∴∴
答案：2
8．连接A(4,1)和B(－2,4)两点的直线和x轴交点的坐标是________，和y轴交点的坐标是________．
解析：设直线AB和x轴的交点M的坐标为(x,0)，和y轴的交点N的坐标为(0，y)，
又设点N分AB的比为λ1，
则0＝.
∴λ1＝2，
∴y＝＝3.
∴N点坐标为(0,3)．
设M分AB的比为λ2，
∴0＝，∴λ2＝－.
∴x＝＝6，
∴M点坐标为(6,0)．
答案：(6,0) (0,3)
三、解答题
9．已知A(2,3)，B(－1,5)，且＝，＝3，求点C，D的坐标．
解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
∵＝，∴λ1＝＝，
∴x1＝＝1，
y1＝＝.
∵＝3，
∴λ2＝＝－，
∴x2＝＝－7.
y2＝＝9.
∴C点坐标为，
D点坐标为(－7,9)．
10．已知以点A(－3，y)与点B(x,2)为端点的线段的中点C在x轴上，O为原点，
(1)若|OC|＝1，求点C的坐标；
(2)当|AC|取最小值时，求点A关于点C的对称点坐标．
解：由中点公式，点C的坐标为，
由于点C在x轴上，所以y＝－2，即A(－3, －2)．
(1)∵|OC|＝1，∴＝1，
解得x＝5或x＝1，
即点C的坐标为(5,0)或(1,0)．
(2)∵|AC|＝ ＝ ，
∴当x＝－3时，|AC|有最小值2，
∴C(－3,0)．
∴点A关于点C的对称点坐标为(－3,2)．