2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第10章 10.3 基本不等式及其应用

10．3基本不等式及其应用
第一课时　基本不等式
[读教材·填要点]
1．定理1
对任意实数a，b，必有a2＋b2≥2ab，且等号成立当且仅当a＝b.
2．定理2
如果a和b是正实数，那么≥，且等号成立当且仅当a＝b.
3．基本不等式的解释
(1)几何角度：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)数列角度：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项．
[小问题·大思维]
1．a2＋b2≥2ab和≥成立的条件是否相同？若不同，请举例说明．
[提示]　成立的条件不同，前者成立的条件是a与b都为实数；而后者成立的条件是a与b都为非负数．例如(－1)2＋(－2)2≥2×(－1)×(－2)是成立的．而≥是不成立的．
2．基本不等式中的a，b可以是任意值为正数的代数式吗？
[提示]　a，b可以是任意正数，也可以是代数式．
基本不等式的理解
给出下面四个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵x，y为正实数，∴lg x＋lg y≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
④∵x，y∈R，xy<0，
∴＋
＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导为(　　)
A．①②　　　　　　　　 B．②③
C．③④ D．①④
[解析]　①∵a，b为正实数，
∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确；
②虽然x，y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lg x或lg y是负数，∴②的推导过程是错误的；
③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
④由xy<0，得，均为负数，
但在推导过程中将整体＋提出负号后，
，均变为正数，
符合均值不等式的条件，故④正确．
[答案]　D
基本不等式≥(a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．对它的准确掌握要抓住以下两个方面：
(1)定理成立的条件：a、b都是非负数，
(2)“当且仅当”的含义．
①当a＝b时，≥的等号成立，
即a＝b?＝；
②仅当a＝b时，≥的等号成立，
即＝?a＝b.
1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x>0，则cos x＋≥2＝2.
②若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4.
③x2＋3＋＝x2＋2＋＋1≥2＋1＝3.
解析：正确的只有②.因为：对于①，由x>0，不能确定cos x>0，不能使用基本不等式．对于②，x与均为负数，将负数x与转化为正数－x，－，然后再利用基本不等式求解，知其正确．对于③，当且仅当x2＋2＝，即x2＋2＝1时等号成立，而x2＋2≠1，所以③不正确．
答案：②
利用基本不等式进行简单的证明
已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：≥8.
[证明]　∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝＝＋≥，
同理－1≥，－1≥，
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘．
∴≥··＝8，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．
2．已知a，b，c均为正实数， 求证：＋＋≥3.
证明：∵a，b，c均为正实数，
∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，
＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，
＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)，
将上述三式相加得＋＋≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
∴＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
即＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．
[随堂体验落实]
1．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是(　　)
A．(a＋b)2≥4ab
B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C．(a－b)2≤4ab
D．(a＋b)2>(a－b)2
解析：选C　由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和．即有(a＋b)2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为(a－b)2，结合图形可知(a＋b)2>(a－b)2，且当a＝b时A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定．因此C选项错误．
2．下列结论正确的是(　　)
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0解析：选B　x>0，＋≥2＝2，
当且仅当＝，即x＝1时，等号成立．
3．已知a>0，b>0，则，， ，中最小的是(　　)
A.　　 B.　　　
C. 　　 D.
解析：法一：选D　特殊值法．
令a＝4，b＝2，则＝3，＝， ＝，＝.∴最小．
法二：＝，由≤≤≤，可知最小．
4．设a>0，b>0，给出下列不等式；
①a2＋1>a；　　　　　　　②≥4；
③(a＋b)≥4; ④a2＋9>6a；
⑤a2＋1＋>2.
其中恒成立的是________．
解析：∵a2＋1≥2＝2a，且a>0，
∴2a>a，∴①正确；
∵a＋≥2＝2，b＋≥2＝2，
∴≥4，当且仅当a＝1，b＝1时等号成立，故②正确；
∵(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2·＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故③正确；
∵a2＋9≥2＝6a，当且仅当a＝3时等号成立，故当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不正确；
∵a2＋1＋≥2＝2，
当且仅当a＝0时等号成立，又a>0，所以等号不成立，故⑤正确．
答案：①②③⑤
5．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：∵a，b，c都是正数，∴，，也都是正数．
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
[感悟高手解题]
已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥9.
[证明]　法一：∵a，b，c为正实数．
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
即＋＋≥9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
法二：∵a，b，c为正实数，
∴＋＋＝(a＋b＋c)
＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
∴＋＋≥9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
一、选择题
1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a－b<0　　　　　　 B．0<<1
C.< D．ab>a＋b
解析：选C　∵a>b>0，∴>.
2．已知a>b>1且P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(　　)
A．RC．Q解析：选B　∵a>b>1，lg a>lg b>0，
∴>.
又∵>，
∴R＝lg>lg＝(lg a＋lg b)＝Q.
∴R>Q>P.
3．设0A. B．b
C．2ab D．a2＋b2
解析：选B　∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵ >>0，∴ >，
∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2，∴b最大．
4．已知m＝a＋(a>2)，n＝ (x<0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n B．mC．m＝n D．m≤n
解析：选A　∵m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4(a>2)，n＝2 <22＝4，∴m>n.
二、填空题
5．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴＝≥ .
答案：≤
6．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
解析：∵a>0，b>0且ab＝a＋b＋3
∴ab－3＝a＋b≥2.
∴()2－2－3≥0.
∴(－3)(＋1)≥0.
∴－3≥0.
∴ab≥9.
答案：[9，＋∞)
7．当x>2时，有x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4，则当且仅当x＝________时，等号成立．
解析：根据基本不等式等号成立的条件可知当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时等号成立，又因为x>2，所以x＝3.
答案：3
8．设正数x，y，z满足(x＋y)(x＋z)＝2，则xyz(x＋y＋z)的最大值是________．
解析：∵(x＋y)(x＋z)＝2，∴x2＋xy＋xz＝2－yz.
∴xyz(x＋y＋z)＝yz(x2＋xy＋xz)
＝yz(2－yz)≤2＝1.
当且仅当yz＝2－yz，即yz＝1时取等号．
答案：1
三、解答题
9．已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，求证：＋≥3＋2.
证明：∵x>0，y>0，且x＋2y＝1，
∴＋＝＋
＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，
即x＝y时取等号．
又∵x＋2y＝1，
∴x＝－1，y＝时取等号．
10．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
证明：∵＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
∴2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋.
∵a，b，c为不等正实数，∴＋＋<＋＋.
第二课时　基本不等式的应用
[读教材·填要点]
基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
和定积最大
若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值
积定和最小
若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2
[小问题·大思维]
两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
[提示]　不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如：sin x与，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积为定值．但是由02＝4，等号不成立，取不到最小值．
利用基本不等式求函数最值
(1)(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
(2)已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，求实数a的最小值．
[解]　(1)因为ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.
答案：4
(2)∵2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，
∴2(x－a)＋≥7－2a.
设f(x)＝2(x－a)＋，
则原问题可转化为
当x∈(a，＋∞)时，有7－2a≤f(x)min，
∵x∈(a，＋∞)，∴x－a>0.
∴f(x)＝2(x－a)＋≥2＝4.
当且仅当2(x－a)＝，即x－a＝1，x＝a＋1时等号成立．
∴x∈(a，＋∞)时，f(x)min＝4.
∴7－2a≤4，∴a≥.
∴a的最小值为.
1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”．
(1)“一正”，所求最值的各项都是正值．
(2)“二定”，含变量的各项的和或者积必须是常数．
(3)“三相等”，具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或者最小值．
以上三个条件，在应用基本不等式求最值时必须同时具备．
2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、“添项”、“常值代换”等．
3．等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判别式法等．
1．(1)求函数y＝2x＋(x<0)的最大值；
(2)求函数y＝x(1－3x)的最大值．
解：(1)∵x<0，∴－x>0.
∴y＝－≤－2
＝－2，
当且仅当2(－x)＝，即2x2＝1，x＝－时取等号，
∴ymax＝－2.
(2)∵00.
∴y＝·3x(1－3x)≤·＝，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时取等号，
∴ymax＝.
利用基本不等式解有条件的最值问题
已知x>0，y>0,2x＋5y＝20，求＋的最小值．
[解]　因为x>0，y>0,2x＋5y＝20，
所以＋＝·
＝≥
＝，当且仅当＝时，等号成立．
由
解得
所以＋的最小值为.
利用基本不等式解有条件的最值问题：首先要利用已知条件构建基本不等式所满足的条件，拆分、配凑是常用的技巧，然后要注意基本不等式等号成立的条件是否成立．
2．(1)若a>0，b>0，且ab＋a＋2b＝30，求y＝ab的最大值；
(2)已知a>b>0，求a2＋的最小值．
解：(1)法一：(消元法)：由ab＋a＋2b＝30，
∴b＝(a<30)．
∴y＝ab＝.令t＝a＋2，则a＝t－2，
∴y＝34－≤34－2＝18，
当且仅当t＝，即t＝8，a＝6时取等号，此时b＝3.
法二：∵ab＋a＋2b＝30，∴a＋2b＝30－ab.
∵a＋2b≥2，∴30－ab≥2.
令＝t，则30－t2≥2t，解得t≤.
∴ab≤18，即ymax＝18，
当且仅当a＝2b及ab＋a＋2b＝30，可得a＝6，b＝3.
(2)∵a>b>0，∴a－b>0.
∴b(a－b)≤2＝，
当且仅当a－b＝b，即a＝2b时，等号成立．
∴y＝a2＋≥a2＋≥2＝16，
当且仅当a2＝，即a＝2时，等号成立．
故当a＝2，b＝时，a2＋有最小值16.
基本不等式在实际问题中的应用
巨幅壁画最高点离地面14 m，最低点离地面2 m，若从离地面1.5 m处观赏此画，问离墙多远时，视角最大．
[解]　如图，设AD＝14 m，BD＝2 m，OD＝1.5 m．如图建立坐标系，则A(0,12.5)，B(0,0.5)．
设C(x,0)，则kAC＝＝－，
kBC＝＝－，
tan∠ACB＝＝.
∵x>0，∴x＋≥2＝5.
∴tan∠ACB≤，
当且仅当x＝，
即x＝2.5时，tan∠ACB取得最大值为.
∵∠ACB为锐角，正切函数在上递增，
∴当x＝2.5时，视角最大．
应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：
(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)写出正确答案．
3.某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米长112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米长96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．
(1)把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价；
(2)若要求网箱的长与宽都不能超过15米．则当网箱的长与宽各为多少米时，可使总造价最低(精确到0.01米)．
解：(1)y＝112＋96＋100×160＝320×＋16 000≥26 240.
此时，x＝即x＝16时，取得最小值．
(2)∵∴10≤x≤15.
设g(x)＝x＋，
任取x1，x2∈且x1g(x1)－g(x2)＝(x1－x2)，
∵10≤x1∴g(x1)>g(x2)，∴g(x)在上是减函数．
∴当x＝15时，g(x)有最小值．
故当网箱长为15米，宽约为10.67米时，可使总造价最低．
[随堂体验落实]
1．若x>1，y>1，且lg x＋lg y＝4，则lg x·lg y的最大值是(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．2
C．1 D.
解析：选A　由已知得lg x>0，lg y>0，
∴lg x·lg y≤2＝2＝4
当且仅当lg x＝lg y＝2，即x＝y＝100时取等号．
2．函数f(x)＝x＋＋2的值域为(　　)
A．[4，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
解析：选D　①当x>0时，x＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x＝即x＝1时取等号．
②当x<0时，x＋＋2＝－＋2≤－2 ＋2＝0.当且仅当x＝－1时取等号．
3．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)
A．8　　　 B．7　　　　C．6　　　 D．5
解析：选C　由已知，可得6＝1，∴2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，∴9m≤54，即m≤6，故选C.
4．建造一个长方体无盖贮水池，其容积为V m3，池深为h m，池底每1 m2的造价为a元，池壁每1 m2的造价为b元(b解析：设水池底的长为x m，则宽为.
总造价为y元，则y＝a＋b
＝＋2b≥＋4b.
当且仅当x＝时取等号．
答案：＋4b
5．已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
解：法一：∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
∵x>0，y>0，∴＋≥2＝6.
当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．
又＋＝1，∴x＝4，y＝12.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
法二：由＋＝1，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>9.
x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1
＝(y－9)＋＋10.
∵y>9，∴y－9>0，
∴y－9＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．
又＋＝1，则x＝4，
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
[感悟高手解题]
1．配凑分母
求函数y＝(x>0)的最大值．
[解]　∵x>0，∴y＝＝.
∵x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．∴0故当x＝2时，函数y＝(x>0)取最大值.
2．配凑分子
求函数y＝(x>1)的最小值．
[解]　∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
故当x＝2时，函数y＝(x>1)取最小值4.
一、选择题
1．若a，b∈R且a＋b＝0，则2a＋2b的最小值是(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
解析：选A　∵2a>0,2b>0，
∴2a＋2b≥2＝2＝2.
当且仅当2a＝2b，即a＝b＝0时取等号．
2．如果log3m＋log3n＝4，那么m＋n的最小值是(　　)
A．4 B．4
C．9 D．18
解析：选D　由已知得
∴m＋n≥2＝2＝18.
当且仅当m＝n＝9时取等号．
3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)
A．3 B．4
C. D.
解析：选B　依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，
(x＋1)＋(2y＋1) ≥2＝6，x＋2y≥4，即x＋2y的最小值是4.
4．若对x>0，y>0，有(x＋2y)≥m恒成立， 则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，8] B．(8，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，4]
解析：选A　(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝时即x＝2y时成立．
若(x＋2y)≥m恒成立，则m≤8即可．
二、填空题
5．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
6．函数y＝x·(x>0)的最大值是________．
解析：由题得0答案：
7．函数f(x)＝3＋lg x＋(0＜x＜1)的最大值为________．
解析：因为0＜x＜1，所以lg x＜0，－lg x＞0，－＞0，
所以(－lg x)＋≥2 ＝4，
即(－lg x)＋≥4，所以lg x＋≤－4.
所以f(x)＝3＋lg x＋≤3－4＝－1，
当且仅当－lg x＝－，即x＝时，等号成立．
所以f(x)＝3＋lg x＋的最大值为－1.
答案：－1
8．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图像恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
解析：∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．
故＋的最小值为8.
答案：8
三、解答题
9．已知f(x)＝＋4x，
(1)当x>0时，求f(x)的最小值；
(2)当x<0时，求f(x)的最大值．
解：(1)∵x>0，∴>0,4x>0，
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，f(x)的最小值为8.
(2)∵x<0，∴－x>0，
则f(－x)＝＋(－4x)≥2＝8，
又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)≤－8
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴当x<0时，f(x)的最大值为－8.
10．某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2018年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2018年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2018年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．