2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第9章 9.2 等差数列

9．2等差数列
第一课时　等差数列的概念及通项公式
[读教材·填要点]
1．等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这样的数列称为等差数列．这个常数叫作数列的公差，常用字母d表示．
2．等差中项
如果b＝，那么数b称为a和c的等差中项．
3．等差数列的递推公式与通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，填表：
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d
[小问题·大思维]
1．等差数列的公差d可以为负数、正数、零吗？
[提示]　可以，当an0，
当an＝an＋1时，d＝0，
当an>an＋1时，d<0.
2．b＝是a，b，c成等差数列的什么条件？
[提示]　充要条件
3．如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系？
[提示]　在数列{an}中，若已知首项a1，且满足an－an－1＝d(n∈N＋，n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)，则数列{an}为等差数列．
可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数列的递推公式．
等差数列定义的应用
(1)已知数列{an}为等差数列且a5＝11，a8＝5，求an.
(2)求等差数列10,8,6，…的第20项．
(3)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
[解]　(1)设数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式及已知条件可得解得
∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
(2)由于a1＝10，d＝－2，
∴an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，
∴a20＝－2×20＋12＝－28.
(3)由于a1＝2，d＝7，∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15.∴100是这个数列的第15项．
先根据两个独立的条件解出两个量a1和d，进而再写出an的表达式，有几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程思想的重要应用．
1．已知等差数列{an}中，a5＝10，a12＝31，求a10和d.
解：由等差数列的定义，可知
a12－a5＝7d＝31－10＝21，
∴d＝3.
∴a10＝a12－2d＝31－6＝25.
等差中项的应用
已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
[解]　在等差数列{an}中，
∵ a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.
∴解得或
当时，a1＝16，d＝－5.
an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.
当时，a1＝－4，d＝5.
an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.
等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系：an－1＋an＋1＝2an(n≥2)．因此在等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项；反之，如果一个数列从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，那么这个数列是等差数列．在具体解题过程中，如果a，b，c成等差数列，常转化为a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果要证明a，b，c成等差数列，只需证a＋c＝2b即可．
2．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.
解析：由an－1＋an＋1 ＝2an (n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．
∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.
答案：21
3．已知，，成等差数列，求证：，，也构成等差数列．
证明：∵，，为等差数列，
∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)．
∵＋＝
＝＝
＝＝.
∴，，为等差数列．
等差数列的判定
已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．
[解]　(1)欲使{an}是等差数列，则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0.
即p＝0时，数列{an}是等差数列．
(2)证明：因为an＋1－an＝2pn＋p＋q，
所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.
而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数，
所以{an＋1－an}是等差数列．
判断一个数列是否为等差数列的常用方法
方法
符号语言
定义法
an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)
等差中项法
2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)
通项公式法
an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)
,
4．已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝，数列是否为等差数列？说明理由．
解：数列是等差数列，
理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝，
即是首项为＝，
公差为d＝的等差数列.
等差数列通项公式及其应用
已知等差数列{an}中，a3＋a5＝－14,2a2＋a6＝－15，求a8.
[解]　a3＋a5＝－14?a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝－14?a1＋3d＝－7.①
又2a2＋a6＝－15?2(a1＋d)＋a1＋5d＝－15?3a1＋7d＝－15.②
解①②联立的方程组得
∴an＝2＋(n－1)×(－3)＝－3n＋5，
∴a8＝－3×8＋5＝－19.
等差数列的通项公式是本节的重点，在应用时要注意方程思想的应用．有两种情况：(1)已知an，a1，n，d中任意三个量可求第四个量，即“知三求一”．(2)已知等差数列中的任意两项，就可以确定等差数列中的任一项．,
5．数列{an}各项的倒数组成一个等差数列，若a3＝－1，a5＝＋1，求a11.
解：设bn＝(n∈N＋)，则{bn}为等差数列，公差为d.
由已知得b3＝＝＝＋1，
b5＝＝＝－1.
∴解得
∴b11＝b1＋10d＝－7，
∴a11＝＝＝.
[随堂体验落实]
1．△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于(　　)
A．30°　　　　　　　 B．60°
C．90° D．120°
解析：选B　∵A＋B＋C＝180°且B＝，
∴3B＝180°，B＝60°.
2．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于(　　)
A. B．
C. D.
解析：选C　∴a＝，b＝x.
∴＝.
3．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
解析：选B　由题意知a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，①
a1＋2d＝0，②
由①②可得d＝－，a1＝1.
4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
∴a6＝2×6＋1＝13.
答案：13
5．设{an}是等差数列，若am＝n，an＝m(m≠n)，求am＋n.
解：法一：由
得
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d
＝(m＋n－1)－(m＋n－1)
＝0.
法二：∵am＝an＋(m－n)d，
∴n＝m＋(m－n)d，
∵m≠n，∴d＝－1，
∴am＋n＝am＋[(m＋n)－m]d＝n＋n×(－1)＝0.
[感悟高手解题]
已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
[解]　(1)当n≥3时，an＝an－1＋2，
即an－an－1＝2，
而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
∴{an}不是等差数列．
(2)当n≥2时，令a2＝b1＝1，
a3＝b2＝3，
a4＝b3＝5，
…
an＝bn－1＝1＋2[(n－1)－1]＝2n－3.
又a1＝1，
∴an＝
[点评]　在(1)问中由an－an－1＝2(常数)，直接得出{an}为等差数列，这是易出错的地方，事实上，数列{an}从第2项起，以后各项组成等差数列，而{an}不是等差数列，an＝f(n)应该表示为“分段函数”型．因此我们在判断等差数列时，要严格按其定义判断．
一、选择题
1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝2，则a4等于(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．6
C．7 D．9
解析：选C　a4＝a3＋d＝a2＋2d＝a1＋3d＝1＋3×2＝7.
2．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2 019的值是(　　)
A．1 008 B．1 009
C．1 010 D．1 011
解析：选D　由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝，
所以an＝2＋(n－1)＝，
所以a2 019＝＝1 011.
3．设{an}是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：选B　设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，
解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，∴d>0，即d＝2，
∴a1＝2.
4．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　)
A．an＝2n－2(n∈N＋) B．an＝2n＋4(n∈N＋)
C．an＝－2n＋12(n∈N＋) D．an＝－2n＋10(n∈N＋)
解析：选D　由??
所以由an＝a1＋(n－1)d＝8＋(n－1)×(－2)，
得an＝－2n＋10.
二、填空题
5．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于________．
解析：由题意可得解得d＝－3.
答案：－3
6．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．
解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.
答案：5
7．数列{an}满足递推公式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，又a1＝5，则使得为等差数列的实数λ＝________.
解析：a1＝5，a2＝23，a3＝95，
令bn＝，
则b1＝，b2＝，b3＝，
∵b1＋b3＝2b2，∴λ＝－.
答案：－
8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．
解析：∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.
∴这个等差数列的前三项依次为，，.
∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1.
答案：an＝n＋1
三、解答题
9．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，则{bn}是否为等差数列？并说明理由．
解：∵{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，
∴an＋1－an＝d，
∴bn＋1－bn＝3an＋1＋4－3an－4
＝3(an＋1－an)＝3d.
∵d为常数，∴3d也为常数，
∴{bn}是等差数列．
10．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：∵an＝4－(n≥2)，
∴an＋1＝4－(n∈N＋)．
∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.
∴bn＋1－bn＝，n∈N＋.
∴{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知b1＝，d＝.
∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.
∴＝，∴an＝2＋.
第二课时　等差数列的性质
[读教材·填要点]
等差数列的常用性质
(1)对称性：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…；
(2)m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq；
(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an也成等差数列；
(4)an＝am＋(n－m)d；
(5)若数列{an}成等差数列，则an＝pn＋q(p，q∈R)；
(6)若数列{an}成等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)仍为等差数列；
(7){an}和{bn}均为等差数列，则{an±bn}也是等差数列；
(8){an}的公差为d，若d＞0?{an}为递增数列；d＜0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
[小问题·大思维]
1．如果等差数列{an}中，m＋n＝2w(m，n，w∈N＋)，那么am＋an＝2aw是否成立？
[提示]　如果等差数列的项的序号成等差数列，那么对应的项也成等差数列，事实上，若m＋n＝2w(m，n，w∈N＋)，则am＋an＝[a1＋(m－1)d]＋[a1＋(n－1)d]
＝2[a1＋(m＋n－2)d]
＝2[a1＋(w－1)d]＝2aw.
2．已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，能利用等差数列的性质求a3＋a9的值吗？
[提示]　∵a3＋a9＝a2＋a10＝2a6.
∴a6＝，∴a3＋a9＝2×＝.
等差数列性质的应用
(1)已知在等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的两根，求a7＋a8＋a9＋a10＋a11的值．
(2)已知{an}为等差数列，a10＝5，a30＝20，求a50.
[解]　(1)由已知条件得a3＋a15＝6＝2a9，
解得a9＝3.
因此a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝5a9＝15.
(2)法一：∵{an}为等差数列，
∴a10，a20，a30，a40，a50也成等差数列，
设其公差为d，
∴a30＝a10＋2d，∴d＝，a50＝a30＋2d＝35.
法二：∵a30为a10和a50的等差中项，
∴2a30＝a10＋a50，∴a50＝35.
法三：设{an}的公差为d，则
解得
∴a50＝a1＋49d＝35.
等差数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列，则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；
(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；
偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；
(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．
1．(1)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，求a37＋b37；
(2)在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
解：(1)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，
则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.
∴c37＝100，即a37＋b37＝100.
(2)∵a2＋a3＋a4＋a5＝34，
∴a2＋a5＝a3＋a4＝17.
又a2·a5＝52，∴a2＝13，a5＝4或a2＝4，a5＝13.
当a2＝13，a5＝4时，d＝－3；
当a2＝4，a5＝13时，d＝3.
等差数列的运算
(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解]　(1)法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，
故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.
法二：设首项为a，公差为d，则这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6，且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24，整理得4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，所以，这三个数为－2,2,6或6,2，－2.
(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
法二：设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
得＝－8，即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，
故所求的四个数为－2,0,2,4.
利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
,
2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这5个数成等差数列，则插入的三个数为________．
解析：法一：设a1＝－1，a5＝7.
∴7＝－1＋(5－1)d?d＝2.
∴所求的数列为－1,1,3,5,7.
法二：∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
答案：1,3,5
3．已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
由已知有

∴∴a＝1，d＝±.
所以当d＝时，这5个数分别是
－，，1，，.
当d＝－时，这5个数分别是
，，1，，－.
等差数列的实际应用
某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[解]　由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，每年获利构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司会出现亏损．
设从第1年起，第n年的利润为an，则
a1＝200，an－an－1＝－20，n≥2，n∈N＋.
所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
所以由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
求解与等差数列有关的应用性问题，最关键的是从实际问题中提炼出适合实际问题的等差数列模型，将实际问题转化为一个等差数列的问题进行求解．
4．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．试问在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大的利润？(设最低档次为第一档次)
解：设在相同的时间内，从低到高每档产品生产件数分别为a1，a2，…，a10.
对应每档产品的利润分别为b1，b2，…，b10.
则{an}，{bn}均为等差数列且a1＝60，d＝－3，b1＝8，d′＝2.
所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，
bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6.
所以利润f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6)
＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864.
∵n＝1,2，…，10，
∴当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864.
故在相同时间内，生产第9档次的产品可以获得最大利润.
[随堂体验落实]
1．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．±
C．－ D．－
解析：选D　由等差数列的性质得
a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan2a7＝tan
＝tan＝－.
2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)
A．1升 B．升
C.升 D.升
解析：选B　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有
即
解得则a5＝a1＋4d＝，
故第5节的容积为升．
3．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选C　由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)
＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
4．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5＋a8＝________.
解析：由已知得a3＋a10＝3.
又数列{an}为等差数列，
∴a5＋a8＝a3＋a10＝3.
答案：3
5．已知等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8.
解：法一：设等差数列{an}的公差为d，则a1＋d＋a1＋2d＋a1＋9d＋a1＋10d
＝4a1＋22d＝36，
∴2a1＋11d＝18，
∴a5＋a8＝2a1＋11d＝18.
法二：∵a2＋a11＝a3＋a10＝a5＋a8，∴2(a5＋a8)＝36，
∴a5＋a8＝18.
[感悟高手解题]
已知等差数列{an}的首项a1＝，a10是第一个比1大的项，求此等差数列公差d的取值范围．
[解]　由题意得即
解得，∴＜d≤.
故公差d的取值范围为.
[点评]　将题设误解为a10＞1，而忽视了“a10是第一个比1大的项”，即“a9≤1”，从而造成条件遗漏．这是容易出错的地方．
一、选择题
1．在a和b间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　插入n个数后共有n＋2个数，则b＝a＋(n＋1)d，
∴d＝.
2．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为(　　)
A．12 B．8
C．6 D．4
解析：选B　由等差数列的性质得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
3．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(　　)
A．－182 B．－78
C．－148 D．－82
解析：选D　a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
4．等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(　　)
A．20 B．22
C．24 D．－8
解析：选C　法一：由a1＋3a8＋a15＝120，可得5a1＋35d＝120，即a1＋7d＝24，又2a9－a10＝a1＋7d，所以2a9－a10＝24.
法二：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
所以a8＝24，而2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
二、填空题
5．在数列{an}中，a1＝2，a2＝1，＝＋(n≥2，n∈N＋)，则其通项公式an＝________.
解析：∵＝＋，
∴是以＝为首项，为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)×＝n，∴an＝.
答案：
6．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝39，则a1＋a2＋…＋a8＋a9的值是________．
解析：∵数列{an}为等差数列，且a2＋a5＋a8＝39，
∴3a5＝39，即a5＝13，
∴a1＋a2＋…＋a8＋a9＝9a5＝9×13＝117.
答案：117
7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
解析：∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.
∵a2＋a4＋a6＝3a4＝99.∴a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
答案：1
8．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝________.
解析：由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.
则＋＝2，∴d＝，
∴这4个根依次为，，，，
∴n＝×＝，m＝×＝或n＝，m＝，
∴|m－n|＝.
答案：
三、解答题
9．有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少．
解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．
an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，
解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.
当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．
作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，
当n<10时，600n<(800－20n)n，
当n＝10时，600n＝(800－20n)n，
当10当n>18时，440n<600n.
即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．
10．数列{an}为等差数列，bn＝an，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式．
解：∵b1＋b2＋b3＝a1＋a2＋a3＝，b1b2b3＝a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3.
∵a1，a2，a3成等差数列，
∴a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d，
由1－d＋＋1＋d＝，
得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，
an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，
an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
第三课时　等差数列的前n项和
[读教材·填要点]
1．等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
2.Sn与an的关系：
当n＝1时，a1＝S1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.适用于任何数列．
3．等差数列的前n项和性质
(1)等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(2)在等差数列{an}中，
①若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)；S偶－S奇＝nd；＝.
②若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.
[小问题·大思维]
1．在公式Sn＝na1＋d中Sn一定是关于n的二次函数吗？
[提示]　不一定．由Sn＝na1＋d＝n2＋n，其中a1，d为常数，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A≠0)；当公差d＝0时，Sn＝na1.
2．如何确定等差数列前n项和的最值？
[提示]　(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值；
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
特别地，若a1>0，d>0，则a1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则a1是{Sn}的最大值．
有关前n项和的计算问题
等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
[解]　法一：∵{an}是等差数列，
∴Sn＝na1＋d，
将其代入S12＝84，S20＝460，得
解得a1＝－15，d＝4.
∴S28＝28a1＋d＝28×(－15)＋×4＝1 092.
法二：设此等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn，
∵S12＝84，S20＝460，
∴解得a＝2，b＝－17，
∴Sn＝2n2－17n，
∴S28＝2×282－17×28＝1 092.
法三：由{an}为等差数列，可知也是等差数列，
可设＝an＋b，
将＝7，＝23代入上式，得：
解得
∴＝2n－17，即Sn＝2n2－17n.
∴S28＝2×282－17×28＝1 092.
与等差数列前n项和公式有关的运算
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，对此类问题，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
1．已知等差数列{an}中：
(1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am；
(2)S5＝24，求a2＋a4.
解：(1)∵Sm＝m·＋·＝－15，
整理，得m2－7m－60＝0，
解得m＝12或m＝－5(舍去)，
∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4.
(2)法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，
则S5＝5a1＋d＝24，
得5a1＋10d＝24，a1＋2d＝.
∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×＝.
法二：由S5＝＝24，得a1＋a5＝.
∴a2＋a4＝a1＋a5＝.
已知Sn求an
已知数列{an}的首项a1＝3，通项an与前n项和Sn之间满足2an＝SnSn－1(n≥2)．
(1)求证是等差数列，并求公差；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：由an＝Sn－Sn－1(n≥2)可将已知式化为2(Sn－Sn－1)＝SnSn－1(n≥2)，
可得－＝－，
∴是以－为公差的等差数列．
(2)∵＝＝，
∴＝＋(n－1)·，
∴＝－＝，∴Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－
＝6·＝.
∴an＝
数列前n项和Sn与通项an的关系
已知数列{an}的通项就可以求数列{an}的前n项和Sn；反过来，若已知前n项和Sn也可以求数列{an}的通项公式an.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，当n＝1时，a1＝S1，所以an与Sn有如下关系：
an＝
2．已知数列{an}前n项和为Sn，且当n∈N＋时满足Sn＝－3n2＋6n，求数列{an}的通项公式an.
解：当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(－3n2＋6n)－[－3(n－1)2＋6(n－1)]
＝9－6n，
a1＝3符合上式．
∴an＝9－6n(n∈N＋)．
等差数列前n项和的最值问题
在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
[解]　法一：由S17＝S9，得
25×17＋(17－1)d＝25×9＋(9－1)d，
解得d＝－2，
∴Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，
当n＝13时，Sn有最大值169.
法二：先求出d＝－2(同法一)，
∵a1＝25>0，
由得(n∈N＋)
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
求数列前n项和的最值的方法有
(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；
(2)通项公式法：求使an≥0成立时最大的n即可．这是因为：当an>0时，Sn>Sn－1(n≥2)，即Sn单调递增；当an<0时，Sn一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．
3．在等差数列{an}中，
(1)a1＝15，S4＝S12，求Sn的最大值；
(2)a3＝12，S12>0，S13<0.
①求公差d的取值范围；
②指出S1，S2，…，Sn中，哪一个值最大，并说明理由．
解：(1)设Sn＝An2＋Bn.
因为S4＝S12，所以对称轴n＝＝8，因此S8最大．
由S4＝S12知a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0，从而4(a8＋a9)＝0，即2a1＋15d＝0，所以d＝－2，
从而有S8＝8a1＋d＝8×15＋×(－2)＝64.
(2)①由题意得，即.
因为a3＝12，所以a1＝12－2d.
从而有，故－②法一：由题意知
即从而
故S1，S2，…，Sn中，S6最大．
法二：an＝a1＋(n－1)d＝12＋nd－3d>0，
即nd>3d－12.又d<0，所以n<3－.
又由①知－所以<3－<7.
又n∈N＋，所以n最大可取6，
即a6为{an}中最后一个大于0的项，从而S6最大．
等差数列的前n项和性质
(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　)
A．130　　　 B．170　　　　C．210　　　 D．260
(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．
(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.
[解析]　(1)利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，解得S3n＝210.
(2)因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.
(3)由等差数列的性质，知
＝＝＝＝＝.
[答案]　(1)C　(2)10　(3)
等差数列的前n项和常用的性质
(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列．
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)?数列为等差数列．
(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，
S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，
S奇－S偶＝an，＝.
4．在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
解：法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
解得
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×＝－110.
法二：∵S10＝100，S100＝10，
∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90，
∴a11＋a100＝－2.
又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，
∴S110＝＝－110.
法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，
∴设公差为d，该数列前10项和为
10×100＋d＝10，解得d＝－22.
∴前11项和S110＝11×100＋d＝11×100＋×(－22)＝－110.
[随堂体验落实]
1．等差数列的和1＋3＋5＋…＋(4n＋1)等于(　　)
A．n(2n＋1)　　　　　　　 B．(2n－1)2
C．(n＋2)(2n＋1) D．(2n＋1)2
解析：选D　Sn＝×(2n＋1)＝(2n＋1)2.
2．已知等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于(　　)
A.　　　 B．2　　　　C.　　　 D．4
解析：选A　由题意得：
10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
∴10a1＝5d，∴＝.
3．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：选B　等差数列前n项和Sn的形式为：Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，a3＝3，则S4＝________.
解析：d＝a3－a2＝2，∴a1＝－1，
S4＝4a1＋d＝4×(－1)＋4×3＝8.
答案：8
5．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴
即解得
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
[感悟高手解题]
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
[解]　由a1＝－60，a17＝－12知，
等差数列{an}的公差d＝＝＝3.
所以an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63，
由an≤0知3n－63≤0，即n≤21，
即{an}中前20项是负数，从第21项起为非负数，
设Sn和Sn′分别表示{an}和{|an|}的前n项和．
当n≤20时，
Sn′＝－Sn＝－＝－n2＋n.
当n>20时，
Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋－2＝n2－n＋1 260，
综上，Sn′＝
[点评]　(1)本题考查数列求和知识．要求{|an|}的前n项和，须弄清楚在数列{an}中哪些项取正值，哪些项取负值，然后去掉绝对值求解．
(2)含有绝对值的问题，首先要考虑去绝对值，所以需要由不等式组或来找出满足条件的界值n(n∈N＋)．
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于(　　)
A．－2　　　 B．－　　　　C．1　　　 D．3
解析：选A　由得d＝－2.
2．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为(　　)
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15
解析：选D　由a＋a＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．45 C．36 D．27
解析：选B　数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
4．等差数列{an}与{bn}，它们的前n项和分别为Sn与S′n，如果＝，则的值为(　　)
A. B．2
C. D.
解析：选D　＝＝＝
＝＝＝.
二、填空题
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3则＝________.
解析：∵a5＝5a3，∴＝5，＝＝×5＝9.
答案：9
6．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则满足Sn<0的n的最大值为________．
解析：因为a10<0，a11>0，且a11>|a10|，
所以a11>－a10，a1＋a20＝a10＋a11>0，
所以S20＝>0.
又因为a10＋a10<0，
所以S19＝＝19a10<0，
故满足Sn<0的n的最大值为19.
答案：19
7．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
解析：S奇＝＝165，
S偶＝＝150.
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，
∴n＝10.
答案：10
8．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是________．
解析：法一：由S9＝S12，得d＝－a1，
由得
解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，
∴该数列前10项或前11项的和最小．
法二：由S9＝S12，得d＝－a1，
由Sn＝na1＋d＝n2＋n，
得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1(a1<0)，
由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．
但n∈N＋，故n＝10或11时，Sn取得最小值．
答案：10或11
三、解答题
9．(1)数列{an}是等差数列，a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
解：(1)由＝－1 022，得＝－1 022，
∴n＝4，∴－512＝1＋(4－1)×d，
∴d＝－171.
(2)设等差数列{an}的公差为d，
则解得
∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
∴a10＝3×10－1＝29.
10．在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－18，其前n项的和为Sn.
(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；
(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|的值．
解：(1)a16＋a17＋a18＝a9＝－18，
∴a17＝－6，又a9＝－18，
∴d＝＝.
首项a1＝a9－8d＝－30.
∴an＝n－.
设前n项和Sn最小，则
即∴n＝20或21.
这表明：当n＝20或21时，Sn取最小值．
最小值为S20＝S21＝－315.
(2)当n≤21时，Tn＝(41n－n2)，
当n>21时，Tn＝(n2－41n)＋630.