2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第9章 9.3 等比数列

9．3等比数列
第一课时　等比数列的概念
[读教材·填要点]
1．等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这样的数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示．(q≠0)．
也就是说，当n≥2时，如果＝q，那么数列{an}称为等比数列，q称为数列{an}的公比．
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
由等比中项的定义可知：＝?G2＝ab?G＝±.
[小问题·大思维]
1．下列给出的两个数列是否为等比数列．
(1)1,1,1,1，…；
(2)0,1,2,4,8.
[提示]　(1)为等比数列，为常数列，(2)不是等比数列，在等比数列中an≠0.
2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
[提示]　不一定，例如0,0,2，满足G2＝a·b但不是等比数列．
等比数列定义的应用
观察下面几个数列，其中是等比数列的有哪些？
(1)数列1,1,2,4,8,16,32,61；
(2)数列{an}中，已知＝2，＝2；
(3)常数列a，a，…，a，…；
(4)在数列{an}中，＝1，其中n∈N＋.
[解]　(1)不符合等比数列的定义，故不是等比数列．
(2)不一定是等比数列，当数列{an}只有3项时，数列{an}是等比数列；当数列{an}的项数超过3项时，不一定符合等比数列的定义．
(3)不一定是等比数列，当常数列各项都为0时，它不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列．
(4)是等比数列．等比数列的定义用数学式子表示出来就是对任意n∈N＋，有＝q，那么数列{an}就是等比数列．
解决此类问题要准确理解等比数列的定义，注意“每一项与前一项的比”的含义：一是强调顺序，二是强调相邻；此外等比数列中不含“0”项，公比q也不能为0，(n∈N＋)均为同一个常数，这样的数列才是等比数列．
1．判断下列数列是否为等比数列
(1)2,2,2,2，
(2)0,3,32,33，…
(3)1，，，，，
解：(1)所给数列是以首项为2，公比为1的等比数列；
(2)因为0不能作除数，所以所给数列不是等比数列；
(3)所给数列是以首项为1，公比为的等比数列．
等比数列的判定
已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
[解]　∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝.∴{an}是等比数列．
证明一个数列是等比数列，常用方法是
(1)定义法：要证明一个数列{an}是等比数列，只要证明对于任意自然数n，都等于同一个常数即可．,(2)中项法：对于一个数列，除了首项和末项(有穷数列)外，任何一项都是它的前后两项的等比中项，则此数列即为等比数列．
2．已知等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，且bn＝an＋1－an，判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由．
解：∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，
∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，
若q＝1，则an＝1，bn＝an＋1－an＝0，
∴{bn}是各项均为0的常数列，不是等比数列．
若q≠1，
由于＝＝＝＝q，
∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．
等比中项的应用
三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9就成等比数列，求这三个数．
[解]　设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设得

解此方程组，得或
又三个数为正数，∴d＝2
∴所求三数为3,5,7.
1．此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解．另外，对本题若设所求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程冗繁，因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少．
2．等比中项G＝±在解决问题时经常用G2＝ab.但任意两个数间未必存在等比中项．,
3．已知a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．
解：∵b2＝×＝6，
∴b＝±.
当b＝时，ab＝2，解得a＝；
bc＝2＝10，解得c＝7.
同理，当b＝－时，a＝－，c＝－7.
综上所述，a，b，c的值分别为，，7或－，－，－7.
[随堂体验落实]
1．下面有四个结论：
①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；
②常数列b，…，b一定为等比数列；
③等比数列{an}中，若公比q＝1，则此数列各项相等；
④等比数列中，各项与公比都不能为零．
其中正确的结论的个数是(　　)
A．0　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选C　由等比数列的定义可知①②不正确，③④正确．
2．设等比数列{an}的前三项分别为，，，则该数列的第四项为(　　)
A．1 B．
C. D.
解析：选A　q＝＝2－，∴a4＝·2－＝1.
3．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于(　　)
A．－4 B．－6
C．－8 D．－10
解析：选B　由已知得
∴
解得a1＝－8，
∴a2＝－8＋2＝－6.
4．在等比数列{an}中，已知a2＝3，a5＝24，则a8＝________.
解析：∵＝q3＝＝8，∴q＝2，
a8＝a5·q3
＝24×8＝192.
答案：192
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
解：(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
[感悟高手解题]
若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋a，证明数列{an}是否为等比数列．
[证明]　当n＝1时，a1＝S1＝2＋a；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋a)－(2n－1＋a)＝2n－2n－1＝2n－1，
所以＝＝…＝2.而＝，若＝2，则a＝－1.
所以当a＝－1时，数列{an}是等比数列；
当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a4＝8a1，则公比q为(　　)
A．2　　　　　　　　 B．3
C．4 D．8
解析：选A　∵＝＝＝＝8，
∴q3＝8，∴q＝2.
2．已知互不相等的正实数a，b，c(a>1，b>1，c>1)成等比数列，则log2a，log2b，log2c为(　　)
A．等差数列
B．等比数列
C．既为等差数列，又为等比数列
D．不能确定关系
解析：选A　由题意，得b2＝ac，
而log2a＋log2c＝log2ac
＝log2b2＝2log2b.
∴log2a，log2b，log2c成等差数列．
3．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为(　　)
A. B．
C. D．1
解析：选A　∵公比为2，∴a2＝2a1，a3＝4a1，a4＝8a1，
∴＝＝＝.
4．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则＋＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C　由已知得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，
∴＋＝＋
＝＝
＝＝2.
二、填空题
5.＋1与－1两数的等比中项是________．
解析：G2＝(＋1)(－1)＝1，
∴G＝±1.
答案：±1
6．公差不为零的等差数列{an}的第二、三、六项构成等比数列，则公比为________．
解析：a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
∴d(d＋2a1)＝0，
∵d≠0，∴d＝－2a1，
∴q＝＝＝＝3.
答案：3
7．等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.
解析：∵a1，a3，a9成等比数列，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，即d(d－a1)＝0，
∵d≠0，∴d＝a1，
∴＝＝＝＝.
答案：
8．若k,2k＋2,3k＋3是等比数列的前3项，则第4项为________．
解析：∵k,2k＋2,3k＋3成等比数列，
∴(2k＋2)2＝k(3k＋3)，即k2＋5k＋4＝0，
∴k＝－1或k＝－4，
当k＝－1时，k,2k＋2,3k＋3不成等比数列；
当k＝－4时，前三项为－4，－6，－9，
∴q＝，∴第4项为－9×＝－.
答案：－
三、解答题
9．已知数列{lg an}是等差数列，求证：{an}是等比数列．
证明：设数列{lg an}的公差为d，
根据等差数列定义，得lg an＋1－lg an＝d，
所以lg＝d，所以＝10d(常数)，
所以{an}是一个以10d为公比的等比数列．
10．设x，y，z∈R,3x,4y,5z成等比数列，且，，成等差数列，求＋的值．
解：由题意得：
由②得y＝.代入①消去y，得
162＝15xz，∴＝，即＋＝.
第二课时　等比数列的通项公式及性质
[读教材·填要点]
1．等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，填表：
递推公式
通项公式
＝q(n≥2)
an＝a1qn－1
2．等比数列的项与序号的关系以及性质
两项关系
多项关系
通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N＋)
项的运算性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq
[小问题·大思维]
1．已知数列{an}，an＝5·2n－1，则数列的公比q等于多少？
[提示]　q＝＝＝2.
2．如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)，那么am·an＝a是否成立？
[提示]　成立，由am＝a1qm－1，
an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，
∴am·an＝aqm＋n－2，a＝aq2k－2，
∵m＋n＝2k，
∴am·an＝a.
等比数列通项公式及应用
(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an；
(2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n；
(3)若等比数列{an}中an＋4＝a4，求公比q.
[解]　(1)由已知得得
∴an＝128×n－1＝n－8.
(2)由an＝a1·qn－1，得＝×n－1，
即n－1＝3，得n＝4.
(3)∵an＋4＝a4q(n＋4)－4＝a4qn，又an＋4＝a4，∴qn＝1，
∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1.
1．在等比数列通项公式an＝a1qn－1中，含有首项a1，第n项an，公比q，项数n四个量，如果知道其中的三个，便可求出另外一个．
2．利用通项公式的变通形式an＝amqn－m计算可简化解题步骤，提高解题速度．
3．在通项公式计算中，经常使用函数与方程的思想，整体思考．
1．已知数列{an}为等比数列，
(1)若a3＝2，a2＋a4＝，求数列{an}的通项公式；
(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.解得q＝或q＝3.
当q＝时，a1＝18，∴an＝18×n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；
当q＝3时，an＝2×3n－3.
(2)法一：因为
由得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
等比数列性质的应用
(1)在各项均为正的等比数列{an}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；
(2)在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.
[解]　(1)∵{an}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，
∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a，a3·a5＝a，
∴a6·a10＋a3·a5＝a＋a＝41，a4·a8＝4，
∴(a4＋a8)2＝41＋2×4＝49，且an>0，
∴a4＋a8＝7.
(2)∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
∴∴a5，a9为正数．
又∵a＝a5·a9＝1，且a7＝a5·q2>0，
∴a7＝1.
在等比数列中，若m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则有am·an＝ap·aq，特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a.这一性质是等比数列最常用的性质，在应用时，要和等差数列的这一类似性质区分开．第(2)题是一个很容易出错的题目，出错主要是由于不知道如何判断a7的符号．应当这样考虑：由于a7＝a5·q2，所以a7与a5同号，又由根与系数的关系定理可知a5，a9都为正数，因此，a7>0.
2．已知等比数列{an}中，a2·a6·a10＝1，求a3·a9的值．
解：法一：根据等比数列的性质a2·a10＝a3·a9＝a，由a2·a6·a10＝1得a＝1，故a6＝1，∴a3·a9＝a＝1.
法二：根据等比数列的通项公式得：
a2·a6·a10＝(a1q)(a1q5)(a1q9)＝a·q15＝(a1q5)3＝1，
∴a1q5＝1，
∴a3·a9＝(a1q2)(a1q8)＝(a1q5)2＝1.
等比数列的实际应用
从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?
[解]　设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－，操作n次后溶液的浓度为an，
则操作n＋1次后溶液的浓度为an＋1＝an，从而建立了递推关系．
∴{an}是以a1＝1－为首项，公比为q＝1－的等比数列．
∴an＝a1qn－1＝n，
即第n次操作后酒精的浓度是n.
当a＝2时，由an＝n＜，解得n≥4.
故至少应操作4次后才能使酒精浓度小于10%.
本题是一道有关浓度的应用问题，首先弄清一次操作的含义，其次是列出第n次操作后与第n＋1次操作后溶液浓度间的递推关系，即an＋1＝an，然后利用数列的有关知识解决问题．
3．某工厂2018年1月的生产总值为a万元，计划从2018年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2019年8月底该厂的生产总值为多少万元？
解：设从2018年1月开始，
第n个月该厂的生产总值是an万元，
则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，
公比q＝1＋m%的等比数列．
∴an＝a(1＋m%)n－1.
∴2019年8月底该厂的生产总值为
a20＝a(1＋m%)20－1
＝a(1＋m%)19(万元)．
[随堂体验落实]
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．10
C．11 D．12
解析：选C　在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.
∵am＝a1qm－1＝qm－1，
∴m－1＝10，∴m＝11.
2．等比数列{an}的各项为正，公比q满足q2＝4，则的值为(　　)
A. B．2
C．± D.
解析：选D　∵an>0，∴q＝2，
∴＝＝＝.
3．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　)
A．5 B．7
C．6 D．4
解析：选A　∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝.
∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝.
∴a＝a2a8＝＝50，
又∵数列{an}各项为正数，
∴a5＝50.
∴a4a5a6＝a＝50＝5.
4．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，
则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，
a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，
两式相除，得＝，解得q＝－2，a1＝1，
所以a4＝a1q3＝－8.
答案：－8
5．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n的值．
解：设等比数列{an}的公比为q.
因为a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，
所以q＝＝＝.
因为a4＋a7＝18，所以a4(1＋q3)＝18.
所以a4＝16.所以an＝a4qn－4＝16×n－4.
令16×n－4＝，所以n－4＝＝5.
所以n－4＝5，n＝9.
[感悟高手解题]
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解]　法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)．
由条件得解得或
所以，当q＝2，a＝8时，所求四个数为0,4,8,16；
当q＝，a＝3时，所求四个数为15,9,3,1.
法三：设四个数依次为x，y,12－y,16－x.
由条件得
解得或
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
[点评]　在解决与等比数列有关数的设法时常有如下规律：
(1)三个数成等比数列时，常设三个数a，aq，aq2或，a，aq；
(2)四个数成等比数列时，常设四个数为a，aq，aq2，aq3或，，a，aq，
一、选择题
1．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为(　　)
A．16　　　　　　　 B．27
C．36 D．81
解析：选B　由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　)
A．64 B．81
C．128 D．243
解析：选A　∵{an}为等比数列，
∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.
3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于(　　)
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
解析：选C　设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，
∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
4．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：
①{a}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}．其中是等比数列的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选D　对于①，因为＝3＝q3(常数)，
所以{a}是等比数列；
对于②，因为＝＝q(常数)，
所以{pan}是等比数列；
对于③，因为＝＝q2(常数)，
所以{an·an＋1}是等比数列；
对于④，因为＝＝＝q(常数)，所以{an＋an＋1}是等比数列．
二、填空题
5．已知等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q；
则两式相除得或
∴a10＝3×29＝1 536或a10＝48×9＝.
答案：1 536或
6．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
解析：设这8个数组成的等比数列为{an}，
则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
答案：8
7．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，
则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048.
答案：2 048
8．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是________．
解析：∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，
则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2<0.
∴b2＝－2，∴＝＝.
答案：
三、解答题
9．等比数列{an}同时满足下列三个条件：
①a1＋a6＝11；②a3·a4＝；③三个数a2，a，a4＋依次成等差数列，试求数列{an}的通项公式．
解：由等比数列的性质知a1a6＝a3a4＝.
∴解得或
当时q＝2.
∴an＝·2n－1.
∴a2＋a4＋＝，2a＝.
∴a2，a，a4＋成等差数列，
∴an＝·2n－1.
当时q＝，an＝·26－n.
∴a2＋a4＋≠2a，不符合题意，
∴通项公式an＝·2n－1.
10．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
解：(1)由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．
又a2＝2S1＋1＝3，且a1＝1，
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an＝3n－1.
(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15，
可得b1＋b2＋b3＝15，即3b2＝15，可得b2＝5.
故可设b1＝5－d，b3＝5＋d.
又a1＝1，a2＝3，a3＝9，
由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，
解得d1＝2，d2＝－10.
∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0，∴d＝2.
∴Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.
第三课时　等比数列的前n项和
[读教材·填要点]
1．等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、末项与公比
公式
Sn＝
Sn＝
2．等比数列的前n项和的常用性质
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)．
(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列．
(3)“相关和”性质：Sn＋m＝Sn＋qnSm?qn＝(q为公比)．
[小问题·大思维]
1．如何利用函数的观点看等比数列的前n项和公式？
[提示]　(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式可写成Sn＝－Aqn＋A的形式．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是函数y＝－Aqx＋A图像上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是正比例函数y＝a1x图像上的一群孤立的点．
2．数列{an}的前n项和为Sn＝A＋Bqn(q≠1)，若{an}是等比数列，则A，B满足什么关系？
[提示]　A＋B＝0.
等比数列前n项和的基本运算
在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
(2)a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8.
[解]　(1)显然q≠1，Sn＝，
即＝，∴q＝.
又an＝a1qn－1，
即8×n－1＝，∴n＝6.
(2)法一：由题意，得
化简得
①÷②，得q2－1＝3(负值舍去)，
∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2.
当q＝2时，代入①得a1＝1，
∴S8＝＝255.
当q＝－2时，代入①得a1＝－1，
∴S8＝＝.
综上知S8＝255或S8＝.
法二：由等比数列的性质得a3·a5＝a＝64，
∴a4＝±8.
当a4＝8时，a6－a4＝24，∴a6＝32，∴q2＝＝4.
∴q＝±2.
当a4＝－8时，a6－a4＝24，∴a6＝16.
∴q2＝＝－2，无解．故q＝±2.
当q＝2时，a1＝＝1，S8＝＝255.
当q＝－2时，a1＝＝－1，∴S8＝＝.
综上知S8＝255或S8＝.
在等比数列{an}中的五个量a1，q，an，Sn，n中，a1和q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不很明显时，均可用a1和q的方程(组)求解．
1．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
解：由题意知，a1≠0，Sn＝，
则
由②得，1－q4＝5(1－q2)，
则(q2－4)(q2－1)＝0，
所以(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.
因为q<1，所以q＝－1或q＝－2.
当q＝－1时，由①得，a1＝2，
则{an}的通项公式为an＝2×(－1)n－1；
当q＝－2时，由①得，a1＝，则{an}的通项公式为an＝×(－2)n－1＝(－1)n－1·2n－2.
等比数列前n项和性质的应用
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.
[解]　法一：设公比为q，则
得1＋q10＝3，∴q10＝2，
∴S30＝＝·(1＋q10＋q20)
＝10×(1＋2＋4)＝70.
法二：S10，S20－S10，S30－S20仍是等比数列，即10,20，S30－30成等比数列，
∴10×(S30－30)＝202，∴S30＝40＋30＝70.
在解决等比数列前n项和的问题时，利用一些结论解决会使问题更容易，如：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成等比数列，若项数n为偶数，＝q等．
2．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，
则S100＝X＋Y，
由等比数列前n项和性质知：＝q＝，
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
答案：80
3．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．
解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×n－1.
利用错位相减法求数列的前n项和
求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1(a≠0)的前n项和．
[解]　(1)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，
则Sn＝＝n2.
(2)当a≠1时，有
Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an②
①－②得
Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)
＝1－(2n－1)an＋2·
＝1－(2n－1)an＋，
又∵1－a≠0，∴Sn＝＋.
综上可知，当a＝1时，Sn＝n2；
当a≠1时，Sn＝＋.
即Sn＝
1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减这一思路和方法．要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分项中公比为负数的情形更值得注意．
2．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
3．求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论．
4．(2017·山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.
解：(1)设{an}的公比为q，
由题意知：a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2.
又an＞0，解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.
(2)由题意知，
S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，
又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.
令cn＝，则cn＝，因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得Tn＝＋－＝＋1－n－1－＝－，
所以Tn＝5－.
与等比数列前n项和有关的实际问题
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加.设n年内(本年度为第1年)总投入Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式．
[解]　(1)第1年投入800万元，第2年投入800×万元，…，第n年投入800×n－1万元．所以，n年内的总投入Sn＝800＋800×＋…＋800×n－1＝4 000×.
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×万元，…，第n年旅游业收入为400×n－1万元．所以，n年内的总收入Tn＝400＋400×＋…＋400×n－1＝1 600×.
1．增长率、递减率等实际问题与等比数列联系较大，比如利润、成本、效益的增减问题，人口数量的增长、耕地面积的递减等．
2．解等比数列模型的求和应用题时，一是直接运用公式求和；二是由特例入手，归纳总结一般情形，进而建立等比数列求和的模型，再求其和；三是寻求递推公式，把它转化为递推数列的问题．
5．某地现有居民住房的总面积为a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．
(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？
(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当地住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)
解：(1)根据题意，可知
1年后住房总面积为：1.1a－x；
2年后住房总面积为：
1．1(1.1a－x)－x＝1.12a－1.1x－x；
3年后住房总面积为：
1．1(1.12a－1.1x－x)－x＝1.13a－1.12x－1.1x－x；
……
10年后住房总面积为：
1．110a－1.19x－1.18x－…－1.1x－x
＝1.110a－x≈2.6a－16x.
由题意，得2.6a－16x＝2a.
解得x＝a(m2)．
故每年应拆除的旧住房总面积为a m2.
(2)故所求百分比为＝≈6.3%.
每年应拆除的旧住房面积为a m2,10年后还未拆除的旧住房面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.
[随堂体验落实]
1．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　)
A．179　　　　　　　　 B．211
C．243 D．275
解析：选B　设等比数列的公比为q，
则由题意，得：16＝81q4，
∴q＝，∴S5＝＝243×＝211.
2．设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为(　　)
A. B．
C. D.
解析：选D　a3，a6，a9，…，a3n，…仍是等比数列．
公比为q＝＝q3，
∴Sn＝.
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A．11 B．5
C．－8 D．－11
解析：选D　由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
解析：由题意知q≠1，
∴S6＝4S3?＝4·?q3＝3.
∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
答案：3
5．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.
解：∵a3an－2＝a1an，
∴a1an＝128，
解方程组
得　①
或　②
将①代入Sn＝，可得q＝，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.
将②代入Sn＝，可得q＝2，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.
故n＝6，q＝或2.
[感悟高手解题]
设数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0(n∈N*)，S1，S2，…，Sn，…成等比数列，则数列a1，a2，a3，…，an，…成等比数列吗？并说明理由．
[解]　设a1＝a，则S1＝a1＝a，
∵数列{Sn}是等比数列，设公比为q，
∴Sn＝a1qn－1＝aqn－1，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝aqn－1－aqn－2＝aqn－2(q－1)，
an＋1＝Sn＋1－Sn＝aqn－aqn－1＝aqn－1(q－1)
当q＝1时，
数列{Sn}为常数列，
此时an＝0与题设条件an≠0矛盾．
∴q≠1，
∴＝＝q(n≥2，n∈N*)
又＝q－1≠q，故数列a1，a2，a3，…，an，…不成等比数列，
数列a2，a3，…an，…成等比数列．
[点评]　容易忽略当q＝1时，数列{Sn}为常数列而导致错误．

一、选择题
1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　)
A．93　　　　　　　 B．－93
C．45 D．－45
解析：选A　S5＝＝
＝3(25－1)＝3×31＝93.
2．在等比数列{an}中，若＝2，S4＝4，则S8的值为(　　)
A．12 B．24
C．16 D．32
解析：选A　由＝2，得q4＝2，
所以S8＝S4＋q4S4＝4＋2×4＝12.
3．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A．33 B．72
C．84 D．189
解析：选C　由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.
4．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　)
A．90 B．70
C．40 D．30
解析：选C　由题意知q≠1(否则S30＝3S10)，
由∴
∴
∴q20＋q10－12＝0.
∴q10＝3，
∴S20＝＝S10(1＋q10)
＝10×(1＋3)＝40.
二、填空题
5．若等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋r，则r的值是________．
解析：若{an}是等比数列，则r＝－1.
答案：－1
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
解析：由已知得4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．
∴a2＝3a3，
∴{an}的公比q＝＝.
答案：
7．在等比数列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝________.
解：法一：∵S8≠2S4，∴q≠1，
由已知得
由②÷①得
1＋q4＝，∴q4＝.　　　③
将③代入①得＝64，
∴S12＝＝64＝63.
法二：因为{an}为等比数列，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以S3n＝＋S2n，
所以S12＝＋S8＝＋60＝63.
答案：63
8．数列{an}中，an＝，则数列的前n项和Sn为________．
解析：Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an＝
－＋＋＋…＋＋，①
Sn＝－＋＋＋…＋＋.②
由①－②，得
Sn＝－＋＋…＋－
＝－＋2×－＝－.
∴Sn＝－.
答案：－
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由题意，Sn＝2n＋2－4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N＋.
(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，
∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，　　　①
2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2. 　　 ②
②－①得，
Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2
＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1
＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.
10．已知数列{an}中，a1＝，a2＝，且数列{bn}是公差为－1的等差数列，其中bn＝log2.数列{cn}是公比为的等比数列，其中cn＝an＋1－.求数列{an}的通项公式及它的前n项和Sn.
解：a1＝，a2＝，∴b1＝log2＝－2，
c1＝－×＝.
∵{bn}是公差为－1的等差数列，{cn}是公比为的等比数列，
∴
即
∴
消去an＋1得an＝－为数列{an}的通项公式．
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝3－2
＝3×－2×
＝3－－1＋
＝2－＋.