2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第8章 8.2 余弦定理

8．2余_弦_定_理
[读教材·填要点]
1．余弦定理
(1)三角形的一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍，即
a2＝b2＋c2－2bccos A.
b2＝a2＋c2－2accos_B.
c2＝a2＋b2－2abcos_C.
(2)余弦定理的另一种形式
cos A＝.
cos B＝.
cos C＝.
2．余弦定理的作用
(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角．
(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．
(3)将角的余弦值用边来表示．
[小问题·大思维]
1．勾股定理和余弦定理的区别与联系．
[提示]　勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．
2．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理是否能求出其他元素？
[提示]　能．已知三角形两边与一角有如图所示的两种情况：
图①中已知角A和边a，b，可由正弦定理先求角B和角C，继而可求边c，也可设出边c, 利用余弦定理求边c，继而利用正弦定理求角B，C.
图②中已知角A和边b，c，可先由余弦定理求边a，继而可由正弦定理求角B，C.
已知三条边解三角形
在△ABC中，
(1)若a＝2，b＝，c＝3＋，解此三角形；
(2)若a＝3，b＝4，c＝，求最大角．
[解]　(1)法一：由余弦定理的推论得
cos A＝＝＝，
∴A＝45°.同理可求B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.
法二：由余弦定理的推论得
cos A＝＝＝，
∴A＝45°.
由正弦定理＝知＝，
得sin B＝＝.
由a>b知A>B，∴B＝30°.
故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.
(2) 由c>b>a，知C最大，
∵cos C＝＝＝－，
∴C＝120°.
(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．
(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
1．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，求B的大小．
解：由正弦定理得：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，
设a＝5x，b＝7x，c＝8x，
∴cos B＝＝＝.
∵0°∴B＝60°.
已知两边及夹角解三角形
△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形．
[解]　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B，∴2＝3＋c2－2·c.
即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝，
当c＝时，由余弦定理得
cos A＝＝＝.
∵0°当c＝时，由余弦定理得cos A＝＝＝－.
∵0°故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.
余弦定理与正弦定理一样，都是求解三角形问题的基本方法，关键是要熟记公式，分清各已知量在三角形中的位置，以做到计算的准确无误．
,
2．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解三角形．
解：根据余弦定理，
b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，
∴b＝2.
法一：∵cos A＝＝＝，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
法二：∵a＝2∴A∴A一定是锐角．
由正弦定理，得sin A＝＝＝.
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
判断三角形的形状
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos B·cos C，试判断三角形的形状．
[解]　法一：在△ABC中，由正弦定理，得
4R2sin2B·sin2C＋4R2sin2C·sin2B＝8R2sin B·sin C·cos B·cos C，
又∵sin B·sin C≠0，∴sin B·sin C＝cos B·cos C，
∴cos(B＋C)＝0，
又∵0°∴B＋C＝90°，∴A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
法二：将已知变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos B·cos C，
则有b2＋c2－b2·2－c2·2＝2bc··，
即b2＋c2＝＝＝a2.
∴a2＝b2＋c2.
∴△ABC是直角三角形．
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断．
3．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
解：由余弦定理知
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝，
代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形.
正、余弦定理的综合应用
在四边形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，四个内角A，B，C，D的度数之比为3∶7∶4∶10，求AB的长．
[解]　设四个内角A，B，C，D的大小为3x,7x,4x,10x(x>0)，由四边形内角和为360°可得，
3x＋7x＋4x＋10x＝360°，
∴x＝15°，
即A＝45°，B＝105°，C＝60°，D＝150°.
连接BD，在△BCD中，由余弦定理得，
BD2＝a2＋(2a)2－2·a·2a·cos 60°＝3a2，
∴BD＝a.
此时，CD2＝BC2＋BD2，且BC＝CD，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝30°，
∴∠ADB＝150°－30°＝120°.
在△ABD中，
∵＝，
∴AB＝
＝＝a.
在多边形的计算中需构造三角形解决，应恰当地将多边形分解为几个三角形，转化为三角形中问题，并根据给出条件选择余弦定理或正弦定理求解．本题中求∠ADB的度数是关键，要善于挖掘隐含条件BC2＋BD2＝CD2，也可通过余弦定理求出∠BDC的度数．
4．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．
解：法一：∵AB＝2，AC＝2，B＝30°，
由正弦定理可得sin C＝＝，
∵AB>AC，∴C>B，则C有两解．
①当C为锐角时，C＝60°，A＝90°，
S＝AB·AC·sin A＝2.
②当C为钝角时，C＝120°，A＝30°，
S＝AB·AC·sin A＝.
法二：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
∴22＝a2＋(2)2－2a×2cos 30°，
即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.
①当a＝2时，S＝acsin B＝；
②当a＝4时，S＝acsin B＝2.
[随堂体验落实]
1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　∵a>b>c，∴C为最小角，
由余弦定理cos C＝
＝＝，
∴C＝.
2．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C大小为(　　)
A．60° B．45°或135°
C．120° D．30°
解析：选A　由余弦定理得cos C＝＝＝，
∵0°∴C＝60°.
3．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
解析：选C　bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
4．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
解析：c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12，
∴c＝2.
由正弦定理：＝得sin A＝.
∵a答案：30°
5．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的各角度数．
解：由已知可设△ABC的三边分别为a＝2x，b＝x，c＝x，
∴cos A＝
＝＝.
∵0°∴A＝45°.
cos B＝
＝
＝.
∵0°∴B＝60°.
由内角和定理得C＝180°－B－A＝75°，
故△ABC各角度数分别为45°，60°，75°.
[感悟高手解题]
在△ABC中，求证a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C.
证明：法一：(化为角的关系式)
a2sin 2B＋b2sin 2A＝(2R·sin A)2·2sin B·cos B＋(2R·sin B)2·2sin A·cos A＝8R2sin A·sin B(sin A·cos B＋cos Asin B)＝8R2sin Asin Bsin C＝2·2Rsin A·2Rsin B·sin C＝2absin C.
∴原式得证．
法二：(化为边的关系式)
左边＝a2·2sin Bcos B＋b2·2sin Acos A＝a2··＋b2··＝(a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2)＝·2c2＝2ab·＝2absin C＝右边，
∴原式得证．
一、选择题
1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　∵b2＝ac，c＝2a，
∴b2＝2a2，b＝a，
∴cos B＝
＝＝.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为(　　)
A．a>b B．aC．a＝b D．不能确定
解析：选A　在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.
3．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的大小为(　　)
A．135° B．45°
C．60° D．120°
解析：选B　∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin C，
∴a2＋b2－c2＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴sin C＝cos C，∴C＝45°.
4．在△ABC中，AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·＝(　　)
A．－19 B．19
C．－38 D．38
解析：选A　∵cos B＝＝＝，
∴·＝－·
＝－||·||cos B＝－7×5×＝－19.
二、填空题
5．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则顶角的余弦值为________．
解析：设顶角为A，
则cos A＝＝＝.
答案：
6．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.
解析：由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝.
答案：
7．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
解析：∵cos C＝＝，
∴sin C＝.
∴AD＝AC·sin C＝.
答案：
8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．
解析：∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1.
∵三角形为钝角三角形，设C为边长2a＋1所对的角，
则cos C＝＜0，
化简得：02a＋1，
∴a>2，∴2答案：(2,8)
三、解答题
9．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．
解：∵S＝absin C，∴sin C＝，∴C＝120°或60°.
当C＝60°时，c2＝a2＋b2－2abcos 60°＝21，∴c＝.
当C＝120°时，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝61，∴c＝.
10．在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝，求BC边上的高AD的长．
解：由已知设AB＝7x，AC＝8x.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴sin C＝＝×＝，
∴∠C＝60°(∠C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不合要求)．
再由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos 60°，
∴x2－8x＋15＝0，∴x＝3或x＝5，
∴AB＝21或AB＝35.
在Rt△ADB中，AD＝ABsin B＝AB，
∴AD＝12或AD＝20.