2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第8章 章末小结

一、正弦定理及运用时应注意的问题
1．正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝ .
2．运用正弦定理应注意的问题
(1)运用正弦定理可以解任意三角形．
(2)在运用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角”这类问题时，注意对角的判断．
(3)要把握正弦定理的适用范围，注意挖掘三角形中的隐含条件．
(4)要运用数形结合的思想方法分析问题解决问题．
二、余弦定理及运用时应注意的问题
1．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值乘积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
2．运用余弦定理应注意的问题
(1)要注意正弦定理、余弦定理的区别与联系，分清哪种类型的题目用正弦定理，哪种类型的题目用余弦定理．
(2)用方程的观点去认识余弦定理，一般地，凡能用正弦定理解决的问题，也可以用余弦定理解决，但有时运算会复杂一些．
(3)用类比的方法将正弦定理与余弦定理比较，正确地选择定理去解决问题．
(4)用方程的观点去认识余弦定理，即把余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组．
三、解三角形应用问题应注意的问题
1．要根据题意选择恰当的方法，正确运用定理，优化解题过程．
2．在解决应用问题时，要明确一些名词的含义，如仰角、俯角、方位角等，弄清各量之间的关系．
3．根据题意，作出示意图，将实际问题转化为解三角形的问题．
4．在解决解斜三角形问题时，要注意仰角、俯角、方位角等名词，准确地找出这些角．
5．在解三角形时，要注意把平面几何中的性质、定理与正余弦定理结合起来，能够发现题目中的隐含条件，才能顺利地解决问题．
四、解三角形应用问题过程中常见的规律、方法和技巧
1．应用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，通常都是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所要求的量，从而得到实际问题的解．
2．解题时应认真读题，未给出图形的，要画出示意图，结合图形去选择正弦定理、余弦定理，使解题过程简捷．另外，对于实际问题的解，要注意题目中给出的精确度，合理地取近似值．
3．运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理，运用正弦定理一般是将边转化为角，而条件中若给出三边的关系，往往考虑用余弦定理求角．
利用正、余弦定理解三角形
在△ABC中，
(1)若sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B·sin C，求角A；
(2)若sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶(＋1)∶，求该三角形的最大内角．
[解]　∵＝＝＝2R(R为该三角形外接圆半径)，
∴＝sin A，＝sin B，＝sin C.
(1)∵sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，由正弦定理得
2＝2＋2＋·，
∴a2＝b2＋c2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝＝＝－，
∴A＝120°.
(2)由已知有＝＝，
∴＝＝.
设a＝(－1)k，b＝(＋1)k，c＝k，
∵－1<＋1<，∴C为最大角，
∴cos C＝
＝＝－，
∴最大内角C＝120°.
在三角形中，已知其中三个元素(其中至少要有一边)才可解出其余的元素，而正弦定理可以解决两类解斜三角形的问题：(1)已知两角和任一边解斜三角形．(2)已知两边和其中一边的对角，解斜三角形．余弦定理也可以解决两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，解三角形．(2)已知两边及其夹角，解斜三角形．解题时，要综合、灵活地运用两个定理，认真分析已知条件，选择需先解的三角形和相关定理，并结合三角形的有关性质，如大边对大角、内角和定理等，且注意数形结合，正确地求解三角形的解，防止出现漏解或增根的情况．
1．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于(　　)
A.　　　　　　　 B．－
C．± D．±
解析：选C　∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC
＝×2×5×sin θ＝4，∴sin θ＝.
又θ∈(0，π)，∴cos θ＝± ＝±.
2．已知△ABC的三个内角A，B，C满足等式2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析：∵2B＝A＋C，
∴3B＝180°.
∴B＝60°.
在△ABD中，由余弦定理得AD＝.
答案：
3．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.
(1)求sin C的值；
(2)若a＝7，求△ABC的面积．
解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，
所以由正弦定理得sin C＝＝×＝.
(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得72＝b2＋32－2b×3×，
解得b＝8或b＝－5(舍去)．
所以△ABC的面积
S＝bcsin A＝×8×3×＝6.
三角形形状的判定
在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．
[解]　法一：∵a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]
＝b2[－sin(A－B)－sin(A＋B)]，
∴2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A，
∴2sin 2Acos Asin B＝2sin 2Bcos Bsin A.
∴2sin Acos A＝2sin Bcos B.
即sin 2A＝sin 2B.
∴2A＝2B或2A＋2B＝π.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
法二：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)
∴a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]．
即2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A.
由正、余弦定理，即得
a2b＝b2a，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，
∴a＝b或c2＝a2＋b2，
∴该三角形为等腰三角形或直角三角形．
判断三角形的形状主要有两种思路：其一是利用正、余弦定理将已知条件转化为边的关系，通过代数变换(一般是因式分解)得到边的关系，最终判断出该三角形的形状；其二是利用正、余弦定理将已知条件转化为角的关系，通过三角恒等变换得到角的关系，最终判断该三角形的形状．应针对具体的题目灵活选用解决问题的方法．
4．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
解析：选B　∵sin2＝＝，
∴cos A＝＝?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．
故△ABC为直角三角形．
5．已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B分别为a，b的对角，试判断该三角形的形状．
解：设方程两根为x1，x2，由根与系数的关系，
得x1＋x2＝bcos A，x1x2＝acos B.
由题意得bcos A＝acos B.
根据正弦定理，有b＝2Rsin B，a＝2Rsin A.
代入上式，得2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B.
所以sin Acos B－cos Asin B＝0.
即sin(A－B)＝0.
因为0所以A－B＝0，即A＝B.即该三角形为等腰三角形．
正、余弦定理的综合应用
已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0，0)，C(c,0)．
(1)若c＝5，求sin A的值．
(2)若A是钝角，求c的取值范围．
[解]　(1)∵A(3,4)，B(0,0)，
∴|AB|＝＝5.
当c＝5时，|BC|＝5，|AC|＝＝2.
由余弦定理得，
cos A＝＝，
sin A＝＝.
(2)已知△ABC顶点坐标为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，
∴|AC|2＝(c－3)2＋42，|BC|2＝c2.
由余弦定理，得：
cos A＝.
若A是钝角，则cos A<0?|AB|2＋|AC|2－|BC|2<0，
即52＋[(c－3)2＋42]－c2＝50－6c<0，
解得c>.
故c的取值范围为.
由余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．本题正是利用了A是钝角，cos A<0的情形求c的范围．
6．在△ABC中，若a2＋c2－b2＝ac，log4sin A＋log4sin C＝－1，且三角形的面积为，求三边a，b，c的长及三个内角A，B，C的大小．
解：由a2＋c2－b2＝ac可得cos B＝＝.
又0°由log4sin A＋log4sin C＝－1，得sin Asin C＝.
∴sin A·sin(120°－A)＝，整理得
sin 2A＋(1－cos 2A)＝，即sin(2A－30°)＝0.
∵0°<2A<240°，∴－30°<2A－30°<210°，
∴2A－30°＝0°或2A－30°＝180°，
即A＝15°或A＝105°.
若A＝15°，则C＝105°；若A＝105°，则C＝15°.
若A＝105°，C＝15°，
则由于三角形的面积为，
∴由正弦定理和面积公式有
S△ABC＝absin C＝2R2sin Asin Bsin C＝R2，
∴R2＝?R＝2或R＝－2(舍去)，
∴a＝2Rsin A＝2×2×＝＋，
b＝2Rsin B＝2×2×＝2，
c＝2Rsin C＝2×2×＝－.
同理，若A＝15°，C＝105°，则a＝－，b＝2，c＝＋.
三角形的实际应用
江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船的距离．
[解]　如图，已知CD＝30 m为炮台，A、B为两船的位置，由题设知∠CBD＝45°，∠ADC＝90°－30°＝60°，∠DAC＝30°，
在Rt△BCD中，DC＝BC＝30，
在Rt△ADC中，AC＝DCtan 60°＝30.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠BCA，即AB2＝302＋(30)2－2×30×30cos 30°，解得AB＝30，即两条船的距离为30 m.
所以两船的距离为30 m.
利用两个定理解应用题的一般思路和步骤是：(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清各量之间的关系．(2)依题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)选择正弦定理和余弦定理求解．(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位和近似计算的要求等．
7.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
DF＝＝＝10，
DE＝＝＝130，
EF＝＝＝150.
在△DEF中，由余弦定理，
cos∠DEF＝
＝＝.
8.如图所示，现有A，B，C，D四个海岛，已知B在A的正北方向15海里处，C在A的东偏北30°方向，又在D的东北方向，且B，C相距21海里，求C，D两岛间的距离．
解：设A，C两岛相距x海里．
∵C在A的东偏北30°方向，
∴∠BAC＝60°，
在△ABC中，由余弦定理得
212＝152＋x2－2×15xcos 60°，
化简得x2－15x－216＝0，
解得x＝24或x＝－9(不合题意，舍去)．
∵C在D的东北方向，
∴∠ADC＝135°.
在△ADC中，由正弦定理得＝，
∴CD＝＝＝12.
∴C，D两岛间的距离为12海里．