2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第8章 8.1 正弦定理
文档属性
| 名称 | 2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第8章 8.1 正弦定理 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 318.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 15:38:42 | ||
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文档简介
8．1正_弦_定_理
[读教材·填要点]
1．正弦定理
在三角形中，各边与它所对角的正弦的比值相等，即＝＝.
2．扩充的正弦定理
＝＝＝2R.
3．正弦定理的变形
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
a＝2Rsin_A.
b＝2Rsin_B.
c＝2Rsin_C.
4．正弦定理解决的两个问题
(1)已知两角和一边，求另两边和一角；
(2)已知两边和一边的对角，求另两角和一边．
5．面积公式
S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
[小问题·大思维]
1．课本是以锐角三角形为例给出的正弦定理，直角三角形和钝角三角形适合吗？
[提示] ＝＝适用于任意三角形．
2．在△ABC中，根据正弦定理，你认为，a>b，A>B，sin A>sin B之间有什么关系？
[提示] 在△ABC中，由“大边对大角”可知，若a>b，则A>B，反之亦成立．
由＝，A，B∈(0，π)可知a>b?sin A>sin B．因此，在△ABC中，a>b?A>B?sin A>sin B.
已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
[解] A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，
由正弦定理＝，
得b＝＝＝4，
由＝，
得c＝＝＝＝4(＋1)．
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．
1．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，求b，c.
解：∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝＝＝＝2＋2.
即b＝4，c＝2＋2.
已知两边及其中一边的对角解三角形
在△ABC中，已知下列条件解三角形．
(1)a＝，b＝2，A＝30°；
(2)a＝2，b＝，A＝45°；
(3)a＝5，b＝2，B＝120°.
[解] (1)由＝，得sin B＝，
∴sin B＝＝，
∵aA＝30°，
∴B为锐角或钝角，
∴B＝45°或B＝135°.
当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝105°，
∴c＝＝＝＋1；
当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，
∴c＝＝＝－1.
∴B＝45°，C＝105°，c＝＋1，
或B＝135°，C＝15°，c＝－1.
(2)由＝，得
sin B＝＝＝＝，
∵a＞b，∴A＞B，∴B必为锐角．
∴B＝30°，
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°，
∴c＝＝＝＝＋1，
∴B＝30°，C＝105°，c＝＋1.
(3)由＝，得sin A＝＝
＝>1，
∴A不存在．故此题无解．
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．
已知a，b，A解三角形时我们也可以从图形角度加以讨论：
(1)当A为锐角时，
(2)当A为直角或钝角时，
2．已知在△ABC中，A＝45°，a＝2，c＝，解此三角形．
解：由正弦定理得＝，
即sin C＝sin 45°＝×＝，
因为A＝45°，c>a，
所以C＝60°或120°，
所以B＝180°－60°－45°＝75°或B＝180°－120°－45°＝15°.
又因为b＝，所以b＝＋1或－1.
所以C＝60°，B＝75°，b＝＋1或C＝120°，B＝15°，b＝－1.
三角形的面积公式与正弦定理的应用
在△ABC中，ab＝60，sin B＝sin C，△ABC的面积为15，求边b的长．
[解] 由S＝absin C得15＝×60×sin C，
∴sin C＝，∴C＝30°或150°.
又sin B＝sin C，故B＝C＝30°.
∴A＝120°.
又∵ab＝60，＝，
∴b＝2.
故边b的长为2.
对于此类问题，一般用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形的面积公式进行求解．
3．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S.
解：cos B＝2cos2－1＝，
故B为锐角，sin B＝.
所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，
所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝.
[随堂体验落实]
1．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A.＋1 B．2＋1
C．2 D．2＋2
解析：选C 由正弦定理＝，
得＝，
∴b＝2.
2．已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为( )
A．9 B．18
C．9 D．18
解析：选C ∵C＝180°－30°－120°＝30°，
∴AB＝BC＝6，
∴S＝×6×6×sin 120°＝9.
3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
解析：选A ∵b4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝________.
解析：由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝.
答案：
5．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
解：a＝2，b＝6，a又因为bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
所以本题有两解，由正弦定理得：
sin B＝＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
[感悟高手解题]
在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为
2sin B＝sin A＋sin C.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.
∴C＝120°－A，
∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，
整理得sin(A＋30°)＝1，
∴A＝60°，C＝60°.
因此，△ABC是正三角形．
法二：如图所示，
延长CB到D，使BD＝c，连结AD，
则△ABD为等腰三角形．
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝120°，
∴∠BAD＝∠BDA＝30°.
又∵2b＝a＋c，
∴AC＝CD.
∴∠CAD＝90°.∴∠CAB＝60°.
∴△ABC是正三角形．
此题还可用下一节的余弦定理求解．
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝，b＝，则B等于( )
A．45°或135° B．60°
C．45° D．135°
解析：选C 由＝得sin B＝
＝＝.
∵a>b，∴A>B，B<60°.
∴B＝45°.
2．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：选A 由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin (B＋C)＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin (B－C)＝0，∴B＝C.
3．在△ABC中，若＝，则C的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B 由正弦定理得，＝＝，
则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.
4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A. B．
C. D.
解析：选B 因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，
所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，
所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，
因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得sin C＝＝＝，又0＜C＜，所以C＝.
二、填空题
5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝________.
解析：因为＝，所以＝，
所以b＝a，①
又因为a＋b＝12，②
由①②可知a＝12(3－)．
答案：12(3－)
6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为________．
解析：设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，由S＝absin C＝＝＝，∴abc＝1.
答案：1
7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝_______.
解析：由正弦定理，得＝，即
sin C＝
＝＝.
可知C为锐角，∴cos C＝＝.
∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.
答案：
8．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则的取值范围为________．
解析：在锐角三角形ABC中，A，B，C都小于90°，
即∴30°由正弦定理知：＝＝＝2cos B∈(，)，
故的取值范围是(，)．
答案：(，)
三、解答题
9．在△ABC中，已知b＝，c＝1，B＝45°，求a，A，C.
解：由正弦定理得＝，
∴sin C＝sin B＝×＝，
∵b>c，∴C＝30°，∴A＝180°－45°－30°＝105°，
由正弦定理＝，
∴a＝·sin A＝×sin 105°
＝2×＝.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos A＝，b＝.
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)∵A，B，C为△ABC的三个内角，
且B＝，cos A＝，
∴C＝－A，sin A＝，
∴sin C＝sin ＝cos A＋sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，sin C＝，
又B＝，b＝，
∴在△ABC中，由正弦定理，
得a＝＝.
∴△ABC的面积S＝absin C＝×××＝.
[读教材·填要点]
1．正弦定理
在三角形中，各边与它所对角的正弦的比值相等，即＝＝.
2．扩充的正弦定理
＝＝＝2R.
3．正弦定理的变形
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
a＝2Rsin_A.
b＝2Rsin_B.
c＝2Rsin_C.
4．正弦定理解决的两个问题
(1)已知两角和一边，求另两边和一角；
(2)已知两边和一边的对角，求另两角和一边．
5．面积公式
S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
[小问题·大思维]
1．课本是以锐角三角形为例给出的正弦定理，直角三角形和钝角三角形适合吗？
[提示] ＝＝适用于任意三角形．
2．在△ABC中，根据正弦定理，你认为，a>b，A>B，sin A>sin B之间有什么关系？
[提示] 在△ABC中，由“大边对大角”可知，若a>b，则A>B，反之亦成立．
由＝，A，B∈(0，π)可知a>b?sin A>sin B．因此，在△ABC中，a>b?A>B?sin A>sin B.
已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
[解] A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，
由正弦定理＝，
得b＝＝＝4，
由＝，
得c＝＝＝＝4(＋1)．
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．
1．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，求b，c.
解：∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝＝＝＝2＋2.
即b＝4，c＝2＋2.
已知两边及其中一边的对角解三角形
在△ABC中，已知下列条件解三角形．
(1)a＝，b＝2，A＝30°；
(2)a＝2，b＝，A＝45°；
(3)a＝5，b＝2，B＝120°.
[解] (1)由＝，得sin B＝，
∴sin B＝＝，
∵a
∴B为锐角或钝角，
∴B＝45°或B＝135°.
当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝105°，
∴c＝＝＝＋1；
当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，
∴c＝＝＝－1.
∴B＝45°，C＝105°，c＝＋1，
或B＝135°，C＝15°，c＝－1.
(2)由＝，得
sin B＝＝＝＝，
∵a＞b，∴A＞B，∴B必为锐角．
∴B＝30°，
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°，
∴c＝＝＝＝＋1，
∴B＝30°，C＝105°，c＝＋1.
(3)由＝，得sin A＝＝
＝>1，
∴A不存在．故此题无解．
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．
已知a，b，A解三角形时我们也可以从图形角度加以讨论：
(1)当A为锐角时，
(2)当A为直角或钝角时，
2．已知在△ABC中，A＝45°，a＝2，c＝，解此三角形．
解：由正弦定理得＝，
即sin C＝sin 45°＝×＝，
因为A＝45°，c>a，
所以C＝60°或120°，
所以B＝180°－60°－45°＝75°或B＝180°－120°－45°＝15°.
又因为b＝，所以b＝＋1或－1.
所以C＝60°，B＝75°，b＝＋1或C＝120°，B＝15°，b＝－1.
三角形的面积公式与正弦定理的应用
在△ABC中，ab＝60，sin B＝sin C，△ABC的面积为15，求边b的长．
[解] 由S＝absin C得15＝×60×sin C，
∴sin C＝，∴C＝30°或150°.
又sin B＝sin C，故B＝C＝30°.
∴A＝120°.
又∵ab＝60，＝，
∴b＝2.
故边b的长为2.
对于此类问题，一般用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形的面积公式进行求解．
3．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S.
解：cos B＝2cos2－1＝，
故B为锐角，sin B＝.
所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，
所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝.
[随堂体验落实]
1．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A.＋1 B．2＋1
C．2 D．2＋2
解析：选C 由正弦定理＝，
得＝，
∴b＝2.
2．已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为( )
A．9 B．18
C．9 D．18
解析：选C ∵C＝180°－30°－120°＝30°，
∴AB＝BC＝6，
∴S＝×6×6×sin 120°＝9.
3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
解析：选A ∵b
解析：由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝.
答案：
5．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
解：a＝2，b＝6，a
所以本题有两解，由正弦定理得：
sin B＝＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
[感悟高手解题]
在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为
2sin B＝sin A＋sin C.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.
∴C＝120°－A，
∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，
整理得sin(A＋30°)＝1，
∴A＝60°，C＝60°.
因此，△ABC是正三角形．
法二：如图所示，
延长CB到D，使BD＝c，连结AD，
则△ABD为等腰三角形．
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝120°，
∴∠BAD＝∠BDA＝30°.
又∵2b＝a＋c，
∴AC＝CD.
∴∠CAD＝90°.∴∠CAB＝60°.
∴△ABC是正三角形．
此题还可用下一节的余弦定理求解．
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝，b＝，则B等于( )
A．45°或135° B．60°
C．45° D．135°
解析：选C 由＝得sin B＝
＝＝.
∵a>b，∴A>B，B<60°.
∴B＝45°.
2．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：选A 由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin (B＋C)＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin (B－C)＝0，∴B＝C.
3．在△ABC中，若＝，则C的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B 由正弦定理得，＝＝，
则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.
4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A. B．
C. D.
解析：选B 因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，
所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，
所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，
因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得sin C＝＝＝，又0＜C＜，所以C＝.
二、填空题
5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝________.
解析：因为＝，所以＝，
所以b＝a，①
又因为a＋b＝12，②
由①②可知a＝12(3－)．
答案：12(3－)
6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为________．
解析：设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，由S＝absin C＝＝＝，∴abc＝1.
答案：1
7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝_______.
解析：由正弦定理，得＝，即
sin C＝
＝＝.
可知C为锐角，∴cos C＝＝.
∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.
答案：
8．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则的取值范围为________．
解析：在锐角三角形ABC中，A，B，C都小于90°，
即∴30°
故的取值范围是(，)．
答案：(，)
三、解答题
9．在△ABC中，已知b＝，c＝1，B＝45°，求a，A，C.
解：由正弦定理得＝，
∴sin C＝sin B＝×＝，
∵b>c，∴C＝30°，∴A＝180°－45°－30°＝105°，
由正弦定理＝，
∴a＝·sin A＝×sin 105°
＝2×＝.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos A＝，b＝.
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)∵A，B，C为△ABC的三个内角，
且B＝，cos A＝，
∴C＝－A，sin A＝，
∴sin C＝sin ＝cos A＋sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，sin C＝，
又B＝，b＝，
∴在△ABC中，由正弦定理，
得a＝＝.
∴△ABC的面积S＝absin C＝×××＝.