2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第9章 9.1 数列的概念

9．1数列的概念
第一课时　数列的概念
[读教材·填要点]
1．数列及其有关概念
(1)数列：按某种规则依次排列的一列数叫作数列．
(2)项：数列中的每一个数叫作数列的项，排在第1位的数叫作数列的首项，排在第n位的数叫作数列的第n项．
(3)数列的表示：数列通常写成a1，a2，…，an，…，其中an表示数列的第n项，数列也可以简记为{an}．
2．数列的分类
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．
[小问题·大思维]
1．1,2,3,4与4,3,2,1是否是相同的数列？两个数列相同的条件是什么？
[提示]　两数列不是相同的数列．两个数列相同必须同时满足两个条件：①两个数列中各数相同；②各数的排列次序相同．
2．{an}与an有什么区别？
[提示]　{an}与an是不同的概念．{an}表示数列a1，a2，a3，…，an…，而an仅表示数列{an}的第n项．
3．数列和函数有什么关系？
[提示]　数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．故数列是一种特殊的函数．
已知数列的通项公式写出前几项
已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n，求a3，a10，a2n－1.
[解]　当n＝3时，a3＝(－1)3＝－，
当n＝10时，a10＝(－1)10＝，
故a2n－1＝(－1)2n－1＝－.
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．,
1．根据数列的通项公式，写出它的前4项．
(1)an＝；(2)an＝.
解：(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4，便可得数列{an}的前4项：a1＝，a2＝＝，a3＝，a4＝＝.
(2)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4，便可得数列{an}的前4项：a1＝－1，a2＝，a3＝－，a4＝.
用观察法求数列的通项公式
写出数列的一个通项公式，使得它的前几项是下列各数．
(1)－1，，－，，…；
(2)0.9,0.99,0.999,0.999 9，…；
(3)3,5,3,5,3,5，….
[解]　(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用－1的多少次幂进行调整，其通项公式为an＝(－1)n·.
(2)原数列可变形为，，，，…，故通项公式为an＝1－.
(3)数列给出前6项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此数列的通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.
1．观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n的关系”，从而确定数列的通项公式．
2．利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．,
2．写出数列的一个通项公式，使它的前几项是下列各数．
(1)，，，，，…
(2)，－1，，－，，－，…
(3)3,33,333,3 333，…
解：(1)数列的前5项可以分别改写成，，，，，根据这个规律，数列的第n项可以是，因此，数列的一个通项公式是an＝，n∈N＋.
(2)数列的前5项可以分别改写成，－，，－，，分子分别为12＋1,22＋1,32＋1,42＋1,52＋1，分母分别为2×1＋1,2×2＋1,2×3＋1,2×4＋1,2×5＋1，且奇数项为正，偶数项为负，根据这个规律，数列的第n项可以是(－1)n＋1.因此数列的一个通项公式是an＝(－1)n＋1，n∈N＋.
(3)原数列可改写成×9，×99，×999，×9 999，根据这个规律，数列的第n项可以是×(10n－1)，因此，数列的一个通项公式是an＝×(10n－1)，n∈N＋.
判定数列中项的问题
已知数列{an}的通项公式为an＝，试问和是不是此数列中的项？如果是，是第几项？
[解]　令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，又n∈N＋，所以n＝5.所以是此数列的第5项．
令＝，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝或n＝－，因为n∈N＋，所以不是此数列中的项．
判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
3．已知有穷数列：3,5,7,9,11，…，2m＋7(m∈N＋)，其中每一项都比它的后一项小2.
(1)写出这个数列的一个通项公式；
(2)指出4m＋9(m∈N＋)是不是这个数列中的项，并说明理由．
解：(1)观察可得an＝2n＋1，由末项为2m＋7可知，若2n＋1＝2m＋7，则n＝m＋3，说明此数列共有m＋3项．
∴这个数列的一个通项公式为an＝2n＋1(n＝1,2,3，…，m＋3)．
(2)由2n＋1＝4m＋9，得n＝2m＋4，又2m＋4＝(m＋3)＋(m＋1)，且m∈N＋，∴2m＋4>m＋3，∴4m＋9不是这个数列中的项．
[随堂体验落实]
1．数列1,3,6,10，x,21,28，…中，x的值是(　　)
A．12　　　　　　　　 B．15
C．17 D．18
解析：选B　根据题目所给数列的特点，3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，x－10＝5,21－x＝6.
故x＝15.
2．已知数列，，，，…，那么9是这个数列的第几项(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：选C　由所给出的前4项，可归纳出通项公式为an＝，令an＝9，可解得n＝14.
3．数列－1，，－，，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝(－1)n
B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n
D．an＝(－1)n
解析：选A　数列可以改为－，，－，….
分子1,4,9,16，…，n2，
分母1,3,5,7，…，2n－1，
符号(－1)n，故an＝(－1)n.
4．一个数列给出前三项：2,4,8，有下面三个通项公式：
(1)an＝n2－n＋2；(2)an＝2n；(3)an＝n2，则这个数列的通项公式可能为________(把你认为正确的序号都填上)．
解析：代入验证可知(1)，(2)都满足．
答案：(1)、(2)
5．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别为下列各数．
(1)3,5,9,17,33；
(2)4，－4,4，－4,4；
(3)1,0,1,0；
(4)，，，.
解：(1)每一项都可以看成2的n次幂加1的形式，
∴an＝2n＋1.
(2)数列中的每一项的绝对值均等于4，
只有各项的系数的符号正负相间，
∴an＝4(－1)n＋1.
(3)原数列可改写为＋，－，＋，…前、后项正负相间，
∴an＝＋(－1)n＋1.
(4)可将分子、分母分别求其通项，再合并，分子通项为2n－1，分母通项为2n＋1，
∴an＝.
[感悟高手解题]
写出数列0,2,0,2,0,2，…的一个通项公式．
[解]　法一：∵数列的奇数项与偶数项分别相同，可利用分段函数表示．
∴an＝
法二：该数列具有周期性，可考虑利用较常见的周期函数表示∴an＝2.
法三：该数列也可看成由以下两个数列叠加而成．
①1,1,1,1，…
②－1,1，－1,1，…
而数列①的通项为bn＝1，
数列②的通项为cn＝(－1)n，
∴原数列的通项公式为an＝1＋(－1)n.
[点评]　法一、法二、法三给出了同一数列不同形式的通项公式，这说明数列的通项公式不一定是唯一的．
一、选择题
1．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．9 D．32
解析：选B　因为an＝3n－1，
所以a2＝32－1＝3.
2．数列0，，，，，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝ 　　　　　 B．an＝ 
C．an＝  D．an＝ 
解析：选C　已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝ .
3．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　)
A. B．5
C．6 D.
解析：选B　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.
4．已知数列，，2，，…，则2是该数列的(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第10项 D．第11项
解析：选B　由数列，，，，…，
得通项公式为an＝，
令＝2，∴3n－1＝20，∴n＝7.
二、填空题
5．已知数列{an}，an＝bn＋m(b<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
解析：∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
6．数列0.8,0.98,0.998,0.999 8…的一个通项公式是________．
解析：0.8＝1－0.2＝1－，
0．98＝1－0.02＝1－，
0．998＝1－0.002＝1－，
0．999 8＝1－0.000 2＝1－，
猜想：an＝1－.
答案：an＝1－
7．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，则a5＝________.
解析：将a1＝2，a2＝代入通项公式得
∴
所以an＝＝.
所以a5＝＝.
答案：
8．如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．
解析：4个图形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式为an＝3n－1.
答案：an＝3n－1
三、解答题
9．根据下列各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)7,77,777,7 777，…；
(3)，，，，，….
解：(1)应解决两个问题．一是符号问题．可考虑用(－1)n或(－1)n＋1表示；二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面数的绝对值总比它前面数的绝对值大6，故通项公式an＝(－1)n(6n－5)．
(2)先联想1,11,111,1 111，…的通项，它又与数列9,99,999,9 999，…的通项有关，而
＝10n－1，于是an＝(10n－1)．
(3)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…每一项都是两个相邻奇数的乘积．
经过组合所求数列的通项公式an＝.
10．数列{an}的通项公式是an＝n2＋1－10n.
(1)依次写出该数列的前3项；
(2)判别25是不是该数列中的项；
(3)求该数列的最小项．
解：(1)a1＝1＋1－10＝－8，a2＝22＋1－10×2＝－15，同理可得a3＝－20；
(2)由n2＋1－10n＝25，解得：n＝12(n＝－2舍去)，因为12∈N＋，所以25是该数列的第12项；
(3)配方得an＝n2＋1－10n＝(n－5)2－24，所以，n＝5时，数列的最小值是－24，即数列的第5项为最小项，为－24.
第二课时　数列的递推公式
[读教材·填要点]
递增、递减数列
(1)若anan＋1，n∈N＋，则数列{an}叫作单调递减数列．
(2)递推公式
如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1.那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式，a1称为数列{an}的初始条件．
[小问题·大思维]
如何判定数列的单调性？
[提示]　判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定，可用作差比较或作商比较．
数列的最大项、最小项及单调性问题
已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)n，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
[解]　法一：∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n×，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1∴a1a11>a12>…，
∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a9＝a10＝10×9.
法二：根据题意，令
即解得9≤n≤10.又n∈N＋，
∴n＝9或n＝10.∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a9＝a10＝10×9.
研究数列的最大(小)项问题的常用途径为
(1)由于数列是特殊的函数，可画出数列的图像求得数列的最大项，需注意使an为最大项的n值必须是正整数；
(2)利用不等式组找到最大项an.
1．设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围．
解：因为数列{an}是单调递增数列，
所以an＋1－an>0(n∈N＋)恒成立．
又an＝n2＋kn(n∈N＋)，
所以(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)>0恒成立，
即2n＋1＋k>0，所以k>－(2n＋1)(n∈N＋)恒成立．
而n∈N＋时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时取得)，
所以k>－3即为所求的取值范围．
由数列的递推公式求数列的项
数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项．
[解]　由a－anan＋2＝(－1)n，得an＋2＝，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109.∴数列{an}的前5项为1,3,10,33,109.
由递推公式求数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
2．已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；
(2)a1＝1，an＋1＝.
解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，
∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1，a3＝a2＋(2×2－1)＝4，
a4＝a3＋(2×3－1)＝9，a5＝a4＋(2×4－1)＝16.
∴它的前5项为0,1,4,9,16.
(2)∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.
∴它的前5项依次为1，，，，.
由已知数列递推公式求通项公式
(1)已知a1＝1，an＋1－an＝2，求通项公式；
(2)已知a1＝1，an＋1＝2an，求通项公式．
[解]　(1)法一：(累加法)∵a1＝1，an＋1－an＝2，
∴a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2，将这些式子的两边分别相加得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，又a1＝1，∴通项公式为an＝2n－1.
法二：(迭代法)an＝an－1＋1×2＝an－2＋2×2＝…＝a1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)法一：(累乘法)由已知得＝2(n≥2)，∴＝2，＝2，＝2，…，＝2，将这些式子的两边分别相乘得···…·＝＝2n－1(n≥2)，又a1＝1＝20，∴通项公式为an＝2n－1.
法二：(迭代法)an＝2an－1＝22an－2＝23an－3＝…＝2n－1a1＝2n－1，即通项公式为an＝2n－1.
由数列的递推公式求通项公式的常用方法
(1)累加法
当an－an－1＝f(n)满足一定条件时，
常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加．
(2)累乘法
当＝g(n)满足一定条件时，
常用an＝··…··a1累乘．另外也可以通过迭代法求得通项公式，它们都是求递推数列通项公式的有效方法．
3．设{an}是首项为1的正项数列，且＝.求它的通项公式．
解：法一(累乘法)：
····…·
＝····…·，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
法二(迭代法)：
∵an＋1＝an，
∴an＝an－1＝·an－2
＝··an－3＝…
＝···…·a1，
∴an＝.
[随堂体验落实]
1．已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n>1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于(　　)
A．0　　　　　　　　　 B.
C．2 D．5
解析：选B　由a2＝ma3＋1，得3＝5m＋1，
∴m＝.
2．已知数列{an}满足a1>0,2an＋1＝an，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上都不正确
解析：选B　∵＝<1，a1>0，
∴{an}是一个递减数列．
3．数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝an－1an－2(n>2)，则a4等于(　　)
A．2 B．3
C．6 D．18
解析：选D　a3＝a2a1＝3×2＝6，
a4＝a3a2＝6×3＝18.
4．已知f(1)＝2，f(n＋1)＝(n∈N*)，则f(4)＝________.
解析：∵f(1)＝2，f(n＋1)＝，
∴f(2)＝＝.
∴f(3)＝＝＝.
f(4)＝＝＝.
答案：
5．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
解：∵f(x)＝x－，
∴f(an)＝an－，
∵f(an)＝－2n.
∴an－＝－2n，
即a＋2nan－1＝0.
∴an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n.
[感悟高手解题]
在数列{an}中，a1＝2，a2＝1，且an＋2＝3an＋1－an，求a6＋a4－3a5.
[解]　法一：∵a1＝2，a2＝1，
an＋2＝3an＋1－an，
∴a3＝3a2－a1＝3×1－2＝1，
a4＝3a3－a2＝3×1－1＝2，
a5＝3a4－a3＝3×2－1＝5，
a6＝3a5－a4＝3×5－2＝13，
∴a6＋a4－3a5＝13＋2－3×5＝0，
法二：∵an＋2＝3an＋1－an，
令n＝4，
则有a6＝3a5－a4，
∴a6＋a4－3a5＝0.
[点评]　递推公式是一种给出数列的方法，应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项去递推，故在运算过程中要格外细心，中间一个值的计算失误，往往引起后面值的错误．
一、选择题
1．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　)
A．1,2,3,4，…　　　　　 B．1，，2,2，…
C.，2，，2，… D．0，，2,2，…
解析：选B　B中从第二项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.
2．已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　)
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
解析：选C　a2＝a1＋a1＝－6，所以a1＝－3.
a10＝a5＋a5＝2a5＝2(a2＋a3)＝2[a2＋(a2＋a1)]
＝4a2＋2a1＝－24－6＝－30.
3．数列{an}中，已知a61＝2 018，且an＋1＝an＋n，则a1等于(　　)
A．176 B．177
C．188 D．179
解析：选C　∵an＋1－an＝n，
∴a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，a61－a60＝60，
∴a61－a1＝1＋2＋…＋60，
∴a1＝188.
4．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N＋，则a2 017＋a2 018等于(　　)
A．4 B．
C. D.
解析：选B　a2＝f＝－1＝；
a3＝f＝－1＝；
a4＝f＝＋＝；
a5＝f＝2×－1＝；
a6＝f＝2×－1＝；
即从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列．
∴a2 017＋a2 018＝a4＋a5＝.故选B.
二、填空题
5．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.
解析：a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列为循环数列，∴a1＝a4＝a7＝a10＝a13＝a16＝.
答案：
6．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列的数值最大的项为第________项．
解析：∵f(n)＝－2n2＋21n
＝－22＋(n∈N＋)，
∴n＝5或6时an最大．
∵a5＝55，a6＝54，∴最大项为第5项．
答案：5
7．已知数列{an}中，an＋1＝对任意正自然数n都成立，且a7＝，则a5＝________.
解析：由已知a7＝＝，所以a6＝，又因为a6＝＝，所以a5＝1.
答案：1
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于________．
解析：∵an＋1－an＝ln，
∴a2－a1＝ln 2，a3－a2＝ln，a4－a3＝ln，…，an－an－1＝ln，
以上n－1个式子相加可得：an－a1＝ln 2＋ln＋ln＋…＋ln＝ln n，∴an＝2＋ln n.
答案：2＋ln n
三、解答题
9．一个数列的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)问－60是否为这个数列中的项？
(2)当n分别为何值时，an＝0，an＞0，an＜0.
(3)当n为何值时，an有最大值，并求出最大值．
解：(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍)，
∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60.
(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.
∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0.
同理，当30＋n－n2＞0，即n2－n－30＜0.
解不等式，得－5＜n＜6.又n∈N*，
∴当n等于1,2,3,4,5时，an＞0.
令30＋n－n2＜0，解不等式，得n＞6或n＜－5.
又∵n∈N*，∴可得，当n＞6且n∈N*时，an＜0.
(3)an＝30＋n－n2＝－2＋，
又∵n∈N＋，故当n＝1时，an有最大值，其最大值为30.
10．在数列{an}中，已知a1＝1，且an＋1＝an＋，试求数列{an}的通项公式．
解：由an＋1＝an＋得(n＋1)an＋1＝(n＋2)an，
即nan＝(n＋1)an－1，(n－1)an－1＝nan－2，
(n－2)an－2＝(n－1)an－3，…，3a3＝4a2，
2a2＝3a1，
以上各式左右两边分别相乘可得：
2an＝(n＋1)a1.
∵a1＝1，∴an＝.