2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第10章 阶段质量检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b为非零实数，若aA．a2C.< D.<
解析：选C　A项当a＝－2，b＝0时不成立；B项ab2－a2b＝ab(b－a)当ab>0时不成立，C项，－＝易知成立．D项，－＝不成立．
2．不等式组的解是(　　)
A．(－2,2) B．(0,4)
C．(0,2) D．(－2,4)
解析：选C　得∴03．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C　将(1,1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，
故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故选C.
4．已知01，记M＝loga，N＝logab，P＝logb，则M，N，P的大小关系为(　　)
A．PC．N解析：选B　∵01，∴a>>0，b>>0，∴M＝loga>logaa＝1，N＝logab又∵P＝logb＝－1，∴N5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为(　　)
A．2　　　　 B．3　　　　　C．4　　　　 D．5
解析：选B　由z＝x＋2y得y＝－x＋z.作出可行域如图，
平移直线y＝－x＋z，由图像可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的截距最小，此时z最小，由得即把A(1,1)代入z＝x＋2y，得z＝3.
6．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集是(　　)
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a)
C．(－3,4) D．(2a,6a)
解析：选B　x2－ax－12a2<0，得(x＋3a)(x－4a)<0，
∵a<0，∴－3a>4a，∴4a7．若x，y满足约束条件则的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选B　作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
8．若a>1，则a＋的最小值是(　　)
A．0 B．2
C. D．3
解析：选D　a＋＝a－1＋＋1，
∵a>1，∴a－1>0，
∴a－1＋≥2＝2.
当且仅当a－1＝，即a＝2时取等号．
∴a＋的最小值为3.
9．已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．2
C. D．16
解析：选C　∵m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当n＝，m＝时取等号．故选C.
10．设x＋3y－2＝0，则函数z＝3x＋27y＋3的最小值是(　　)
A．3 B．3＋2
C．6 D．9
解析：选D　∵x＋3y＝2且3x>0,27y＝33y>0，
∴3x＋27y＋3≥2·＋3，
＝2＋3＝2·＋3＝9.
当且仅当3x＝33y即x＝3y时取等号．
11．设变量x，y满足若目标函数z＝x－y＋1的最小值为0，则m的值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选B　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x－y＋1，得y＝x＋1－z，这是斜率为1，截距为1－z的一族平行直线，当直线过点A时，截距最大，此时z最小且最小值为0.
由解得
即A(2,3)，点A在直线x＋y＝m上，代入得m＝2＋3＝5，故选B.
12．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．－3
解析：选C　不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立?a≥－对一切x∈恒成立．
令g(x)＝－，
设0∴g(x)在上单调递增，
g(x)max＝g＝－＝－.
∴a≥－，即a的最小值为－.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．
解析：不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9，∴≥2或≤－4(舍去)．
∴正实数a的最小值为4.
答案：4
14．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.
解析：如图，画出可行域，l0：
2x＋y＝0，
当l0：2x＋y＝0运动到过点A(k，k)时，目标函数取得最小值－6，所以2k＋k＝－6，k＝－2.
答案：－2
15．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则有即解得m≤－5.
答案：(－∞，－5]
16．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系．若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运________年．
解析：设总利润函数y＝a(x－6)2＋11，
由x＝4时，y＝7知a＝－1.
∴平均利润＝＝－＋12.
∵x＋≥2＝10，∴－≤－10.
∴≤－10＋12＝2.
当x＝即x＝5时，“＝”成立．
答案：5
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)解下列不等式(组)：
(1)
(2)6－2x≤x2－3x<18.
解：(1)原不等式组可化为即0(2)原不等式等价于即
因式分解，得所以
所以－3所以不等式的解集为{x|－318．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若a≠0，函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.
解：(1)∵函数f(x)＝的定义域为R，
∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立，
当a≠0时，则有
解得0综上可知，a的取值范围是[0,1]．
(2)∵f(x)＝＝，
∵a>0，∴当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意得，＝，∴a＝，
∴不等式x2－x－a2－a<0可化为x2－x－<0，解得－所以不等式的解集为.
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.
解：(1)当a＝时， 有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
∴(x－2)≤0，∴≤x≤2，
即所求不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝(x－a)≤0，a>0，且方程(x－a)＝0的两根为x1＝a，x2＝，
∴当>a，即0当1时，不等式的解集为；
当＝a，即a＝1时，不等式的解集为{1}．
20．(本小题满分12分)对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)．
(1)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求a，b的值；
(2)若f(1)＝4，a>0，b>0，求＋的最小值．
解：(1)因为不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，
所以－1和3是方程f(x)＝0的两个实根，
从而有解得
(2)由f(1)＝4，得a＋b＝1，
又a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当即时等号成立，
所以＋的最小值为9.
22．(本小题满分12分)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其它费用为
3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝＋1800×6
＝＋9x＋10 809≥2 ＋10 809＝10989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉．
平均每天支付的总费用为y2元，则
y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90
＝＋9x＋9729(x≥35)，
令f(x)＝x＋(x≥35)，x2＞x1≥35，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝，
∵x2＞x1≥35，
∴x2－x1＞0，x1x2＞0,100－x1x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，
即f(x)＝x＋，当x≥35时为增函数，
∴当x＝35时，f(x)有最小值，
此时y2＝10 069.7＜10 989
∴该厂应接受此优惠条件．
模块综合检测(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式x－x2＋6≥0的解集是(　　)
A．[－2,3]　　　　　　　 B．[－3,2]
C．(－∞，－2]∪[3，＋∞) D．R
解析：选A　由x－x2＋6≥0，得x2－x－6≤0.
即(x－3)(x＋2)≤0，∴－2≤x≤3.
2．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A＝60°，则＝(　　)
A.　　　 B.　　　　
C.　　　 D.
解析：选B　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
由正弦定理得sin 2B＝sin A·sin C＝sin C
∴＝＝＝.
3．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选D　因为S1，S2，S4成等比数列，所以S＝S1·S4，即(a1＋a1－1)2＝a1(4a1－×4×3)，解得a1＝－.
4．若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋b≥b－c B．ac>bc
C.>0 D．(a－b)c2≥0
解析：选D　∵a>b，∴a－b>0，又c2≥0，∴(a－b)c2≥0.
5．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D　＝＝·＝×＝1.
6．已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是(　　)
A．－1 B．－2
C．－5 D．1
解析：选A　约束条件下的可行域如图所示，由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z，当直线y＝2x＋z过点A(1,1)时截距最大，此时z最大为－1，故选A.
7．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C. D.
解析：选A　因为d＝2，a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2a8，即(a2＋2d)2＝a2(a2＋6d)，解得a2＝4，a1＝2.所以利用等差数列的求和公式可求得Sn＝n(n＋1)．
8．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是(　　)
A．10 B．6
C．4 D．18
解析：选D　∵3x>0,3y>0且x＋y＝5，
∴3x＋3y≥2＝2＝2＝18.
当且仅当x＝y＝时取等号．
9．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
解析：选A　由题意可知sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sin Bcos C＝sin Acos C，又cos C≠0，故2sin B＝sin A，由正弦定理可知a＝2b.
10．在正数数列{an}中，a1＝2，且点(，)在直线x－y＝0上，则{an}的前n项和Sn等于(　　)
A．2n－1 B．2n＋1－2
C．2－ D．2－
解析：选B　点(，)在直线x－y＝0上，∴＝·，即＝2.当n≥2时，an＝2n，n＝1时，也成立，所以Sn＝2n＋1－2.
11．在△ABC中，已知a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C等于(　　)
A．30° B．60° C．45°或135° D．120°
解析：选C　(a2＋b2－c2)2＝a4＋b4＋c4＋2a2b2－2a2c2－2b2c2＝2c2(a2＋b2)＋2a2b2－2a2c2－2b2c2＝2a2b2，
∴cos C＝＝＝±，∴C＝45°或135°.
12．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)
A．5 B．4 C. D．2
解析：选B　满足约束条件的可行域，如图，
由图可知，目标函数z经过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点时取最小值，
解方程组求得交点为(2,1)，则2a＋b＝2，a2＋b2的最小值即为在直线2a＋b＝2上找一点使得它到原点的距离平方最小．即点(0,0)到直线2a＋b＝2的距离的平方为2＝22＝4.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
解析：由f(x)是奇函数，可以根据其图像关于原点对称作出[－5,0)上的图像，由图像可得，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
答案：(－2,0)∪(2,5]
14．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________.
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
依题意有解得
所以Sn＝，＝＝2，
因此＝2＝.
答案：
15．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取最大值，则d的取值范围为________．
解析：由题意得a8>0且a9<0，所以7＋7d>0且7＋8d<0，解得－1答案：
16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时．
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
解析：(1)当l＝6.05时，F＝＝≤1 900，当且仅当v＝，即v＝11(米/秒)时取等号．
(2)当l＝5时，F＝＝≤2 000，当且仅当v＝即v＝10(米/秒)时取等号，此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．
答案：(1)1 900　(2)100
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．
解：法一：∵2cos 2B－8cos B＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，
∴4cos2B－8cos B＋3＝0，
∴cos B＝或cos B＝(舍去)，∴cos B＝.
∵0∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
∴cos B＝＝＝，
化简得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c，
∴△ABC是等边三角形．
法二：∵2cos 2B－8cos B＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，
∴4cos2B－8cos B＋3＝0，
即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0.
解得cos B＝或cos B＝ (舍去)，∴cos B＝.
∵0∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B＝2sin ＝，
∴sin A＋sin ＝，
∴sin A＋sin cos A－cossin A＝，
化简得sin A＋cos A＝，∴sin ＝1.
∵0∴△ABC是等边三角形．
18．(本小题满分12分)已知{an}是等差数列，其中a1＝25，a4＝16.
(1)数列{an}从哪一项开始小于0；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3d＝16，
∴25＋3d＝16，∴d＝－3，
∴an＝25＋(n－1)×(－3)＝28－3n.
∵a9＝28－27＝1，a10＝28－30＝－2<0，
∴数列{an}从第10项开始小于0.
(2)∵a1，a3，a5…，a19是首项a1＝25，公差为2d＝－6的等差数列．
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝10a1＋×(2d)
＝10×25＋10×9×(－3)＝250－270＝－20.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－.
(1)求a和sin C的值；
(2)求cos的值．
解： (1)在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝.
由S△ABC＝bcsin A＝3，得bc＝24.
又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.
由＝，得sin C＝.
(2)cos＝cos 2A·cos －sin 2A·sin 
＝(2cos2A－1)－×2sin A·cos A＝.
20．(本小题满分12分)已知x>y>0且xy＝1，若x2＋y2≥a(x－y)恒成立，求实数a的取值范围．
解：由已知条件x>y>0，∴x－y>0，∴a≤.又＝＝(x－y)＋≥2，当且仅当x－y＝，即x－y＝时，等号成立．∴的最小值是2，∴a≤2.
21．(本小题满分12分)某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x件(x∈N＋，0日产量x
1
2
3
…
x
…
99
100
次品率p



…

…


已知一件正品的盈利为a元，生产一件次品的损失为元．
(1)试将该厂的日盈利额y(元)表示成日生产量x(件)的函数；
(2)为获取最大盈利，该厂的日产量应定为多少？
解：(1)日盈利额为正品盈利减去次品损失．
所以y＝(1－p)·xa－p·x·
＝a(0(2)令t＝108－x,8≤t<108，t∈N＋.
则y＝a≤a.
当且仅当t＝12，即108－x＝12，x＝96件时，y最大．
所以为获取最大盈利，该厂日生产量应定为96件．
22．(本小题满分12分)设数列的前n项和为Sn，n∈N＋.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列的通项公式．
解：(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4＋5＝8＋1，解得a4＝.
(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．
∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1，
∴＝＝
＝＝，
∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．
(3)由(2)知，an＋1－an＝n－1，
即－＝4.
∴数列是以＝2为首项，4为公差的等差数列，
∴＝2＋4(n－1)＝4n－2，即an＝(2n－1)·n－1，
∴数列的通项公式为an＝(2n－1)·n－1.
模块综合检测(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若0A．a　 　 B.　 　 　
C．2ab　 　 D．a2＋b2
解析：选D　因为0＝，2ab＝2a(1－a)＝－22＋<，所以a，，2ab，a2＋b2中最大的数为a2＋b2.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于(　　)
A．135° B．90°
C．45° D．30°
解析：选C　由正弦定理知＝，
∴sin A＝＝＝.
又a3．若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第4项是(　　)
A. B．
C. D.
解析：选C　a2＝＝＝，
a3＝＝＝，a4＝＝＝.
4．若关于x的不等式x2－3ax＋2>0的解集为(－∞，1)∪(m，＋∞)，则a＋m＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：选D　由题意，知1，m是方程x2－3ax＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得解得所以a＋m＝3，故选D.
5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16 B．25 C．9 D．36
解析：选B　(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25，故选B.
6．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　　)
A．40 B．42 C．43 D．45
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，则2a1＋3d＝13，∴d＝3，故a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42.
7．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B． C．2 D．1
解析：选B　∵S△ABC＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，∴sin B＝，∴B＝45°或135°，若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2×1××＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意．
8．已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，S3＝3a1＋2a2，且a2－，a4，a5成等差数列，则a1＝(　　)
A．2 B．
C. D．4
解析：选C　设数列{an}的公比为q(q>0)，则由S3＝3a1＋2a2可得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，又a2－，a4，a5成等差数列，所以2a4＝a2－＋a5，即a2＝，所以a1＝.
9．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)
A. B． C. D.
解析：选B　由余弦定理得AB2＋4－2·AB×2×cos 60°＝7，解得AB＝3或AB＝－1(舍去)，设BC边上的高为x，由三角形面积关系得·BC·x＝AB·BC·sin 60°，解得x＝，故选B.
10．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为(　　)
A．16,8 B．15,9
C．17,7 D．14,10
解析：选A　设A工厂工作x小时，B工厂工作y小时，总工作时数为z，则目标函数为z＝x＋y，约束条件为作出可行域如图所示，由图知当直线l：y＝－x＋z过Q点时，z最小，解方程组得Q(16,8)，故A厂工作16小时，B厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少．
11．若log4(3x＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2　 B．7＋2　　
C．6＋4　 D．7＋4
解析：选D　由log4(3a＋4b)＝log2，得log2(3a＋4b)＝log2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7，当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时取等号，故选D.
12．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)
A．440　　　 B．330　　　　
C．220　　　 D．110
解析：选A　设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.
由题意可知，N>100，令>100，
得n≥14，n∈N＋，即N出现在第13组之后．
易得第n组的所有项的和为＝2n－1，前n组的所有项的和为－n＝2n＋1－n－2.
设满足条件的N在第k＋1(k∈N＋，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N＋)个数，
若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，
即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，
∴当t＝4，k＝13时，N＝＋4＝95<100，不满足题意；当t＝5，k＝29时，N＝＋5＝440；当t>5时，N>440，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：因为实数x，y满足xy＝1，所以x2＋2y2≥2＝2＝2，并且仅当x2＝2y2且xy＝1，即x2＝2y2＝时等号成立，故x2＋2y2的最小值为2.
答案：2
14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，
故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.
由一个内角为120°，知其必是最长边x＋4所对的角．
由余弦定理得，(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos 120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10，
∴S△ABC＝×(10－4)×10×sin 120°＝15.
答案：15
15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.
又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.
答案：－
16．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)
解析：因为ab≤2＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确．
答案：①③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(每小题满分10分)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
解：(1)设{an}的公比为q.
由题设可得解得
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝
＝－＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n
＝2＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
18．(每小题满分12分)已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，所以2x2＋bx＋c<0的解集是(0,5)，
所以0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，
由根与系数的关系，知－＝5，＝0，
所以b＝－10，c＝0，所以f(x)＝2x2－10x.
(2)对任意的x∈[－1,1]，f(x)＋t≤2恒成立等价于对任意的x∈[－1,1]，2x2－10x＋t－2≤0恒成立．
设g(x)＝2x2－10x＋t－2，
则由二次函数的图像可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1,1]上为减函数，
所以g(x)max＝g(－1)＝10＋t，所以10＋t≤0，即t≤－10，所以t的取值范围为(－∞，－10]．
19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝
＝，
从而数列的前n项和为－＋－＋…＋－＝.
20．(每小题满分12分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，观察点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得最高点H的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340 m/s)
解：由题意，设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2·BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝1002＋x2－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，
由正弦定理：＝，
可得CH＝＝140(m)．
即该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
21．(每小题满分12分)在△ABC中，BC＝6，点D在BC边上，且(2AC－AB)cos A＝BCcos C.
(1)求角A的大小；
(2)若AD为△ABC的中线，且AC＝2，求AD的长；
(3)若AD为△ABC的高，且AD＝3，求证：△ABC为等边三角形．
解：(1)由(2AC－AB)cos A＝BCcos C及正弦定理，有(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，
得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B，所以cos A＝.
因为0°(2)由正弦定理＝，得sin B＝＝.
因为A＋B<180°，所以B＝30°，所以C＝90°.
因为D是BC的中点，所以DC＝3，
由勾股定理，得AD＝＝.
(3)证明：因为AD·BC＝AB·ACsin A，且AD＝3，BC＝6，sin A＝，所以AB·AC＝36.
因为BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，
所以AB2＋AC2＝72，所以AB＝AC＝6＝BC，
所以△ABC为等边三角形．
22．(每小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足2Sn＋an＝1，数列{bn}中，b1＝1，b2＝，＝＋(n∈N＋)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)数列{cn}满足cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<.
解：(1)由2Sn＋an＝1，得Sn＝(1－an)．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(1－an)－(1－an－1)＝－an＋an－1，即2an＝－an＋an－1，
∴＝(由题意可知an－1≠0)．
∴{an}是公比为的等比数列，而S1＝a1＝(1－a1)，∴a1＝，∴an＝×n－1＝n.
由＝＋，＝1，＝2，
得d＝－＝1，
∴＝n，∴bn＝.
(2)证明：cn＝＝nn，设Tn＝c1＋c2＋…＋cn，则
Tn＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n，Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1，由错位相减，得Tn＝＋2＋…＋n－n×n＋1＝－n×n＋1＝－×n－n×n＋1，
所以Tn＝－×n－n×n＝－×<.