2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第8章 阶段质量检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：选C　cos B＝＝＝，
∴B＝60°.
2．已知a，b，c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则C的大小为(　　)
A．60° B．90°
C．120° D．150°
解析：选C　∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，
即＝－，∴cos C＝－，∴C＝120°.
3．若△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝(　　)
A. B．
C．2 D.
解析：选A　由题意得B＝180°－A－C＝60°.由正弦定理得＝，则BC＝，所以BC＝＝.
4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝(　　)
A．± B．
C．－ D.
解析：选A　因为＝，所以＝，解得sin B＝.因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos B＝±.
5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为(　　)
A. B．3
C. D．7
解析：选A　∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，
∴AC＝1.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A
＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3.
即BC＝.
6．△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B＝，sin C＝，则a∶b∶c为(　　)
A．1∶∶2 B．1∶1∶
C．1∶2∶ D．2∶1∶或1∶1∶
解析：选D　若B，C均为锐角，则B＝30°，C＝60°，
∴A＝90°，
∴a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶.
若B为锐角，C为钝角，则B＝30°，C＝120°，
∴A＝30°，
则a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶.
7．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积是(　　)
A. B．＋1
C.(＋1) D．2
解析：选B　由正弦定理＝?b＝＝＝＋，
∴S△ABC＝absin C
＝×2×(＋)·sin 45°＝＋1.
8．△ABC中，若＝，则该三角形一定是(　　)
A．等腰三角形但不是直角三角形
B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D　由正弦定理得＝，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　)
A．2 B．8
C. D.
解析：选C　∵＝＝＝2R＝8，
∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝.
10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2 ，cos A＝且b＜c，则b＝(　　)
A. B．2
C．2 D．3
解析：选B　由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A，所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，解得：b＝2或b＝4，因为b11．如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝ km，当目标出现在B点时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，则炮兵阵地与目标的距离大约是(　　)
A．1.1 km B．2.2 km
C．2.9 km D．3.5 km
解析：选C　∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°.
在△BCD中，由正弦定理，得BD＝＝.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，
由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos 105°
＝3＋＋2×××
＝5＋2.
∴AB＝ ≈2.9(km)．
∴炮兵阵地与目标的距离约为2.9 km.
12．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　　)
A. B．
C. D.
解析：选A　法一：(应用正弦定理)
∵＝，∴＝.
∴sin C＝sin A，∵0∴0∵AB∴0法二：(应用数形结合)
如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，
则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1，A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝，∴0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．在△ABC中，b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
解析：由正弦定理，得＝，∴sin B＝.
∵C为钝角，∴B必为锐角，
∴B＝，∴A＝.
∴a＝b＝1.
答案：1
14．△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B＝A＋60°，b＝2a，则A＝________.
解析：由B＝A＋60°，b＝2a，＝，
得＝，
∴sin(A＋60°)＝2sin A，
∵sin(A＋60°)＝sin A＋cos A，
∴2sin A＝sin A＋cos A，
∴sin A＝cos A，即tan A＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
答案：
15．在湖面上高h米处，测得天空中一朵云的仰角为α，测得云在湖中影子的俯角为β，则云距湖面的高度为________米．
解析：如图，设湖面上高h米处为A，在A处测得云C的仰角为α，测得云在湖中影子D的俯角为β，CD与湖面交于M，过A的水平线交CD于E.
设云高CM＝x，则CE＝x－h，DE＝x＋h，AE＝＝.
又AE＝＝，
∴＝.
整理，得x＝h＝h(米)．
答案：h
16．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.
解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，
则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝×2×2×＝.
因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，
则cos∠CDB＝ ＝.
答案：　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，试求△ABC的最大内角．
解：∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴可设b＋c＝8k，c＋a＝10k，a＋b＝12k，
∴a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)．
∴三角形中A为最大角．
∴cos A＝＝＝－，
∴A＝120°.
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，sin A＝，b＝2.
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积S.
解：(1)∵A，B，C为△ABC的内角，且B＝，sin A＝，
∴C＝－A，cos A＝，
∴sin C＝sin ＝cos A－sin A＝.
(2)由(1)知sin C＝，
又∵B＝，b＝2，
∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝，
∴S＝absin C＝××2×＝.
19．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝与n＝平行．
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，
由正弦定理，得sin Asin B－ sin Bcos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝.
由于0＜A＜π，所以A＝.
(2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
而a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.
因为c＞0，所以c＝3.
故△ABC的面积为bcsin A＝.
法二：由正弦定理，得＝，
从而sin B＝.
又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝.
故sin C＝sin(A＋B)＝sin
＝sin Bcos＋cos Bsin＝.
所以△ABC的面积为absin C＝.
20．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
解：(1)由题设得acsin B＝，
即csin B＝.由正弦定理得sin Csin B＝.故sin Bsin C＝.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.
由题设得bcsin A＝，即bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，
得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.
21．(本小题满分12分)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
解：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC.
由正弦定理，得＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.
22．(本小题满分12分)如图所示，A，B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．
解：行驶t小时后，甲船行驶了9t n mile到达C处，乙船行驶了6t n mile到达D处．
当9t＜21，即t＜时，C在线段AB上，此时BC＝21－9t.
在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，∠CBD＝180°－60°＝120°，
由余弦定理知
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 120°
＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)·6t·
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.
∵当t＝2时，CD取得最小值＝3.
当t＝时，C与B重合，
此时CD＝6×＝14＞3.
当t＞时，BC＝9t－21，
则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t×cos 60°
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189＞189.
综上可知当t＝2时，CD取最小值3，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3 n mile.