2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第10章 章末小结

一、不等式的基本性质及应用
不等式的基本性质既是不等式知识的理论基础，也是求解与不等式有关问题的重要工具，比较不等式的大小、证明不等式和解不等式等问题的求解，都离不开不等式性质的正确应用．在应用不等式的基本性质解决问题时，以下几个方面需引起我们的注意：
1．a－b>0?a>b，a－b＝0?a＝b，a－b<0?a1，当b>0时，a>b；当b<0时，a2．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的前提条件，否则将会出现一些不必要的错误．比如要考虑性质4(乘法单调性)中所乘的数或整式的正负情况．
3．判断不等式是否成立，一般可以采用以下三种最基本的方法：第一是利用不等式的基本性质加以判断，第二是利用函数的单调性进行推理，第三是结合特殊值法对命题加以否定后再作出正确的判断．
二、不等式的解法
1．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式首先要将所给不等式标准化，然后看对应的方程是否有实根，能求出两实根的(包括两相等的实根)求出根，并由此去想不等式对应的二次函数的图像，根据图像在x轴上方和下方的部分，求出不等式的解集，这也是数形结合思想的一种体现．
2．含参数不等式的解法
对于含参数不等式的求解，要注意按参数的取值情况进行分类讨论，分类时要做到不重、不漏．
三、基本不等式的应用
1．a2＋b2≥2ab和≤时，是利用不等式的意义、性质及比较法推出的，因此，凡是用这两个不等式解答的问题，也都是由不等式的意义、性质及比较法来解决．
2．在运用基本不等式求最值时，必须具备三个条件：
(1)在所求最值的代数式中，各变数均应是正数(如不是，则需进行变号转换)；
(2)各变数的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值，如不是，则要进行拆项或分解，务必使不等式一边的和或积为常数；
(3)各变数有相等的可能，即相等时，变量字母有实数解，且在定义域内，如无，则需拆项、分解以使其满足上述条件或改用其他方法．
这就是我们通常所说的“一正、二定、三相等”，即：一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当a＝b时，等号成立)．
四、简单的线性规划问题
解线性规划问题的关键步骤是在图(可行域)上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作要尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解．
值得指出的是，线性规划问题的核心就是数形结合的思想，通过挖掘问题的几何意义，借助直观图形使问题巧妙获解．抓住了这一思想，就抓住了解决线性规划问题的关键．利用这一思想，对一些非线性约束条件下有关最优解的问题，我们也可以通过尝试运用图解的方法使其获得解决．这样，我们的学习就能取得更大的收益．
不等式性质的应用
已知a>0，a2－2ab＋c2＝0，bc>a2，试比较a，b，c的大小．
[解]　法一：由a2－2ab＋c2＝0，
得b＝，a2＋c2＝2ab.
∵a>0，∴b>0.又bc>a2>0，∴c>0.
∵(a－c)2≥0，即a2＋c2－2ac≥0，∴2ab－2ac≥0.
即2a(b－c)≥0.∴b－c≥0.
若b－c＝0，即b＝c，
则由a2－2ab＋c2＝0，得a＝b＝c，∴bc＝a2.
这与bc>a2矛盾，∴b－c>0，即b>c.
由b＝及bc>a2，得·c>a2.
∴(a－c)(2a2＋ac＋c2)<0.
∵a>0，b>0，c>0，∴a－c<0，即a∴a法二：由a2＋c2＝2ab>0，a>0，得b>0.
由b>0，bc>a2得c>0.
又2ab＝a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时，取等号．
∴b≥c.
若b＝c，则a＝b＝c，∴bc＝a2，这与bc>a2矛盾．
∴b>c.由b>c，bc>a2，得b2>bc>a2，∴b>a.
又a2＋c2＝2ab>2a2，∴c2>a2，∴c>a.
综上可知：b>c>a.
两种解法均综合应用不等式的性质，不等式性质在比较大小和判断不等关系中的应用很广泛．
1．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是(　　)
A．a＋c>b＋d　　　　　 B．a－c>b－d
C．ac>bd D.>
解析：选A　∵a>b，c>d∴a＋c>b＋d.
2．如果a>0>b且a＋b>0，那么以下不等式正确的个数是(　　)
①>；②a3bA．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　∵a>0>b，
∴>0，<0，a－b>0，ab<0，∴>，①正确．
∵a3b－ab3＝ab(a2－b2)＝ab(a－b)(a＋b)<0，
∴a3b∵a3－ab2＝a(a＋b)(a－b)>0，∴a3>ab2，故③不正确．
∵a2b－b3＝b(a＋b)(a－b)<0，∴a2b故①②④正确，共3个．
3．已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
解：∵f(x)＝ax2－c，
∴∴
∴f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)．
又∵－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，
∴≤－f(1)≤①，
∴－≤f(2)≤②.
把①②的两边分别相加得－1≤f(2)－f(1)≤20，
即－1≤f(3)≤20.
不等式的解法
解下列不等式：
(1)x2＋2x＋3>0；(2)>0.
[解]　(1)因为Δ＝(2)2－4×3＝－8<0，
故原不等式的解集是R.
(2)法一：原不等式等价于
或即或
即x>2，或故原不等式解集为.
法二：
原不等式等价于(2x2－3x＋1)(x－2)>0，即(x－1)(2x－1)(x－2)>0.
利用穿根法，如图所示，得2，
故原不等式解集为∪(2，＋∞)．
1．解一元二次不等式的一般步骤是：
(1)化为标准形式；
(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；
(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；
(4)联系二次函数的图像得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外)．
2．分式不等式的解法
指导思想
将分式不等式转化为整式不等式
转化依据
商的符号法则
基本步骤
①化为>0(或<0)的形式；
②利用商的符号法则转化为f(x)g(x)>0(或<0)；
③解不等式求得解集.
3．穿针引线法
(1)指导思想：分析对应函数的图像．
(2)函数图像的画法：①整理：化为(x－x1)(x－x2)·…·(x－xn)>0(或x<0)的形式．
②标根：把f(x)＝(x－x1)(x－x2)·…·(x－xn)＝0的n个根xi(i＝1,2，…，n)标在数轴上．
③穿线：从右至左，从上而下依次穿过(奇穿偶不穿)．
(3)解集求法：
大于(小于)零的不等式的解，对应着曲线在x轴上方(下方)部分的点的横坐标x的取值集合．
4．解不等式：x2>2x－1.
解：原不等式化为x2－2x＋1>0.
∵Δ＝0，∴方程x2－2x＋1＝0有两相等实根x1＝x2＝1.
函数y＝x2－2x＋1的图像是开口向上的抛物线，如图所示．
观察图像可得，原不等式的解集为{x|x≠1}．
5．解不等式：<3.
解：原不等式可化为－3<0，即<0，
因为两个数的商与这两个数的积同号，所以<0可以化为一元二次不等式(2x－8)(x＋3)<0，
所以－3所以，原不等式的解集为(－3,4)．
6．解不等式：<1.
解：法一：(等价转化法)原不等式可化为>0?(2x2－3x＋1)(3x2－7x＋2)>0?
或
解得原不等式的解集为.
法二：(穿根法)将原不等式移项，因式分解得
>0?(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)>0，
在数轴上标出因式的根并画出示意图(如图)，可见原不等式的解集为.
基本不等式及其应用
若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为(　　)
A.－1 B．＋1
C．2＋2 D．2－2
[解析]　若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，
所以a2＋ab＋ac＋bc＝4－2.
∵4－2＝a2＋ab＋ac＋bc＝(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋2bc)≤(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋b2＋c2)，
∴(2－2)2≤(2a＋b＋c)2，∴2a＋b＋c≥2－2.
[答案]　D
设x>－1，求f(x)＝的最值．
[解]　因为x>－1，所以x＋1>0，
所以f(x)＝＝
＝＝x＋1＋＋5
≥2＋5＝4＋5＝9.
当且仅当x＋1＝，即x＝1时取等号．
故当x＝1时，f(x)有最小值9，无最大值．
　　
7．若正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值是(　　)
A．4 B．6
C．8 D．9
解析：选D　∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝·(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝9.
当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．
此时a＝，b＝.
8．设a>0，b>0且a＋b＝2，若不等式a2＋b2≥k恒成立，则k的最大值为________．
解析：∵≥2＝1，
∴a2＋b2≥2(当且仅当a＝b＝1，取“＝”)，使不等式a2＋b2≥k恒成立，则k≤2.
答案：2
9．设x>y>z，n∈N＋，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．
解析：原不等式可变形为n≤(x－z)·
令a＝x－y，b＝y－z，则a>0，b>0且x－z＝a＋b，
∴(x－z)·＝(a＋b)·
＝2＋≥4，要使不等式n≤(x－z)·恒成立，只需n≤4.
答案：4
简单的线性规划问题
已知实数x，y满足则z＝2x－2y－1的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B．[0,5]
C. D.
[解析]　作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是－，5.
[答案]　D
设z＝2y－x，式中变量x、y满足下列条件则z的最大值为________．
[解析]　可行域如图所示
由解得A(3,7)，
∴zmax＝2×7－3＝11.
[答案]　11
求线性规化的最值问题不但要准确画出可行域，还要明确z的几何意义．
10．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析：选D　由线性约束条件可得其图像如图所示，由图像可知直线z＝y－ax经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一，此时a＝2或a＝－1.
11．若x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为________．
解析：如图，作出可行域，z＝2x－y可化为y＝2x－z.
由图可知直线y＝2x－z经过点A(3，－3)时，z有最大值，最大值为z＝9.
答案：9