2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第10章 10.1 不等式的基本性质

10．1不等式的基本性质
第一课时　比 较 大 小
[读教材·填要点]
比较两个实数a，b大小的依据．
a－b>0?a>b；
a－b＝0?a＝b；
a－b<0?a[小问题·大思维]
用不等式表示下列不等关系
(1)“神舟七号”飞船的质量M大于“东方红一号”卫星的质量m.
(2)儿童身高h m小于或等于1.4 m.
(3)当x>a时，销售收入f(x)不小于销售成本g(x)．
[提示]　(1)M>m.
(2)h≤1.4.
(3)f(x)≥g(x)．
直接比较大小
(1)设a>b>0，比较与的大小；
(2)比较a2＋b2与ab＋a＋b－1的大小．
[解]　(1)－
＝
＝
＝.
∵a>b>0，∴a－b>0,2ab>0，a2＋b2>0，a＋b>0.
∴－>0，∴>.
(2)(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)
＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)
＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，
∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
作差法比较两个实数大小的基本步骤
(1)作差；
(2)变形．作差后变形为：
①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式．
(3)定号．即判断差的符号是正、负还是零．
(4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．
1．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1).
∵x<1，∴x－1<0，
又2＋>0，
∴(x－1)<0.
∴x3－1<2x2－2x.
含参数的式子比较大小
(1)设x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小．
(2)已知a>0且a≠1，p＝loga(a3＋1)，q＝loga(a2＋1)，比较p与q的大小．
[解]　(1)∵－(1－x)＝＝，
∴当x＝0时，＝0.∴＝1－x.
当x>－1且x≠0时，>0，∴>1－x，
当x<－1时，<0，∴<1－x.
(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga
当a>1时，a3＋1>a2＋1，∴>1，∴loga>0，
当00.
综上，p－q>0，∴p>q.
在比较两个式子的大小时，变形后的结果难以确定时，一般对含有字母的式子进行分类讨论．讨论时要有统一的标准，不能漏，也不能重．
2．比较a2＋b2与2(2a－b)－5的大小．
解：a2＋b2－[2(2a－b)－5]
＝(a－2)2＋(b＋1)2
当a＝2且b＝－1时，
a2＋b2＝2(2a－b)－5
当a≠2或b≠－1时，
a2＋b2>2(2a－b)－5.
[随堂体验落实]
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为(　　)
A．T<40　　　　　　　 B．T>40
C．T≤40 D．T≥40
解析：选C　限重40吨，即不大于40吨，故T≤40.
2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系为(　　)
A．M>N B．M＝N
C．M解析：选A　M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0.
∴M>N.
3．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是(　　)
A．f(x)C．f(x)>g(x) D．随x值变化而变化
解析：选C　f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
∴f(x)>g(x)．
4．设A＝1＋2x4，B＝2x3＋x2，x∈R，则A，B的大小关系是________．
解析：A－B＝1＋2x4－2x3－x2
＝2x3(x－1)＋(1－x)(1＋x)
＝(x－1)(2x3－x－1)
＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)2
当x＝1时A＝B，当x≠1时A>B.
答案：A≥B
5.试比较(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2的大小．
解：(x＋1)(x＋5)－(x＋3)2
＝x2＋6x＋5－x2－6x－9
＝－4<0，
∴(x＋1)(x＋5)<(x＋3)2.
[感悟高手解题]
设a，b∈R＋且a≠b，比较aa·bb与ab·ba的大小．
[解]　∵＝aa－b·bb－a＝a－b.
(1)当a>b>0时，>1，a－b>0，
∴a－b>1，
即>1.
又ab·ba>0，∴aa·bb>ab·ba.
(2)当b>a>0时，0<<1，a－b<0，
∴a－b>1，即>1.
又ab·ba>0，∴aa·bb>ab·ba.
综上所述，aa·bb>ab·ba.
[点评]　作商比较时要注意分母的符号，且要注意作商后是与“1”比较，而不再是与“0”比较．
一、选择题
1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　)
A．v≤120(km/h)或d≥10(m)
B.
C．v≤120(km/h)
D．d≥10(m)
解析：选B　最大限速120 km/h，v≤120(km/h)，d≥10(m)．
故
2．已知xA．ab
C．a≥b D．a≤b
解析：选B　a－b＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x0，x－y<0，
∴－2xy(x－y)>0
即a－b>0?a>b.
3．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：选A　∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，
∴c≥b.
又得
b－a＝1＋a2－a＝2＋>0，
∴b>a.
∴c≥b>a.
4．下列不等式：①a2＋3>2a；②a2＋b2>2(a－b－1)；③x2＋y2>2xy中恒成立的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选B　①中a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，
∴a2＋3>2a恒成立．
②a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)．
③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0，
∴x2＋y2≥2xy.
故只有①恒成立．
二、填空题
5．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不小于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为________；________；________.
答案：ab　a≥b
6．已知x≤1，f(x)＝3x3，g(x)＝3x2－x＋1，则f(x)与g(x)的大小关系为f(x)________g(x)．
解析：f(x)－g(x)＝3x3－3x2＋x－1
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)，
∵x≤1，∴(x－1)(3x2＋1)≤0.
∴f(x)≤g(x)．
答案：≤
7．若1解析：a－b＝(lg x)2－lg x2＝lg x(lg x－2)，
∵1∴lg x(lg x－2)<0.
∴a又∵0∴c答案：b>a>c
8．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号是________．
解析：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0.
∴b2－4ac＝(a＋c)2－4ac
＝(a－c)2>0.
∴b2－4ac>0.
答案：正
三、解答题
9．已知a>0，试比较a与的大小．
解：因为a－＝＝，
因为a>0，所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；
当a＝1时，a＝；当010．若a≥1，试比较M＝－与N＝－的大小．
解：M－N＝(－)－(－)
＝－
＝
＝.
∵a≥1，
∴(＋)(＋)>0，<，
∴M－N<0，即M第二课时　不等式的基本性质
[读教材·填要点]
不等式的基本性质
(1)如果a≤b且b≤a，那么a＝b.
(2)如果a>b且b>c，那么a>c.
(3)如果a>b，c∈R那么a＋c>b＋c.
(4)设a>b，若c>0，则ac>bc.
若c<0，则ac(5)如果a>b，且a，b同号，那么<.
[小问题·大思维]
1．两个同向不等式分别相减或相除，不等号方向仍然不变吗？
[提示]　两个同向不等式分别相减或相除后，不等号方向可能发生变化．
2．若a>b>0，且c>d>0，则ac与bd大小关系如何？
[提示]　若a>b>0且c>d>0，则ac>bd.
利用不等式性质判断命题真假
对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则>
C．若a
D．若a>b，>，则a>0，b<0
[解析]　法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，
故A为假命题；
由a>b>0，有ab>0?>?>，
故B为假命题；
?>，
故C为假命题；
?ab<0.
∵a>b，∴a>0且b<0.
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有<，故B错．
取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，
有<，故C错．
[答案]　D,
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
1．对于实数a，b，c，有下列命题：①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2.其中真命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选C　①c的符号未知，因而无法判断ac与bc的大小，
故①为假命题．
②由ac2>bc2知c≠0，又c2>0，
∴a>b，故②是真命题．
③∵aab，∴ab>b2，
∴a2>ab>b2，故③为真命题．
综上可知②③是真命题．
利用不等式性质证明简单不等式
(1)已知c>a>b>0，求证：>；
(2)已知a，b，m均为正数，且a.
[证明]　(1)∵a>b>0，∴－a<－b.∴c－a∵c>a，∴c－a>0.∴0两边同乘以，得>>0.
又a>b>0，∴>.
(2)法一：－＝，
∵00，
∴>0，
∴>.
法二：＝＝1＋
＝1－>1－＝.
法三：∵a，b，m均为正数，
∴要证>，
只需证(a＋m)b>a(b＋m)，
只需证ab＋bm>ab＋am，
只要证bm>am，
要证bm>am，只需证b>a，
又已知b>a，∴原不等式成立．
利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，再者利用性质时要注意性质适用的前提条件．
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac证明：因为a>b，c>0，
所以ac>bc，
即－ac<－bc.
又e>f，
所以f－ac3．若a>b>0，c.
证明：∵c∴－c>－d>0.
又a>b>0，
∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
两边同乘以，
得<.
又e<0，
∴>.
求取值范围的问题
已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
[解]　因为－≤α<β≤，
所以－≤<，
－<≤.
两式相加，得－<<.
因为－<≤，
所以－≤－<，
则－≤<.
又α<β，所以<0，
则－≤<0.
本题利用不等式的基本性质求解，在变换过程中要注意熟练掌握、准确使用不等式的性质．求含有字母的代数式的取值范围时，要注意题设中的条件．例如，求解本题时若忽略α<β，则会导致取值范围变大．
4．已知12解：因为15所以－36<－b<－15，
所以12－36即－24又<<，
所<<，
即<<4.
[随堂体验落实]
1．如果a，b，c满足cA．ab>ac　　　　　　　 B．c(b－a)>0
C．cb2解析：选C　由a>b>c和ac<0得，a>0且c<0，
由不等式性质知A正确；
∵a>b，∴b－a<0，
∴B正确；
∵a－c>0，ac<0，∴D正确；
C项当b＝0时不正确．
2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a>> B．>>a
C.>a> D.>>a
解析：选D　取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，
∴>>a.
3．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
解析：选C　∵a>b，c2＋1>0，∴>.
4．如果a>b，那么下列不等式：
①a3>b3；②3a>3b；③lg a>lg b.
其中恒成立的是________．(填序号)
解析：∵a>b，∴a3>b3,3a>3b，
lg a>lg b只有在a>b>0时成立．
答案：①②
5．证明下列不等式：
(1)已知a>b>0，求证：>；
(2)已知a、b、x、y都为正数，且>，x>y，
求证：>.
证明：(1)∵－＝＝，
又∵a>b>0，∴>>0，∴3>3>0，
即>0，故>.
(2)－＝＝.
∵>>0，x>y>0，
∴b>a>0，x>y>0，∴bx>ay>0，
即bx－ay>0.又x＋a>0，y＋b>0，
∵>0，
即>.
[感悟高手解题]
实数a，b，c，d满足条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d[解析]　∵a＋d∵a＋b＝c＋d，∴b－d＝c－a，
∴d－b∴dc，∴a[答案]　a[点评]　当多个数比较大小时，不要盲目地两两比较，此时应找一个合理的次序，充分利用不等式的传递性，以减少比较的次数．
一、选择题
1．设a，b∈R，且a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．b－a>0　　　　　　　 B．a3＋b2<0
C．b＋a>0 D．a2－b2<0
解析：选C　∵a－|b|>0，∴a>|b|>0，
∴a＋b>0.
2．a>b>c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是(　　)
A．ac>bc B．ab>ac
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
解析：选B　∵a>b>c且a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0，∴b>c时ab>ac.
3．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是(　　)
A.> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D.>
解析：选C　∵a>b>0，∴<.∴a＋>b＋.
4．若a>0>b>－a，c(1)ad>bc；(2)＋<0；(3)a－c>b－d；(4)a(d－c)>b(d－c)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C　因为a>0>b，c0，
所以ad因为a>0>b>－a，所以a>－b>0.
因为c－d>0，
所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，
所以＋＝<0，
所以(2)正确．
因为c－d.因为a>b，
所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，所以(3)正确．
因为a>b，d－c>0，
所以a(d－c)>b(d－c)，(4)正确．
二、填空题
5．若|a|<|b|，则________(n∈N且n>1)．
解析：∵0≤|a|<|b|，∴<.
答案：<
6．已知a>b，c解析：∵c－d，∴a－c>b－d.
答案：>
7．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________．
解析：∵α∈，β∈，
∴2α∈(－π，π)，－β∈，
∴－<2α－β<.①
又∵－<α<β<，∴α－β<0，
∴2α－β＝α＋α－β<α<.②
由①②得－<2α－β<.
答案：
8．设a，b为正实数，有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．
解析：对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1?a－b＝?a－b>0?a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则≥1?a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1.
对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.
对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，
∴a≠b，不妨设a>b>0.
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.
即a3－b3>(a－b)3>0，
∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，
∴0即|a－b|<1.因此正确．
答案：①④
三、解答题
9．若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
证明：∵bc－ad≥0，bd>0，
∴bc≥ad，>0，∴≥.
∴＋1≥＋1，即≥，
即≤.
10．已知x，y为正实数，且1≤lg(xy)≤2,3≤lg ≤4，求lg(x4y2)的取值范围．
解：由题意，设a＝lg x，b＝lg y，
∴lg(xy)＝a＋b，lg ＝a－b，
lg(x4y2)＝4a＋2b.
设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
∴解得
又∵3≤3(a＋b)≤6,3≤a－b≤4，
∴6≤4a＋2b≤10，
∴lg(x4y2)的取值范围为[6,10]．