2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第10章 10.2 一元二次不等式
文档属性
| 名称 | 2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第10章 10.2 一元二次不等式 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 646.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 15:35:47 | ||
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文档简介
10．2一元二次不等式
第一课时 一元二次不等式的解法
[读教材·填要点]
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式与相应一元二次函数、一元二次方程的联系
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤
求方程f(x)＝0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1，x2
没有实数解
画函数y＝f(x)的示意图
得不等式的解集
f(x)>0
{x|xx2}
R
f(x)<0
{x|x1< x?
?
[小问题·大思维]
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点有什么关系？
[提示] 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根就是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点．
2．一元二次不等式与二次函数有什么关系？
[提示] 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合．ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像在x轴下方的点的横坐标x的集合.
解一元二次不等式
解下列不等式：
(1)2x2－x＋6>0；
(2)x2－6x＋9≤0；
(3)x(7－x)>0.
[解] ∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，
∴函数y＝2x2－x＋6的图像开口向上，与x轴无交点(如图(1))．
∴观察图像可得，
不等式的解集为R.
(2)x2－6x＋9≤0，
即(x－3)2≤0，
∴原不等式的解集为{x|x＝3}．
(3)原不等式可化为x(x－7)<0，
方程x(x－7)＝0的两根是x1＝0，x2＝7，
函数y＝x(x－7)的图像是开口向上的抛物线，
与x轴有两个交点(0,0)，(7,0)(如图(2))．
观察图像，可得不等式的解集为{x|0一元二次不等式的解法
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根．
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)根据图像写出不等式的解集．
1．求下列不等式的解集：
(1)x2－8x＋3<0；(2)(5－x)(x＋1)≥0；
(3)－4x2＋18x－≥0.
解：(1)∵Δ＝(－8)2－4×3＝52>0，
∴方程x2－8x＋3＝0有两个实根，
x1＝4－，x2＝4＋，
∴原不等式的解集为{x|4－(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2≤0，
所以原不等式的解集为.
一元二次不等式组的解法
解不等式组；
[解] 原不等式组化为
即
∴
∴1≤x<2.
∴原不等式组的解集为{x|1≤x<2}．
关于一元二次不等式组的解法，先求出每个一元二次不等式的解集，再找两个解集的交集，即为所求．
2．解不等式组：0≤x2－x－2≤4.
解：原不等式组即为
即
∴
∴－2≤x≤－1或2≤x≤3.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或2≤x≤3}．
简单分式不等式的解法
解下列不等式：
(1)<0；(2)≤2；(3)>1.
[解] (1)由<0，得>0，
此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，
∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
(2)法一：移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，
即≥0，它的同解不等式为
∴x<2或x≥5，∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
法二：原不等式可化为≥0，
此不等式等价于①
或②
解①得x≥5，解②得x<2，
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
(3)法一：原不等式可化为<0，
∵x2＋x＋1＝2＋>0，
∴x2－1<0，解得－1法二：∵x2＋x＋1>0，∴原不等式可化为x＋2>x2＋x＋1，
即x2－1<0，解得－1分式不等式的解法要做等价变形，可利用移项，通分，但要防止解集的扩大或缩小．比如≤1写成1≤x－1，这就默认x－1为正数，导致取值范围错误．
3．解不等式≤1.
解：法一：原不等式可化为－1≤0，即≤0，
故有≥0，
所以x－2与x－1同号或x－2＝0，
故有或
所以x≥2或x<1.
所以原不等式的解集为{x|x≥2或x<1}．
法二：由法一，原不等式整理为≥0，
它等价于(x－1)(x－2)≥0且x≠1，
由此解得原不等式的解集
为{x|x≥2或x<1}．
简单的一元高次不等式的解法
解下列不等式．
(1)2x3－x2－15x>0；
(2)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.
[解] (1)原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)>0.
把方程x(2x＋5)(x－3)＝0的三个根x1＝0，x2＝－，x3＝3顺次标在数轴上，然后从右上方开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图所示的阴影部分．
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0，
∴
∴
∴原不等式的解集为{x|x<－5或－52}，如图所示的阴影部分．
一元高次不等式f(x)>0常用穿根法求解，其主要步骤是：(1)将f(x)最高次项的系数化为正数(利用不等式的性质)．(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积．(3)将每个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根的情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过，即奇过偶不过)．
4．解下列不等式：
(1)x4－2x3－3x2<0；(2)1＋x－x3－x4>0；
(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)>0.
解：(1)原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)<0，
当x≠0时，x2>0，由(x－3)(x＋1)<0，得－1当x＝0时，原不等式为“0<0”，无解．
∴原不等式的解集为{x|－1(2)原不等式可化为(x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)<0.
而对于x∈R，恒有x2＋x＋1>0(∵Δ＝－3<0)，
∴原不等式等价于(x＋1)(x－1)<0，
∴原不等式的解集为{x|－1(3)原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)>0，
进一步化为(x－2)>0，如图阴影部分所示，得原不等式的解集为.
[随堂体验落实]
1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵－6x2－x＋2≤0，
∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，
∴x≥或x≤－.
2．不等式≥2的解集为( )
A．[－1,0) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
解析：选A 由≥2得
－2≥0，
即≥0.
则原不等式等价于
∴－1≤x<0.
3．不等式x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0的解集为( )
A．[－2，－1]∪[0，＋∞) B．[－2，－1)∪(－1,1]
C．[－2，－1]∪[0,1] D．[－1,0]
解析：选A 由x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根为－2，－1,0,1，利用穿根法可得，故x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0的解集为[－2，－1]∪[0，＋∞)．
4．不等式组的解集为________．
解析：方程3x2－7x－10＝0的两根为x1＝－1，x2＝，因此不等式3x2－7x－10≤0的解集是，方程x2－5x＋4＝0的两根为x1＝1，x2＝4，
∴不等式x2－5x＋4>0的解集是(－∞，1)∪(4，＋∞)．
∴不等式组的解集为[－1,1)．
答案：[－1,1)
5．(1)求函数y＝log2(x2－x－2)－log2(x－1)＋1的定义域；
(2)求函数y＝的定义域．
解：(1)欲使函数有意义，
则有
即
∴x>2.
故该函数的定义域为{x|x>2}．
(2)要使函数有意义，则有≥0且10＋3x－x2≠0，
即≥0，
即(x－1)(x－5)2(x＋2)≥0且x≠5，x≠－2.
由穿根法可求得以上不等式组的解集为{x|x<－2或x≥1且x≠5}．
∴原函数的定义域为{x|x<－2或x≥1且x≠5}．
[感悟高手解题]
解不等式≤1.
[错解] 去分母，得3－x≤2x－4，－3x≤－7.
两边同除以－3，得x≥.
∴原不等式的解集为.
[点拨] 因分母的正负值不能确定，所以不等式两边不能直接去分母．
[正解] ≤1，即－1≤0，≤0.
即
解得x<2或x≥.
∴不等式的解集为.
一、选择题
1．不等式(x－1)≥0的解集是( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}
解析：选C 当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．
2．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．? D．{x|x<－2或x>2}
解析：选A 原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，∴x≠－2.
∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：选B ∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，
∴x2＋x－2<0.
∴－24．不等式≥的解集为( )
A.∪[1,3]
B．(－∞，0)∪
C.∪[1,3]
D．(－∞，0)∪∪[1,3]
解析：选D
原不等式等价于
－≥0，
即≤0，由穿根法(如图所示)得解集为(－∞，0)∪∪[1,3]．
二、填空题
5．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为________．
解析：已知不等式等价于(1)或
(2)
由(1)，得解得－1≤x≤0；
由(2)，得解得0因此原不等式的解集为[－1,1]．
答案：[－1,1]
6．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.
解析：>0?(x＋1)(x－a)>0?(x＋1)(x－4)>0.
∴a＝4.
答案：4
7．不等式(x－1)(x2－x－30)>0的解集是________．
解析：原不等式化为(x－1)(x＋5)(x－6)>0.
故原不等式的解为－56.
答案：(－5,1)∪(6，＋∞)
8．已知集合A＝{x|x2＋3x－18>0}，B＝{x|(x－k)·(x－k－1)≤0}，若A∩B≠?，则实数k的取值范围是________．
解析：由x2＋3x－18>0，得(x＋6)(x－3)>0，
∴x>3或x<－6，∴A＝{x|x<－6或x>3}．
由(x－k)(x－k－1)≤0，得k≤x≤k＋1，
∴B＝{x|k≤x≤k＋1}．
∵A∩B≠?，作出图形(如图)，
∴k＋1>3或k<－6，
解得k>2或k<－6，
∴k的取值范围是(－∞，－6)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－6)∪(2，＋∞)
三、解答题
9．解不等式：1≤x2－3x＋1<9－x.
解：原不等式等价于：，
即
由①得－2综合①、②得－2∴原不等式的解集为(－2,0]∪[3,4)．
10．解下列不等式：
(1)≥0；(2)<0.
解：(1)≥0等价于
∴x≤－5或x>2.
∴原不等式的解集为(－∞，－5]∪(2，＋∞)．
(2)原不等式可化为>0，
即(x－1)(x－5)(x＋2)(x－6)>0.
由于方程(x－1)(x－5)(x＋2)(x－6)＝0的根为－2,1,5,6，用穿根法(如图)得解集为{x|x<－2或16}．
第二课时 含参不等式、不等式的恒成立与一元二次不等式的应用问题
[读教材·填要点]
1．含参数的一元二次不等式的解法
对于可化为形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的不等式，如果式子中含有参数，解题时需根据参数的取值范围进行分类讨论，引起分类讨论的原因有以下几种：
①二次项系数的正负．
②方程ax2＋bx＋c＝0中Δ与0的关系．
③方程ax2＋bx＋c＝0两根的大小．
我们在解决以上问题时，最优的处理次序是：先看二次项系数的正负，其次考虑Δ，最后分析两根大小．
分类讨论时应注意以下问题：
①对参数分类时要目标明确，讨论时要不重不漏．
②最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为?时，也是其中一类，不要丢掉．
2．一元二次不等式恒成立问题
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．
[小问题·大思维]
1．不等式(x－a)(x－2a)>0的解集是(－∞，a)∪(2a，＋∞)吗？
[提示] 不是．
当a>0时，不等式的解集为(－∞，a)∪(2a，＋∞)
当a<0时，不等式的解集为(－∞，2a)∪(a，＋∞)
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
2．已知不等式mx2－2x－m＋1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的范围，此题中谁是自变量，谁是参数，怎样求解？
[提示] m是自变量，x是参数；把不等式看成关于m的一次不等式，要满足对任意|m|≤2恒成立，只需以m为变量的函数对应的线段在x轴下方即可，
令f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则有，
解之得即x的取值范围是.
含参数的不等式的解法
设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
[解] (1)当a＝0时， 不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a<－时，解不等式得－②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为?；
③当－④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，即原不等式的解集为.
含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
1．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
∴当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，解集为{x|x≠0}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，解集为{x|x≠1}；
当a>1时，aa2}；
综上所述，
当a<0或a>1时，解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}．
“三个二次”间关系的应用
已知一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2[解] 由于ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2所以二次函数y＝ax2＋bx＋1的图像是开口向下的抛物线，
且与x轴交于(－2,0)和(1,0)两点，
即－2和1是一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的两根．
由根与系数的关系，
得
解得a＝b＝－.
由一元二次不等式的解法不难知道，一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根及二次函数图像之间的关系，这种关系体现了不同知识之间的内在联系．
2．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0，又×2＝<0，则c>0.
∵－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，＝－，∴＝－.
∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0可变为x2＋x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，
∴所求不等式的解集为.
一元二次不等式恒成立问题
设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围．
(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解] (1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，
若m＝0，显然－1＜0.
若m≠0，则?－4＜m＜0.
∴－4＜m≤0.即m的取值范围为(－4,0]．
(2)法一：要使f(x)＜－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．
就要使m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)是增函数，
∴g(x)max＝g(3)?7m－6＜0，
∴0＜m＜；
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g(x)是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得m＜6，∴m＜0.
综上所述：m的取值范围为.
法二：当x∈[1,3]时，f(x)＜－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋＞0，
又∵m(x2－x＋1)－6＜0，
∴m＜.
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，
∴只需m＜即可．
1．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是，当a＝0时，b＝0，c＞0；
当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是，当a＝0时，b＝0，c＜0；
当a≠0时，
3．f(x)≤a恒成立?a≥f(x)max；
f(x)≥a恒成立?a≤f(x)min.
3．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，
由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
一元二次不等式的实际应用
某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域．
(2)若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x的取值范围．
[解] (1)依题意
y＝100·100.
又售价不能低于成本价，所以100－80≥0，
解得x≤2
∴y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2)
(2)20(10－x)(50＋8x)≥10 260
化简得：8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
又x∈[0,2]，∴x的取值范围为.
解与不等式有关的实际应用题的一般步骤：(1)理解问题；(2)简化假设；(3)列出关系式；(4)求解；(5)检验、作答．
4．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．
解：由题意，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，
即x2＋10x－1200>0.
解得x＞30或x<－40(舍去)．
这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，
即x2＋10x－2000>0.
解得x>40或x<－50(舍去)．
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．
[随堂体验落实]
1．已知二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2,3，a>0，那么ax2－bx＋c>0的解集是( )
A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－3或x>2}
C．{x|－2解析：选B ∵a>0，∴ax2－bx＋c＝a(x－2)(x＋3)>0.
∴x<－3或x>2.
2．已知不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集是R，则( )
A．a<0，Δ>0 B．a<0，Δ<0
C．a>0，Δ<0 D．a>0，Δ>0
解析：选B 若ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集是R，
则a<0，Δ<0.
3．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,2]
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)
解析：选B ∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，
∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.
当m＝2时，4>0，x∈R；
当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，
解得－2综上所述，－24．关于x的方程x2－(m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的正根，则m的取值范围是________．
解析：设x1，x2是方程的两根，则由题意知x1≠x2，
且x1>0，x2>0，
∴即
求得m∈(－1,0)∪(0,3)．
答案：(－1,0)∪(0,3)
5.某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划如图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米．
(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；
(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？
解：(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似，所以＝，即＝，解得AD＝20－x.
所以矩形ABCD的面积S关于x的函数为
S＝20x－x2(0(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，
即20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，
解得12≤x≤18，所以AB的长度取值范围为[12,18]．
[感悟高手解题]
已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
[解] (1)不等式化为(x－1)p＋x2－2x＋1>0，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图像是一条直线．
又∵|p|≤2，∴－2≤p≤2，于是得：
即
即
∴x>3或x<－1.
故x的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>＝1－x.
由于不等式当2≤x≤4时恒成立，
∴p>(1－x)max.而2≤x≤4，
∴(1－x)max＝－1，于是p>－1.
故p的取值范围是(－1，＋∞)．
一、选择题
1．不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝( )
A．－14 B．14
C．－10 D．10
解析：选A 由已知得，ax2＋bx＋2＝0的两个根为－，，则解得
∴a＋b＝－14.
2．对于任何实数，二次函数y＝ax2－x＋c的值恒为负，那么a，c应满足( )
A．a>0，且ac≤ B．a<0，且ac<
C．a<0且ac> D．a<0且ac<0
解析：选C 若y＝ax2－x＋c的值恒为负，即ax2－x＋c<0恒成立，则?
3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选B 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]???x<1或x>3.
4．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )
A．1 B．－1
C．－3 D．3
解析：选C 由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.
二、填空题
5．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．
解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
答案：(－∞，2]∪[4，＋∞)
6．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)当a2－4＝0时，即a＝±2.
①当a＝2时，不等式化为4x－1≥0，x≥不是空集．
②当a＝－2时，不等式化为－1≥0，x∈?.
(2)若a2－4≠0，若不等式的解集为?，
则?
∴－2综上，a的取值范围为－2≤a<.
答案：
7．若不等式>0对任意实数x恒成立，则m的取值范围是________．
解析：∵x2－8x＋20＝(x－4)2＋4>0，
∴要使不等式>0对任意实数x恒成立，只要mx2＋2(m＋1)x＋9m＋4>0对于任意实数x恒成立．
①当m＝0时，2x＋4>0，x>－2，此时原不等式只对x>－2的实数x成立，∴m＝0不符合题意．
②当m≠0时，要使不等式对任意实数x恒成立，须解得m>.∴m的取值范围是.
答案：
8．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．
解析：由已知条件得
?
∴－1答案：(－1,1)
三、解答题
9．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.
10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴－6≤a≤2.∴a的取值范围为[－6,2]．
(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝2＋3－.
①当－<－2，即a>4时，
f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，
由－2a＋7≥a，得a≤，∴a∈?.
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝3－，
由3－≥a，得－6≤a≤2.∴－4≤a≤2.
③当－>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，
由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a<－4.
综上，可得a的取值范围为[－7,2]．
第一课时 一元二次不等式的解法
[读教材·填要点]
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式与相应一元二次函数、一元二次方程的联系
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤
求方程f(x)＝0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1，x2
没有实数解
画函数y＝f(x)的示意图
得不等式的解集
f(x)>0
{x|x
R
f(x)<0
{x|x1< x
?
[小问题·大思维]
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点有什么关系？
[提示] 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根就是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点．
2．一元二次不等式与二次函数有什么关系？
[提示] 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合．ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像在x轴下方的点的横坐标x的集合.
解一元二次不等式
解下列不等式：
(1)2x2－x＋6>0；
(2)x2－6x＋9≤0；
(3)x(7－x)>0.
[解] ∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，
∴函数y＝2x2－x＋6的图像开口向上，与x轴无交点(如图(1))．
∴观察图像可得，
不等式的解集为R.
(2)x2－6x＋9≤0，
即(x－3)2≤0，
∴原不等式的解集为{x|x＝3}．
(3)原不等式可化为x(x－7)<0，
方程x(x－7)＝0的两根是x1＝0，x2＝7，
函数y＝x(x－7)的图像是开口向上的抛物线，
与x轴有两个交点(0,0)，(7,0)(如图(2))．
观察图像，可得不等式的解集为{x|0
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根．
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)根据图像写出不等式的解集．
1．求下列不等式的解集：
(1)x2－8x＋3<0；(2)(5－x)(x＋1)≥0；
(3)－4x2＋18x－≥0.
解：(1)∵Δ＝(－8)2－4×3＝52>0，
∴方程x2－8x＋3＝0有两个实根，
x1＝4－，x2＝4＋，
∴原不等式的解集为{x|4－
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2≤0，
所以原不等式的解集为.
一元二次不等式组的解法
解不等式组；
[解] 原不等式组化为
即
∴
∴1≤x<2.
∴原不等式组的解集为{x|1≤x<2}．
关于一元二次不等式组的解法，先求出每个一元二次不等式的解集，再找两个解集的交集，即为所求．
2．解不等式组：0≤x2－x－2≤4.
解：原不等式组即为
即
∴
∴－2≤x≤－1或2≤x≤3.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或2≤x≤3}．
简单分式不等式的解法
解下列不等式：
(1)<0；(2)≤2；(3)>1.
[解] (1)由<0，得>0，
此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，
∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
(2)法一：移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，
即≥0，它的同解不等式为
∴x<2或x≥5，∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
法二：原不等式可化为≥0，
此不等式等价于①
或②
解①得x≥5，解②得x<2，
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
(3)法一：原不等式可化为<0，
∵x2＋x＋1＝2＋>0，
∴x2－1<0，解得－1
即x2－1<0，解得－1
3．解不等式≤1.
解：法一：原不等式可化为－1≤0，即≤0，
故有≥0，
所以x－2与x－1同号或x－2＝0，
故有或
所以x≥2或x<1.
所以原不等式的解集为{x|x≥2或x<1}．
法二：由法一，原不等式整理为≥0，
它等价于(x－1)(x－2)≥0且x≠1，
由此解得原不等式的解集
为{x|x≥2或x<1}．
简单的一元高次不等式的解法
解下列不等式．
(1)2x3－x2－15x>0；
(2)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.
[解] (1)原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)>0.
把方程x(2x＋5)(x－3)＝0的三个根x1＝0，x2＝－，x3＝3顺次标在数轴上，然后从右上方开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图所示的阴影部分．
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0，
∴
∴
∴原不等式的解集为{x|x<－5或－5
一元高次不等式f(x)>0常用穿根法求解，其主要步骤是：(1)将f(x)最高次项的系数化为正数(利用不等式的性质)．(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积．(3)将每个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根的情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过，即奇过偶不过)．
4．解下列不等式：
(1)x4－2x3－3x2<0；(2)1＋x－x3－x4>0；
(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)>0.
解：(1)原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)<0，
当x≠0时，x2>0，由(x－3)(x＋1)<0，得－1
∴原不等式的解集为{x|－1
而对于x∈R，恒有x2＋x＋1>0(∵Δ＝－3<0)，
∴原不等式等价于(x＋1)(x－1)<0，
∴原不等式的解集为{x|－1
进一步化为(x－2)>0，如图阴影部分所示，得原不等式的解集为.
[随堂体验落实]
1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵－6x2－x＋2≤0，
∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，
∴x≥或x≤－.
2．不等式≥2的解集为( )
A．[－1,0) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
解析：选A 由≥2得
－2≥0，
即≥0.
则原不等式等价于
∴－1≤x<0.
3．不等式x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0的解集为( )
A．[－2，－1]∪[0，＋∞) B．[－2，－1)∪(－1,1]
C．[－2，－1]∪[0,1] D．[－1,0]
解析：选A 由x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根为－2，－1,0,1，利用穿根法可得，故x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0的解集为[－2，－1]∪[0，＋∞)．
4．不等式组的解集为________．
解析：方程3x2－7x－10＝0的两根为x1＝－1，x2＝，因此不等式3x2－7x－10≤0的解集是，方程x2－5x＋4＝0的两根为x1＝1，x2＝4，
∴不等式x2－5x＋4>0的解集是(－∞，1)∪(4，＋∞)．
∴不等式组的解集为[－1,1)．
答案：[－1,1)
5．(1)求函数y＝log2(x2－x－2)－log2(x－1)＋1的定义域；
(2)求函数y＝的定义域．
解：(1)欲使函数有意义，
则有
即
∴x>2.
故该函数的定义域为{x|x>2}．
(2)要使函数有意义，则有≥0且10＋3x－x2≠0，
即≥0，
即(x－1)(x－5)2(x＋2)≥0且x≠5，x≠－2.
由穿根法可求得以上不等式组的解集为{x|x<－2或x≥1且x≠5}．
∴原函数的定义域为{x|x<－2或x≥1且x≠5}．
[感悟高手解题]
解不等式≤1.
[错解] 去分母，得3－x≤2x－4，－3x≤－7.
两边同除以－3，得x≥.
∴原不等式的解集为.
[点拨] 因分母的正负值不能确定，所以不等式两边不能直接去分母．
[正解] ≤1，即－1≤0，≤0.
即
解得x<2或x≥.
∴不等式的解集为.
一、选择题
1．不等式(x－1)≥0的解集是( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}
解析：选C 当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．
2．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．? D．{x|x<－2或x>2}
解析：选A 原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，∴x≠－2.
∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：选B ∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，
∴x2＋x－2<0.
∴－2
A.∪[1,3]
B．(－∞，0)∪
C.∪[1,3]
D．(－∞，0)∪∪[1,3]
解析：选D
原不等式等价于
－≥0，
即≤0，由穿根法(如图所示)得解集为(－∞，0)∪∪[1,3]．
二、填空题
5．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为________．
解析：已知不等式等价于(1)或
(2)
由(1)，得解得－1≤x≤0；
由(2)，得解得0
答案：[－1,1]
6．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.
解析：>0?(x＋1)(x－a)>0?(x＋1)(x－4)>0.
∴a＝4.
答案：4
7．不等式(x－1)(x2－x－30)>0的解集是________．
解析：原不等式化为(x－1)(x＋5)(x－6)>0.
故原不等式的解为－5
答案：(－5,1)∪(6，＋∞)
8．已知集合A＝{x|x2＋3x－18>0}，B＝{x|(x－k)·(x－k－1)≤0}，若A∩B≠?，则实数k的取值范围是________．
解析：由x2＋3x－18>0，得(x＋6)(x－3)>0，
∴x>3或x<－6，∴A＝{x|x<－6或x>3}．
由(x－k)(x－k－1)≤0，得k≤x≤k＋1，
∴B＝{x|k≤x≤k＋1}．
∵A∩B≠?，作出图形(如图)，
∴k＋1>3或k<－6，
解得k>2或k<－6，
∴k的取值范围是(－∞，－6)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－6)∪(2，＋∞)
三、解答题
9．解不等式：1≤x2－3x＋1<9－x.
解：原不等式等价于：，
即
由①得－2
10．解下列不等式：
(1)≥0；(2)<0.
解：(1)≥0等价于
∴x≤－5或x>2.
∴原不等式的解集为(－∞，－5]∪(2，＋∞)．
(2)原不等式可化为>0，
即(x－1)(x－5)(x＋2)(x－6)>0.
由于方程(x－1)(x－5)(x＋2)(x－6)＝0的根为－2,1,5,6，用穿根法(如图)得解集为{x|x<－2或1
第二课时 含参不等式、不等式的恒成立与一元二次不等式的应用问题
[读教材·填要点]
1．含参数的一元二次不等式的解法
对于可化为形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的不等式，如果式子中含有参数，解题时需根据参数的取值范围进行分类讨论，引起分类讨论的原因有以下几种：
①二次项系数的正负．
②方程ax2＋bx＋c＝0中Δ与0的关系．
③方程ax2＋bx＋c＝0两根的大小．
我们在解决以上问题时，最优的处理次序是：先看二次项系数的正负，其次考虑Δ，最后分析两根大小．
分类讨论时应注意以下问题：
①对参数分类时要目标明确，讨论时要不重不漏．
②最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为?时，也是其中一类，不要丢掉．
2．一元二次不等式恒成立问题
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．
[小问题·大思维]
1．不等式(x－a)(x－2a)>0的解集是(－∞，a)∪(2a，＋∞)吗？
[提示] 不是．
当a>0时，不等式的解集为(－∞，a)∪(2a，＋∞)
当a<0时，不等式的解集为(－∞，2a)∪(a，＋∞)
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
2．已知不等式mx2－2x－m＋1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的范围，此题中谁是自变量，谁是参数，怎样求解？
[提示] m是自变量，x是参数；把不等式看成关于m的一次不等式，要满足对任意|m|≤2恒成立，只需以m为变量的函数对应的线段在x轴下方即可，
令f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则有，
解之得
含参数的不等式的解法
设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
[解] (1)当a＝0时， 不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a<－时，解不等式得－
③当－
含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
1．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
∴当a<0时，a
当a＝0时，a2＝a，解集为{x|x≠0}；
当0
当a＝1时，a2＝a，解集为{x|x≠1}；
当a>1时，a
综上所述，
当a<0或a>1时，解集为{x|x
当0
当a＝0时，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}．
“三个二次”间关系的应用
已知一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2
且与x轴交于(－2,0)和(1,0)两点，
即－2和1是一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的两根．
由根与系数的关系，
得
解得a＝b＝－.
由一元二次不等式的解法不难知道，一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根及二次函数图像之间的关系，这种关系体现了不同知识之间的内在联系．
2．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0，又×2＝<0，则c>0.
∵－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，＝－，∴＝－.
∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0可变为x2＋x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，
∴所求不等式的解集为.
一元二次不等式恒成立问题
设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围．
(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解] (1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，
若m＝0，显然－1＜0.
若m≠0，则?－4＜m＜0.
∴－4＜m≤0.即m的取值范围为(－4,0]．
(2)法一：要使f(x)＜－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．
就要使m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)是增函数，
∴g(x)max＝g(3)?7m－6＜0，
∴0＜m＜；
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g(x)是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得m＜6，∴m＜0.
综上所述：m的取值范围为.
法二：当x∈[1,3]时，f(x)＜－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋＞0，
又∵m(x2－x＋1)－6＜0，
∴m＜.
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，
∴只需m＜即可．
1．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是，当a＝0时，b＝0，c＞0；
当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是，当a＝0时，b＝0，c＜0；
当a≠0时，
3．f(x)≤a恒成立?a≥f(x)max；
f(x)≥a恒成立?a≤f(x)min.
3．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，
由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
一元二次不等式的实际应用
某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域．
(2)若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x的取值范围．
[解] (1)依题意
y＝100·100.
又售价不能低于成本价，所以100－80≥0，
解得x≤2
∴y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2)
(2)20(10－x)(50＋8x)≥10 260
化简得：8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
又x∈[0,2]，∴x的取值范围为.
解与不等式有关的实际应用题的一般步骤：(1)理解问题；(2)简化假设；(3)列出关系式；(4)求解；(5)检验、作答．
4．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．
解：由题意，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，
即x2＋10x－1200>0.
解得x＞30或x<－40(舍去)．
这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，
即x2＋10x－2000>0.
解得x>40或x<－50(舍去)．
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．
[随堂体验落实]
1．已知二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2,3，a>0，那么ax2－bx＋c>0的解集是( )
A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－3或x>2}
C．{x|－2
∴x<－3或x>2.
2．已知不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集是R，则( )
A．a<0，Δ>0 B．a<0，Δ<0
C．a>0，Δ<0 D．a>0，Δ>0
解析：选B 若ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集是R，
则a<0，Δ<0.
3．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,2]
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)
解析：选B ∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，
∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.
当m＝2时，4>0，x∈R；
当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，
解得－2
解析：设x1，x2是方程的两根，则由题意知x1≠x2，
且x1>0，x2>0，
∴即
求得m∈(－1,0)∪(0,3)．
答案：(－1,0)∪(0,3)
5.某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划如图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米．
(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；
(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？
解：(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似，所以＝，即＝，解得AD＝20－x.
所以矩形ABCD的面积S关于x的函数为
S＝20x－x2(0
即20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，
解得12≤x≤18，所以AB的长度取值范围为[12,18]．
[感悟高手解题]
已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
[解] (1)不等式化为(x－1)p＋x2－2x＋1>0，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图像是一条直线．
又∵|p|≤2，∴－2≤p≤2，于是得：
即
即
∴x>3或x<－1.
故x的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>＝1－x.
由于不等式当2≤x≤4时恒成立，
∴p>(1－x)max.而2≤x≤4，
∴(1－x)max＝－1，于是p>－1.
故p的取值范围是(－1，＋∞)．
一、选择题
1．不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝( )
A．－14 B．14
C．－10 D．10
解析：选A 由已知得，ax2＋bx＋2＝0的两个根为－，，则解得
∴a＋b＝－14.
2．对于任何实数，二次函数y＝ax2－x＋c的值恒为负，那么a，c应满足( )
A．a>0，且ac≤ B．a<0，且ac<
C．a<0且ac> D．a<0且ac<0
解析：选C 若y＝ax2－x＋c的值恒为负，即ax2－x＋c<0恒成立，则?
3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选B 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]???x<1或x>3.
4．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )
A．1 B．－1
C．－3 D．3
解析：选C 由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.
二、填空题
5．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．
解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
答案：(－∞，2]∪[4，＋∞)
6．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)当a2－4＝0时，即a＝±2.
①当a＝2时，不等式化为4x－1≥0，x≥不是空集．
②当a＝－2时，不等式化为－1≥0，x∈?.
(2)若a2－4≠0，若不等式的解集为?，
则?
∴－2
答案：
7．若不等式>0对任意实数x恒成立，则m的取值范围是________．
解析：∵x2－8x＋20＝(x－4)2＋4>0，
∴要使不等式>0对任意实数x恒成立，只要mx2＋2(m＋1)x＋9m＋4>0对于任意实数x恒成立．
①当m＝0时，2x＋4>0，x>－2，此时原不等式只对x>－2的实数x成立，∴m＝0不符合题意．
②当m≠0时，要使不等式对任意实数x恒成立，须解得m>.∴m的取值范围是.
答案：
8．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．
解析：由已知条件得
?
∴－1
三、解答题
9．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0
即
解不等式组，得0
10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴－6≤a≤2.∴a的取值范围为[－6,2]．
(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝2＋3－.
①当－<－2，即a>4时，
f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，
由－2a＋7≥a，得a≤，∴a∈?.
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝3－，
由3－≥a，得－6≤a≤2.∴－4≤a≤2.
③当－>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，
由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a<－4.
综上，可得a的取值范围为[－7,2]．