2019年数学湘教版必修3新设计同步（讲义）：第7章 7.2.1 直线的一般方程(一)

7．2.1　直线的一般方程(一)
1．方程的图象
一般地，对任意一个二元方程f(x，y)＝0，以这个方程的某一组解(x，y)为坐标，有唯一一个点与之对应，所有这些点组成的集合称为这个方程的图象．
2．定理1
任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B为实数且不全为0)的图象是与n＝(A，B)垂直的一条直线．
3．直线的一般方程
(1)方程：Ax＋By＋C＝0；
(2)法向量：如果非零向量n与直线l垂直，就称n是l的法向量．
1．任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B，C是常数，且A，B不全为0)的图象是什么？
[提示]　①Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)的图象是一条直线；
②当A＝0，B≠0时，直线垂直y轴；
③当A≠0，B＝0时，直线垂直x轴．
2．直线Ax＋By＋C＝0的法向量是多少？
[提示]　(A，B)是直线Ax＋By＋C＝0的法向量，这是解决直线方程问题的钥匙．
确定二元一次方程的图象和形状
试确定2x＋3y－8＝0的图象．
[自主解答]　方程可写成2(x－4)＋3y＝0的形式．
左边的2(x－4)＋3y＝(2,3)·(x－4，y)可看成向量(2,3)与(x－4，y)的内积，
而方程就为(2,3)·(x－4，y)＝0，
即(2,3)⊥(x－4，y)．
n＝(2,3)是一个固定的向量，其坐标由方程2x＋3y－8＝0的一次项系数组成．
(x－4，y)＝(x，y)－(4,0)是向量P0P―→的坐标，其中点P(x，y)是图象上任意一点，P0(4,0)是一个固定的点并且在图象上．
故2x＋3y－8＝0的图象是点P在过点P0(4,0)且与向量n＝(2,3)垂直的直线．如图：
二元一次方程Ax＋By＋C＝0的图象就是过且与向量n＝(A，B)垂直的直线，确定此直线时，可以利用特殊点在直角坐标系内直接画出图象．
1．确定4x－5y＋2＝0的图象．
解：∵4x－5y＋2＝4－5y
＝(4，－5)·＝0，
∴4x－5y＋2＝0的图象是过点且垂直n＝(4，－5)的直线，如图：
求直线方程
已知直线的法向量n＝(2,1)并且过点A(2,3)，求直线方程．
[自主解答]　法一：设P(x，y)是直线上任意一点，
则·n＝0.
∴(x－2，y－3)·(2,1)＝0，即2x＋y－7＝0.
法二：∵直线的法向量n＝(2,1)，
∴设直线方程为2x＋y＋m＝0.
∵直线过点A(2,3)，∴2×2＋3＋m＝0，
∴m＝－7，∴直线方程为2x＋y－7＝0.
直线方程Ax＋By＋C＝0的法向量为(A，B)，若已知法向量和定点求直线方程时可有两种方法，一是利用向量的内积；二是将已知点的坐标代入Ax＋By＋C＝0求常数项．
2．(1)已知直线的法向量n＝(1，－2)且过点(1,0)，求直线的方程．
(2)求与直线2x＋5y＋1＝0平行，且过点(2,3)的直线l的方程．
解：(1)设直线方程为x－2y＋m＝0，
∴m＝－x＋2y＝－1＋2×0＝－1.
∴直线方程为x－2y－1＝0.
(2)与直线2x＋5y＋1＝0平行的直线可设为2x＋5y＋m＝0(m≠1)，
因为点(2,3)在这条直线上，
所以2×2＋5×3＋m＝0，
即m＝－19.
故所求直线l的方程为2x＋5y－19＝0.
[随堂体验落实]
1．直线2x－3y－1＝0过(　　)
A．第一、二、三象限　　 　B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
解析：直线2x－3y－1＝0的图象，如图所示：
故直线过一、三、四象限．
答案：C
2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为x－2y＋C＝0(C≠－2)，
将点(1,0)代入x－2y＋C＝0，解得C＝－1，
故直线方程为x－2y－1＝0.
答案：A
3．直线3x＋ay－4＝0的法向量为(3，－2)，则a的值为(　　)
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：直线3x＋ay－4＝0的法向量为n＝(3，a)，故a＝－2.
答案：B
4．直线(m＋2)x＋(2－m)y＝2m与x轴的交点坐标为(3,0)，则m＝________.
解析：直线(m＋2)x＋(2－m)y＝2m与x轴的交点坐标为(3,0)，即x＝3时，y＝0，
∴3(m＋2)＋(2－m)×0＝2m.∴m＝－6.
答案：－6
5．已知直线的法向量为n＝(3,2)，并且过(－3,4)，求该直线的方程．
解：∵直线的法向量为n＝(3,2)，
∴设直线方程为3x＋2y＋m＝0，
又直线过(－3,4)，
则－3×3＋2×4＋m＝0，
∴m＝1.
∴直线方程为3x＋2y＋1＝0.
[感悟高手解题]
[多解题]
已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
解：(1)法一：∵直线l与3x＋4y－12＝0平行，
故直线l的法向量为n＝(3,4)．
设P(x，y)为直线l上的任意一点．
∴(3,4)·(x＋1，y－3)＝0，
∴3x＋3＋4y－12＝0，
即3x＋4y－9＝0.
法二：设直线l的方程为3x＋4y＋m＝0，
∵直线过点(－1,3)，
∴3×(－1)＋3×4＋m＝0，
∴m＝－9.
∴直线l的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)法一：∵直线l与3x＋4y－12＝0垂直，
∴直线l的法向量n＝(4，－3)．
设P(x，y)为直线l上的任意一点，
∴(4，－3)(x＋1，y－3)＝0，
即4x＋4－3y＋9＝0，
即4x－3y＋13＝0.
法二：设直线l的方程为4x－3y＋m＝0，
又直线过点(－1,3)，则4×(－1)－3×3＋m＝0，
∴m＝13，
∴直线l的方程为4x－3y＋13＝0.
一、选择题
1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　　)
A．m≠1　　　　　　 　B．m≠－
C．m≠0 D．m≠1且m≠－且m≠0
解析：若所给的方程表示直线，则2m2＋m－3，m2－m不全为0.
由得m＝1，
∴m≠1.
答案：A
2．直线ax＋by＝1(a，b不为0)与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A.ab B.|ab|
C. D.
解析：当x＝0时，y＝；
当y＝0时，x＝；
∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·＝.
答案：D
3．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
解析：∵所求直线与x－2y＋3＝0垂直，
∴所求直线的法向量为(2,1)．
设所求直线为2x＋y＋m＝0，
∴2×(－1)＋3＋m＝0，
∴m＝－1，
∴直线为2x＋y－1＝0.
答案：A
4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(　　)
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
解析：AB的中点D坐标为(－2,2)．
设P(x，y)为所求直线上任意点，
∴DP―→·＝0，
∴(x＋2，y－2)·(－6，－2)＝0，
∴－6(x＋2)－2(y－2)＝0，
即3x＋y＋4＝0.
答案：B
二、填空题
5．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，根据下列条件写出A，B，C满足的关系：
(1)直线l过原点________；
(2)直线l垂直于x轴________；
(3)直线l垂直于y轴________．
解析：(1)若直线l过原点，则C＝0，A2＋B2≠0；
(2)若直线l垂直于x轴，A≠0，B＝0；
(3)若直线l垂直于y轴，A＝0，B≠0.
答案：(1)A2＋B2≠0，C＝0
(2)A≠0，B＝0
(3)A＝0，B≠0
6．直线的法向量n＝(－2,3)，并且过点(3，－4)，则直线的方程为________________．
解析：设直线方程为－2x＋3y＋m＝0，
∴m＝2x－3y＝2×3－3×(－4)＝18，
∴直线方程为2x－3y－18＝0.
答案：2x－3y－18＝0
7．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的一般式方程为____________．
解析：设直线方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1)，
∵直线过点(1,2)，
∴m＝－3×1－4×2＝－11，
∴直线方程为3x＋4y－11＝0.
答案：3x＋4y－11＝0
8．已知过点A(－5，m－2)和B(－2m,3)的直线与直线x＋3y－1＝0平行，则m的值为________．
解析：∵直线x＋3y－1＝0的法向量n＝(1,3)，
∴·n＝0，
∴(1,3)·(－2m＋5,5－m)＝0，
∴－2m＋5＋15－3m＝0，
∴m＝4.
答案：4
三、解答题
9．求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：设P(x，y)为所求直线l上的任意点．
∵直线2x＋y－10＝0的法向量为n＝(2,1)，
∵l∥n，
∴l的法向量为(－1,2)．
则l的方程形式为－x＋2y＋m＝0，
把点A(2,1)代入得m＝0.
∴直线l的方程为x－2y＝0.
10．已知直线ax－y＋2a＋1＝0.
(1)x∈(－1,1)时，y＞0恒成立，求a的取值范围；
(2)a∈时，恒有y＞0，求x的取值范围．
解：(1)令y＝f(x)＝ax＋(2a＋1)，x∈(－1,1)时，y＞0.
只需??
即a≥－.
故a的取值范围为.
(2)令y＝g(a)＝(x＋2)a＋1，看作a的一次函数，
a∈时，y＞0，只需
??
∴－3≤x≤4.
故x的取值范围为[－3,4]．
7．2.1　直线的一般方程(二)
1．与v＝(a，b)垂直的向量：n＝(b，－a)或n＝(－b，a)．
2．直线方程的两点式方程：(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0.
1．怎样寻找与v＝(a，b)垂直的向量n?
[提示]　将(a，b)沿逆时针方向旋转得(－b，a)，而沿顺时针方向旋转得(b，－a)．
2．当x1＝x2或y1＝y2时两点式方程表示的直线有何特点？
[提示]　当x1＝x2时，直线垂直x轴，当y1＝y2时，直线垂直y轴．
利用直线的法向量求直线方程
已知三角形的三个顶点A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,2)．
(1)求高AD所在的直线方程；
(2)求BC的垂直平分线l所在的直线方程．
[自主解答]　(1)∵BC⊥AD.因此是直线AD的法向量，＝(－2,1)，
故直线AD的方程具有的形式为－2x＋y＋C＝0.
将A(－1，－1)代入，得C＝－1，
因此直线AD的方程为2x－y＋1＝0.
(2)BC的垂直平分线l过BC的中点M，
M的坐标为＝.
∵l⊥BC，
∴＝(－2,1)是l的法向量．
故l具有的形式为－2x＋y＋C＝0.
将M点坐标代入，得－2×2＋＋C＝0，
∴C＝4－＝.
故BC的垂直平分线l的方程为－2x＋y＋＝0，
即4x－2y－5＝0.
通过该题可以总结出解决以下两个问题的算法
(1)已知直线AD的法向量n和直线上一点A的坐标，求直线AD的方程；
(2)已知与直线BE平行的向量v及B点坐标，求BE的方程．
以上两个问题在求直线方程时都充分利用了直线的法向量．
1．已知△ABC的三个顶点A(3，－4)，B(6,0)，C(－5,2)，求：
(1)边AC的垂直平分线的方程．
(2)高CD所在的直线方程．
解：(1)∵AC的垂直平分线l过AC的中点M，M的坐标为＝(－1，－1)．
∵l⊥AC，是直线l的法向量，＝(－8,6)，
∴直线l具有的形式为－8x＋6y＋C＝0.
将M点的坐标代入，得－8×(－1)＋6×(－1)＋C＝0，
∴C＝－2.
故AC的垂直平分线方程为：
4x－3y＋1＝0.
(2)∵高CD⊥AB，
∴是CD的法向量．
又∵＝(3,4)，
∴CD所在直线的形式为3x＋4y＋C＝0，
将C点坐标代入，得
3×(－5)＋4×2＋C＝0，
∴C＝7，
∴CD所在直线方程为3x＋4y＋7＝0.
已知两点求直线方程
已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
[自主解答]　∵A(2，－1)，B(2,2)，A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，
故其方程为x＝2.
∵A(2，－1)，C(4,1)，
由直线方程的两点式可得AC的方程为(2－4)(y－1)－(－1－1)(x－4)＝0，
即x－y－3＝0.
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为
(1－2)(x－2)－(4－2)(y－2)＝0
即x＋2y－6＝0.
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为
x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．
2．已知三角形的三个顶点A(－2,2)，B(3,2)，C(3,0)，求这个三角形的三边所在直线的方程．
解：由两点式方程可得
①AB所在直线方程为
(2－2)(x＋2)－(3＋2)(y－2)＝0，∴y＝2.
②AC所在直线方程为
(0－2)(x＋2)－(3＋2)(y－2)＝0，
即2x＋5y－6＝0，
③BC所在直线方程为
(0－2)(x－3)－(3－3)(y－2)＝0，∴x＝3.
[随堂体验落实]
1．过点A(x1，y1)和B(x2，y2)两点的直线方程为(　　)
A.＝
B.＝
C．(y2－y1)·(x－x1)－(x2－x1)·(y－y1)＝0
D．(x2－x1)·(x－x1)－(y2－y1)·(y－y1)＝0
解析：过A(x1，y1)，B(x2，y2)的两点的直线方程为(y2－y1)·(x－x1)－(x2－x1)·(y－y1)＝0.
答案：C
2．过两点(2,5)，(2，－5)的直线的方程为(　　)
A．x＝　　　　　　　　 　B．x＝2
C．x＋y＝2 D．y＝0
解析：由两点式可知(－5－5)(x－2)－(2－2)(y－5)＝0，
∴x＝2.
答案：B
3．已知A(1，－2)，B(－3,2)，则过A点且与AB垂直的直线l的方程为(　　)
A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：∵l⊥AB，
∴是直线l的法向量，且＝(－4,4)．
∴直线l的形式为－4x＋4y＋C＝0.
代入A点坐标得
－4×1＋4×(－2)＋C＝0，
∴C＝12.
直线l的方程为－4x＋4y＋12＝0，
即x－y－3＝0.
答案：A
4．经过两点(5,0)，(0，－5)的直线方程是____________．
解析：由两点式方程，得
(－5－0)(x－5)－(0－5)(y－0)＝0.
即x－y－5＝0.
答案：x－y－5＝0
[感悟高手解题]
[易错题]
已知△ABC的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，若AB与y轴交于点E，BC与x轴交于点F，求直线EF的方程，并整理成一般式．
解：由两点式可得直线AB，BC的方程
直线AB：(－3－0)(x＋5)－(3＋5)(y－0)＝0，
即：3x＋8y＋15＝0.
直线BC：[2－(－3)](x－3)－(0－3)(y＋3)＝0，
即5x＋3y－6＝0.
∴E点的坐标为，
F点的坐标为.
故由两点式可得直线EF的方程：(x－0)－＝0，
即25x－16y－30＝0.
一、选择题
1．在x轴、y轴上的交点分别为(－3,0)，(0,4)的直线方程为(　　)
A．4x＋3y－12＝0　　　　　 　B．4x－3y＋12＝0
C．4x＋3y－1＝0 D．4x－3y＋1＝0
解析：由两点式方程可得
(4－0)(x＋3)－(0＋3)(y－0)＝0，
即4x－3y＋12＝0.
答案：B
2．已知△ABC三点坐标A(0,2)，B(4,2)，C(1,1)，则AB边的中线CD所在直线方程为(　　)
A．y＝x B．x＝2
C．y＝1 D．x＝1
解析：AB边的中点D的坐标为＝(2,2)，
又点C(1,1)，
故CD所在直线方程为：(1－2)(x－2)－(1－2)(y－2)＝0.
即y＝x.
答案：A
3．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析：直线2x－3y＋4＝0的法向量为n＝(2，－3)，
故l∥n.
∵(3,2)·(2，－3)＝0，
∴直线l的法向量为(3,2)．
则直线l具有的形式为
3x＋2y＋C＝0.
代入点(－1,2)得－3＋4＋C＝0，
∴C＝－1.
∴直线l的方程为3x＋2y－1＝0.
答案：A
4．已知△ABC三顶点坐标A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
解析：M点的坐标为＝(2,4)，
N点的坐标为＝(3,2)．
∴MN所在直线方程为(2－4)(x－2)－(3－2)(y－4)＝0.
即：2x＋y－8＝0.
答案：A
二、填空题
5．经过两点(－1，－4)，(2,2)的直线的方程是____________．
解析：由两点式可得直线方程为
(2＋4)(x＋1)－(2＋1)(y＋4)＝0，
即2x－y－2＝0.
答案：2x－y－2＝0
6．在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，若直线l过点A(－2,3)，且法向量为n＝(1，－2)，则直线l的方程为________________．
解析：∵l的法向量n＝(1，－2)，
∴直线l具有的形式为x－2y＋C＝0，
代入A点坐标，得
－2－2×3＋C＝0，
∴C＝8.
∴直线l的方程为x－2y＋8＝0.
答案：x－2y＋8＝0
7．直线l过点(－1，－1)，(2,5)，点(1 009，b)在l上，则b的值为________．
解析：直线l的方程为(5＋1)(x＋1)－(2＋1)(y＋1)＝0，
即2x－y＋1＝0.
∴当x＝1 009时，
b＝2×1 009＋1＝2 019.
答案：2 019
8．已知a＝(6,2)，b＝，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的一般式方程是______________．
解析：a＋2b＝(6,2)＋(－8,1)＝(－2,3)．
∵l⊥(a＋2b)，
∴a＋2b为直线l的法向量，
∴l的方程具有的形式为－2x＋3y＋C＝0，
代入A点坐标，得－2×3＋3×(－1)＋C＝0，
∴C＝9，∴直线l的方程为2x－3y－9＝0.
答案：2x－3y－9＝0
三、解答题
9．△ABC的三个顶点A(－4,0)，B(0,2)，C(4，－4)，求这个三角形的三边所在的直线方程．
解：直线AB所在直线方程为
(2－0)(x＋4)－(0＋4)(y－0)＝0，
即x－2y＋4＝0.
直线AC所在直线方程为(－4－0)(x＋4)－(4＋4)(y－0)＝0，
即x＋2y＋4＝0.
直线BC所在直线方程为(－4－2)(x－0)－(4－0)(y－2)＝0，
即3x＋2y－4＝0.
10．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求AC边上的中线BD所在直线方程；
(2)求边AC的中垂线所在直线方程．
解：(1)AC的中点D的坐标为＝(－4,2)，
∴直线BD的方程为(2－6)(x＋2)－(－4＋2)(y－6)＝0，
即2x－y＋10＝0.
(2)AC的中点(－4,2)，
是中垂线的法向量，
＝(－8，－4)，
∴中垂线的方程形式为－8x－4y＋C＝0，
代入中点(－4,2)，得－8×(－4)－4×2＋C＝0，
∴C＝24.
∴中垂线方程为2x＋y－6＝0.