2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第10章 10.4 简单线性规划

10．4简单线性规划
[读教材·填要点]
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数z＝ax＋by，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的二元一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2．图解法
设二元一次函数z＝f(x，y)，(x，y)∈D，其中D是平面图形，作直线f(x，y)＝0.平行移动该直线得一族直线f(x，y)＝a，保证平行移动后的直线与平面图形D有交点，通过观察，可发现a的最大值和最小值，以及函数在哪些点上取得最大值和最小值，这种求解的方法称为图解法．
[小问题·大思维]
1．若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0的两侧，其坐标应满足什么条件？
[提示]　(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
2．目标函数为z＝ax＋by＋c，当b<0时，直线l0：ax＋by＝0的平移方向与函数值z的变化趋势是怎样的？
[提示]　当直线l0向上平移时，所对应的z随之减小，当直线l0向下平移时，所对应的z随之增大．
3．二元线性规划问题中，最优解是唯一的吗？
[提示]　最优解可能是无数个或没有．直线l0：ax＋by＝0与可行域中的某条边界直线平行时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最值，最优解就可能有无数个；当可行域是不封闭的区域或边界不在可行域内时，目标函数z＝ax＋by＋c的最值可能不存在，最优解就不存在．
4．实际问题中线性约束条件和线性目标函数具有怎样的形式？
[提示]　线性约束条件一般是不等式或不等式组，而目标函数是一个等式．
画二元一次不等式组表示的平面区域
画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x－y－6≥0；
(2)
[解]　(1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，
取原点O(0,0)代入2x－y－6中，
∵2×0－1×0－6＝－6＜0，
∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所示)．
(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0,0)代入x－y＋5，
∵0－0＋5＝5＞0，
∴原点在x－y＋5＞0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．
1．判定二元一次不等式(组)表示的平面区域的常用方法是以线定界，以点(原点)定域(以Ax＋By＋C>0为例)．
(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．
(2)“以点定域”，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法，如取原点、坐标轴上的点等．
2．画图时通常要在边界直线的旁边标注直线方程以便于区分．
1．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为________．
解析：如图可得阴影区域为不等式组表示的平面区域．
而直线ax－y＋1＝0恒过定点A(0,1)，斜率为a.
因为不等式组所表示的平面区域的面积等于2，
所以此平面区域为“封闭”图形，所以可判断直线ax－y＋1＝0与直线x－1＝0的交点C在点B(1,0)上方，
所以不等式组
所表示的平面区域为△ABC.
由，得C(1，a＋1)，
又点C在点B上方，
所以|BC|＝a＋1－0＝a＋1，
∴S＝×|BC|×1＝＝2，解得a＝3.
答案：3
求线性函数的最大值或最小值
设变量x，y满足的不等式组为且z＝2x＋y，求z的最大值与最小值．
[解]　在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，令2x＋y＝0，在图中作出直线l0：2x＋y＝0.
显然，可行域位于直线l0的右上方，可行域中任一点P(x，y)到直线l0的距离d＝.所以|2x＋y|＝d，又可行域中的任一点P(x，y)，都使2x＋y>0.故2x＋y＝d，要求2x＋y的最大、最小值，只需求可行域内的点到直线l0的距离最大、最小值．平行移动l0，当经过可行域中的点B时，d最小，此时z最小；当经过可行域中的点A时，d最大，此时z最大．
解方程组得A点坐标为(5,2)；
解方程组得B点坐标为(1,1)，
所以zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
解决线性规划问题的一般步骤是
(1)作可行域；
(2)作平行线；
(3)确定最优解；
(4)求出最值．一般将线性目标函数的最值转化为可行域中的点到l0(令z＝0时的直线方程)的距离来研究．
2．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
解析：画出不等式组
所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得∴zmin＝－5.
答案：－5
3．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是(　　)
A．[－3,0]　　　 　　 B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：选B　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，
当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，
所以z＝x－y的取值范围是[－3,2].
实际应用题
(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长(分)
广告播放时长(分)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600分钟，广告的总播放时长不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问：电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次才能使总收视人次最多？
[解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为

即
如图，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(6,3)．
所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
解线性规划应用题的步骤是：
(1)将决策中的量设为未知量；(2)列出约束条件，建立目标函数，并确定求最大值还是最小值；(3)作出可行域；(4)求出最优解；(5)回答．
4．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，求所需租赁费最少为多少元．
解：设需租赁甲型设备x台，乙型设备y台．
租赁费为z元．
根据题意得z＝200x＋300y.
如图可知z在(4,5)处取到最小值，z＝4×200＋5×300＝2 300.
[随堂体验落实]
1．图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是(　　)
A．x＋y－1<0
B．x＋y－1>0
C．x－y－1<0
D．x－y－1>0
解析：选B　由题图可知阴影区域的边界直线方程为＋＝1，即x＋y－1＝0.
又∵0＋0－1<0，且点(0,0)不在阴影区域内，
∴阴影部分表示的平面区域满足的不等式为x＋y－1>0.
2．若则目标函数z＝x＋2y的取值范围是(　　)
A．[2,6]　　　　　　　 B．[2,5]
C．[4,6] D．[4,5]
解析：选A　可行域如图所示，作直线l0：x＋2y＝0，把直线l0向上平移时，函数z＝x＋2y随之增大．
∴(2,2)与(2,0)为最优解，
∴2≤z≤6.
3．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)
A．－15 B．－9
C．1 D．9
解析：选A　法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.
法二：易求可行域顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.
4．设实数x，y满足则z＝x－y的最大值是________．
解析：可行域如图所示．作直线l0：x－y＝0，平移直线l0过点A(2,0)，
得z＝x－y取最大值zmax＝2－0＝2.
答案：2
5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，求实数a的取值范围．
解：不等式表示的平面区域如图所示，
当x＋y＝a过A时表示的区域是△AOB，此时a＝；
当a>时，表示区域是△AOB；
当x＋y＝a过B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时a＝1；
当0当a<0时不表示任何区域；
当1故当a∈(0,1]∪时表示的平面区域为三角形．
[感悟高手解题]
设函数z＝2x＋5y，其中x，y满足条件求z的最大值与最小值．
[解]　法一：先在平面直角坐标系xOy内画出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分所示)．
把z＝2x＋5y变形为y＝－x＋z，得到斜率为－，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线．
由图可以看出，当直线y＝－x＋z经过可行域上的点M时，截距z最大，即z最大．
解方程组得故M(2,3)．
此时zmax＝2×2＋5×3＝19.
当y＝－x＋z经过原点时，截距z最小，即z最小，zmin＝0.
法二：由z＝2x＋5y，得y＝，
代入不等式组得即
在平面直角坐标系xOz内作出上述不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所示)．
由图易知，区域的最低点为坐标原点，故zmin＝0；区域的最高点是直线2x－z＝－15与直线x＋2z＝40的交点A，
解方程组
得故A(2,19)，此时zmax＝19.
一、选择题
1．已知实数x，y满足约束条件则z＝2x＋4y的最大值为(　　)
A．24　　　　　　　　　 B．20
C．16 D．12
解析：选B　z＝2x＋4y?y＝－x＋，求截距的最大值，画出如图所示的可行域，把直线l0：y＝－x平移经过点A(2,4)时，z的最大值为z＝2×2＋4×4＝20.
2．(2017·浙江高考)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是(　　)
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
解析：选D　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x＋2y，得y＝－x＋，
∴是直线y＝－x＋在y轴上的截距，根据图形知，当直线y＝－x＋过A点时，取得最小值．由得x＝2，y＝1，即A(2,1)，此时，z＝4，∴z＝x＋y的取值范围是[4，＋∞)．
3.如图坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为(　　)
A．－3 B．3
C．－1 D．0
解析：选A　据题意知a≠0，当a>0时，y＝－x＋，则－<0，此时不符合条件，故a<0，此时－>0，当－＝kAC＝＝，即a＝－3时满足条件．
4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为(　　)
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
解析：选B　设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，则

z＝0.4x＋0.6y.
作可行域如图，知目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
∴zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．
二、填空题
5．已知实数x，y满足则z＝2x－y的取值范围是________．
解析：画出可行域可得x＝5，y＝3时，z有最大值7，
当x＝－1，y＝3时，z有最小值－5.
答案：[－5,7]
6．变量x，y满足则的最小值为________．
解析：先画出不等式组所表示的平面区域，如图为△ABC，而的几何意义是动点(x，y)到原点的距离，其最小值显然为|OB|＝2.
答案：2
7．满足不等式组的点(x，y)构成的区域的面积为________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．易知A点的坐标为(2,3)，从而可知图中阴影部分的面积为×2×1＝1.
答案：1
8．设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则|AB|的最小值为________.
解析：如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)．
要求|AB|min，可通过求D，E，C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求．
经分析D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2最小，∴|AB|min＝4.
答案：4
三、解答题
9．设z＝2y－2x＋4，式中x，y满足条件求z的最大值和最小值．
解：作出不等式组的可行域(如图所示)．
令t＝2y－2x，则z＝t＋4.
将t＝2y－2x变形得直线l：y＝x＋.
则其与y＝x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大，当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小．
∴zmax＝2×2－2×0＋4＝8，
zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
10．某运输公司每天至少要运送180 t货物，公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，且有10名驾驶员．A型卡车每天可往返4次，B型卡车每天可往返3次，每辆A型卡车每天花费320元，每辆B型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？
解：设每天调用A型卡车x辆，B型卡车y辆，每天花费z元．
则即目标函数z＝320x＋504y.作出可行域，如图中阴影部分所示．
当直线320x＋504y＝z经过直线4x＋5y＝30与x轴的交点(7.5,0)时，z有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x＋504y＝2 560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．
所以要使公司每天花费最少，每天应调用A型卡车8辆，B型卡车0辆．