2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第9章 9.4 分期付款问题中的有关计算
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| 名称 | 2019年数学湘教版必修4新设计同步（讲义）：第9章 9.4 分期付款问题中的有关计算 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 241.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 15:42:46 | ||
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文档简介
9．4分期付款问题中的有关计算
[读教材·填要点]
1．单利
单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为
利息＝本金×利率×存期．
若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有S＝P(1＋nr)．
2．复利
把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有复利的计算公式为S＝P(1＋r)n.
[小问题·大思维]
1．单利和复利分别对应什么函数类型？
[提示] 单利对应一次函数模型，复利对应指数函数模型．
2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？
[提示] 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．
等差数列模型(单利问题)
用分期付款购买价格为25万元的住房一套，按单利计算如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？
[解] 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；
a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；
a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)；
…；
an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝(万元)(n＝1,2，…，10)．
因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列．
a5＝4－＝3.2(万元)．
S10＝10×4＋＝31(万元)．
31＋5＝36(万元)，
因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．
按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚：
(1)规定多少时间内付清全部款额；
(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；
(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．
1．某人从1月起，每月第一天存入100元，到第12个月最后一天取出全部本金及利息，按照单利计息，若月利率为1.65‰，求到年底的本利和．
解：第1月存入的100元到12月底的利息为a1＝100×0.001 65×12，
第2月存入的100元到12月底的利息为a2＝100×0.001 65×11，…
第12月存入的100元到12月底的利息为a12＝100×0.001 65，
全部利息和为S12＝a1＋a2＋…＋a12＝100×0.001 65×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元)，
按单利计息，到年底所取出的本利和为1 212.87元.
等比数列模型(复利问题)
某人购买价值为10 000元的彩电，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第24次付款后全部付清，已知月利率为0.8%，如果每月利息按复利计算。那么每期应付款多少元(精确到1元)？(1.00824＝1.210 7)
[解] 设每期付款为x元，
第1期付款x元连同到最后全部付清时所生利息之和为：x(1＋0.008)23，
第2期付款x元连同到最后全部付清所产生的利息之和为：x(1＋0.008)22，
…
第24期付款x元，没有利息．
于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：
A＝x＋x(1＋0.008)＋x(1＋0.008)2＋…＋x(1＋0.008)23，
另一方面，这个商品的售价与其从购买到最后一次付款时的利息之和：B＝104×(1＋0.008)24，
∴x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00823)＝104×1.00824，
即x·＝104×1.00824，
∴x＝≈460.
按复利计算分期付款问题的一般计算公式：
商品为a元，在m个月内分n次付清(n是m的约数)，月利率为p，每期付款x元，则x[1＋(1＋p)＋(1＋p)＋…＋(1＋p)]＝a(1＋p)m，
∴x＝.
2．某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月息按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年取出本利共多少元(保留到个位)？(1.062＝1.123 6，1.063＝1.191 0，1.00212＝1.024 3)
解：为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和按月分开算．
第一年内的本息和可分为：
第一个月：5(1＋0.2%)11，
第二个月：5(1＋0.2%)10，…，
第十二个月：5.
那么，第一年的本息和为
5(1＋0.2%)11＋5(1＋0.2%)10＋…＋5＝5·.
于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为
5·(1＋6%)2.
同理第二年所存钱在最后取时本息和为
5··(1＋6%)．
第三年所存钱在年底取出时的本息和为5·.
∵每月存5元，月利为0.2%，年利为6%，
∴三年后取出的本息和为
5·(1＋6%)2＋5·(1＋6%)＋5·＝5··≈193(元)．
∴三年后取出的本利共193元．
[随堂体验落实]
1．按活期存入银行1 000元，年利率是0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和是( )
A．1 036元 B．1 028元
C．1 043元 D．1 026元
解析：选A 第五年末的本利和是
1 000＋1 000×0.72%×5＝1 000＋36＝1 036(元)．
2．某厂在2018年底制订生产计划，要使2028年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为( )
A．4－1 B．2
C．4－1 D．2－1
解析：选A 设年增长率为x,2018年总产量为1，到2028年底翻两番后的总产量为4，故得1·(1＋x)10＝4，∴x＝4－1.
3．某企业今年初贷款a万元，年利率为r，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计5年内还清，则每年应偿还的金额数为( )
A.万元 B．万元
C.万元 D.万元
解析：选B 设每年还x元，则a(1＋r)5－x(1＋r)4－x(1＋r)3－x(1＋r)2－x(1＋r)－x＝0，
∴x＝.
4．某工厂第一个月的生产总值为a，月生产总值平均增长率为p，则年平均生产总值的平均增长率为________．
解析：＝＝(1＋p)12.
答案：(1＋p)12－1
5．某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为1个月，购买后1个月第1次付款，每月付款1次，共付12次，购买后1年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少(1.00812≈1.1)?
解：设每期应付款x元，则到款数还清时，
第1期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)11，
第2期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)10，
…，
第12期所付款数没有利息．
所以各期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝x.
又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有x＝2 000×1.00812，
解得x＝≈176.
即每期应付款176元．
[感悟高手解题]
某职工2018年年初向银行贷款20万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，若这笔贷款要求分10次等额还清，每年一次，10年还清，并从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元(精确到1元)？(1.110＝2.593 7)
[解] 已知贷款额为a＝200 000，贷款年利率为r＝0.1，设次年等额归还b元，第n＝10年还清，则一年后的欠款数为a1＝(1＋r)a－b＝1.1×200 000－b，
二年后的欠款数为
a2＝(1＋r)a1－b＝(1＋r)[(1＋r)a－b]－b
＝(1＋r)2a－b(1＋r)－b，
三年后的欠款数为
a3＝(1＋r)a2－b＝(1＋r)[(1＋r)2a－b(1＋r)－b]－b
＝(1＋r)3a－b(1＋r)2－b(1＋r)－b，
…，
n年后的欠款数为
an＝(1＋r)an－1－b
＝(1＋r)na－b[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)＋1]．
由于an＝0，贷款还清，故可求出b.
对上式化简得
(1＋r)na－b[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)＋1]＝0，
即(1＋r)na
＝b·[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)＋1]
＝b·＝b·.
∴b＝＝，
＝×0.1≈32 549(元)．
答：每年应还32 549元．
[点评] 复利问题的数学模型为等比数列，可利用等比数列的有关知识灵活求解．
一、选择题
1．现存入银行10 000元钱，年利率是0.72%.那么按照复利，第5年末的本利和是( )
A．10 000×1.00723 B．10 000×1.00724
C．10 000×1.00725 D．10 000×1.00726
解析：选C 记各年末的本利和为数列{an}，
由an＝a(1＋r)n，其中，a＝10 000，r＝0.72%，
得a5＝10 000×1.007 25.
2．某钢厂的年产值由2007年的40万吨，增加到2017年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2027年的年产值将接近( )
A．60万吨 B．61万吨
C．63万吨 D．64万吨
解析：选C 设年增长率为x，则2017年为：
40(1＋x)10＝50，则(1＋x)10＝.
2027年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2＝40××＝62.5≈63(万吨)．
3．某商品零售价2018年比2017年上涨25%，欲控制2019年比2017年上涨10%，则2019年比2018年降价( )
A．15% B．12%
C．10% D．5%
解析：选B 设2017年商品零售价为a(a>0)，2019年比2018年下降x%，则a(1－x%)(1＋25%)＝a(1＋10%)，即x%＝12%.
4．某企业2017年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2017年度的产值月平均的增长率为( )
A. B．
C. D.－1
解析：选D 设2017年1月份产值为a，则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，则a(1＋r)11＝pa，∴r＝－1.
二、填空题
5．有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的两倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．
解析：设最上面一层为a1，
则组成了以a1为首项，公比q＝2的等比数列，则有
S7＝＝381.得a1＝3，则a7＝a1q6＝192，
∴a7＝192.
答案：192
6．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为________．
解析：设平均每次降价百分率为x，则
512·(1－x)3＝216，
∴x＝0.25.
答案：25%
7．某人从2017年起，每年9月1日到银行新存a元一年定期，若年利率r保持不变，且每年到期存款均自动转成新一年的定期，到2022年9月1日将所有的存款及利息全部取回，他取回的钱数是________元(假设不扣利息税)．
解析：本利和为a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4＋a(1＋r)5＝＝[(1＋r)6－(1＋r)]．
答案：[(1＋r)6－(1＋r)]
8．某地2017年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市的人口平均增长率为1%，问使2027年底该城市人均住房面积增加到至少7 m2，则平均每年新增住房面积至少为________万m2(保留到整数)．
解析：设该城市平均每年新增住房面积为x万m2，依题意≥7，化简得x≥350(1＋1%)10－300≈350×1.104 6－300≈86.6.
∴该城市平均每年至少新增87万m2.
答案：87
三、解答题
9．陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？
(不满百元凑足百元，lg 1.01＝0.004 3，lg 1.061＝0.025 8，lg 1.07＝0.029 4)
解：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还货a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则
a0＝10 000，
a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…
＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.
由题意可知a6＝0，
即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，
a＝.
又因为lg(1.01)6＝6lg 1.01＝0.025 8，
所以1.016＝1.061，
a＝≈1 800.
答：每月应支付1 800元．
10．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
解：甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为
1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9
＝≈42.63(万元)，
到期时银行贷款的本息为
10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为
42．63－25.94≈16.7(万元)．
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，
1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)
＝＝32.50(万元)，
而贷款本利和为
1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]
＝1.1×
≈17.53(万元)．
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为
32．50－17.53≈15.0(万元)
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利.
[读教材·填要点]
1．单利
单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为
利息＝本金×利率×存期．
若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有S＝P(1＋nr)．
2．复利
把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有复利的计算公式为S＝P(1＋r)n.
[小问题·大思维]
1．单利和复利分别对应什么函数类型？
[提示] 单利对应一次函数模型，复利对应指数函数模型．
2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？
[提示] 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．
等差数列模型(单利问题)
用分期付款购买价格为25万元的住房一套，按单利计算如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？
[解] 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；
a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；
a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)；
…；
an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝(万元)(n＝1,2，…，10)．
因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列．
a5＝4－＝3.2(万元)．
S10＝10×4＋＝31(万元)．
31＋5＝36(万元)，
因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．
按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚：
(1)规定多少时间内付清全部款额；
(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；
(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．
1．某人从1月起，每月第一天存入100元，到第12个月最后一天取出全部本金及利息，按照单利计息，若月利率为1.65‰，求到年底的本利和．
解：第1月存入的100元到12月底的利息为a1＝100×0.001 65×12，
第2月存入的100元到12月底的利息为a2＝100×0.001 65×11，…
第12月存入的100元到12月底的利息为a12＝100×0.001 65，
全部利息和为S12＝a1＋a2＋…＋a12＝100×0.001 65×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元)，
按单利计息，到年底所取出的本利和为1 212.87元.
等比数列模型(复利问题)
某人购买价值为10 000元的彩电，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第24次付款后全部付清，已知月利率为0.8%，如果每月利息按复利计算。那么每期应付款多少元(精确到1元)？(1.00824＝1.210 7)
[解] 设每期付款为x元，
第1期付款x元连同到最后全部付清时所生利息之和为：x(1＋0.008)23，
第2期付款x元连同到最后全部付清所产生的利息之和为：x(1＋0.008)22，
…
第24期付款x元，没有利息．
于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：
A＝x＋x(1＋0.008)＋x(1＋0.008)2＋…＋x(1＋0.008)23，
另一方面，这个商品的售价与其从购买到最后一次付款时的利息之和：B＝104×(1＋0.008)24，
∴x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00823)＝104×1.00824，
即x·＝104×1.00824，
∴x＝≈460.
按复利计算分期付款问题的一般计算公式：
商品为a元，在m个月内分n次付清(n是m的约数)，月利率为p，每期付款x元，则x[1＋(1＋p)＋(1＋p)＋…＋(1＋p)]＝a(1＋p)m，
∴x＝.
2．某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月息按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年取出本利共多少元(保留到个位)？(1.062＝1.123 6，1.063＝1.191 0，1.00212＝1.024 3)
解：为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和按月分开算．
第一年内的本息和可分为：
第一个月：5(1＋0.2%)11，
第二个月：5(1＋0.2%)10，…，
第十二个月：5.
那么，第一年的本息和为
5(1＋0.2%)11＋5(1＋0.2%)10＋…＋5＝5·.
于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为
5·(1＋6%)2.
同理第二年所存钱在最后取时本息和为
5··(1＋6%)．
第三年所存钱在年底取出时的本息和为5·.
∵每月存5元，月利为0.2%，年利为6%，
∴三年后取出的本息和为
5·(1＋6%)2＋5·(1＋6%)＋5·＝5··≈193(元)．
∴三年后取出的本利共193元．
[随堂体验落实]
1．按活期存入银行1 000元，年利率是0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和是( )
A．1 036元 B．1 028元
C．1 043元 D．1 026元
解析：选A 第五年末的本利和是
1 000＋1 000×0.72%×5＝1 000＋36＝1 036(元)．
2．某厂在2018年底制订生产计划，要使2028年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为( )
A．4－1 B．2
C．4－1 D．2－1
解析：选A 设年增长率为x,2018年总产量为1，到2028年底翻两番后的总产量为4，故得1·(1＋x)10＝4，∴x＝4－1.
3．某企业今年初贷款a万元，年利率为r，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计5年内还清，则每年应偿还的金额数为( )
A.万元 B．万元
C.万元 D.万元
解析：选B 设每年还x元，则a(1＋r)5－x(1＋r)4－x(1＋r)3－x(1＋r)2－x(1＋r)－x＝0，
∴x＝.
4．某工厂第一个月的生产总值为a，月生产总值平均增长率为p，则年平均生产总值的平均增长率为________．
解析：＝＝(1＋p)12.
答案：(1＋p)12－1
5．某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为1个月，购买后1个月第1次付款，每月付款1次，共付12次，购买后1年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少(1.00812≈1.1)?
解：设每期应付款x元，则到款数还清时，
第1期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)11，
第2期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)10，
…，
第12期所付款数没有利息．
所以各期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝x.
又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有x＝2 000×1.00812，
解得x＝≈176.
即每期应付款176元．
[感悟高手解题]
某职工2018年年初向银行贷款20万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，若这笔贷款要求分10次等额还清，每年一次，10年还清，并从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元(精确到1元)？(1.110＝2.593 7)
[解] 已知贷款额为a＝200 000，贷款年利率为r＝0.1，设次年等额归还b元，第n＝10年还清，则一年后的欠款数为a1＝(1＋r)a－b＝1.1×200 000－b，
二年后的欠款数为
a2＝(1＋r)a1－b＝(1＋r)[(1＋r)a－b]－b
＝(1＋r)2a－b(1＋r)－b，
三年后的欠款数为
a3＝(1＋r)a2－b＝(1＋r)[(1＋r)2a－b(1＋r)－b]－b
＝(1＋r)3a－b(1＋r)2－b(1＋r)－b，
…，
n年后的欠款数为
an＝(1＋r)an－1－b
＝(1＋r)na－b[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)＋1]．
由于an＝0，贷款还清，故可求出b.
对上式化简得
(1＋r)na－b[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)＋1]＝0，
即(1＋r)na
＝b·[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)＋1]
＝b·＝b·.
∴b＝＝，
＝×0.1≈32 549(元)．
答：每年应还32 549元．
[点评] 复利问题的数学模型为等比数列，可利用等比数列的有关知识灵活求解．
一、选择题
1．现存入银行10 000元钱，年利率是0.72%.那么按照复利，第5年末的本利和是( )
A．10 000×1.00723 B．10 000×1.00724
C．10 000×1.00725 D．10 000×1.00726
解析：选C 记各年末的本利和为数列{an}，
由an＝a(1＋r)n，其中，a＝10 000，r＝0.72%，
得a5＝10 000×1.007 25.
2．某钢厂的年产值由2007年的40万吨，增加到2017年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2027年的年产值将接近( )
A．60万吨 B．61万吨
C．63万吨 D．64万吨
解析：选C 设年增长率为x，则2017年为：
40(1＋x)10＝50，则(1＋x)10＝.
2027年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2＝40××＝62.5≈63(万吨)．
3．某商品零售价2018年比2017年上涨25%，欲控制2019年比2017年上涨10%，则2019年比2018年降价( )
A．15% B．12%
C．10% D．5%
解析：选B 设2017年商品零售价为a(a>0)，2019年比2018年下降x%，则a(1－x%)(1＋25%)＝a(1＋10%)，即x%＝12%.
4．某企业2017年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2017年度的产值月平均的增长率为( )
A. B．
C. D.－1
解析：选D 设2017年1月份产值为a，则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，则a(1＋r)11＝pa，∴r＝－1.
二、填空题
5．有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的两倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．
解析：设最上面一层为a1，
则组成了以a1为首项，公比q＝2的等比数列，则有
S7＝＝381.得a1＝3，则a7＝a1q6＝192，
∴a7＝192.
答案：192
6．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为________．
解析：设平均每次降价百分率为x，则
512·(1－x)3＝216，
∴x＝0.25.
答案：25%
7．某人从2017年起，每年9月1日到银行新存a元一年定期，若年利率r保持不变，且每年到期存款均自动转成新一年的定期，到2022年9月1日将所有的存款及利息全部取回，他取回的钱数是________元(假设不扣利息税)．
解析：本利和为a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4＋a(1＋r)5＝＝[(1＋r)6－(1＋r)]．
答案：[(1＋r)6－(1＋r)]
8．某地2017年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市的人口平均增长率为1%，问使2027年底该城市人均住房面积增加到至少7 m2，则平均每年新增住房面积至少为________万m2(保留到整数)．
解析：设该城市平均每年新增住房面积为x万m2，依题意≥7，化简得x≥350(1＋1%)10－300≈350×1.104 6－300≈86.6.
∴该城市平均每年至少新增87万m2.
答案：87
三、解答题
9．陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？
(不满百元凑足百元，lg 1.01＝0.004 3，lg 1.061＝0.025 8，lg 1.07＝0.029 4)
解：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还货a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则
a0＝10 000，
a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…
＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.
由题意可知a6＝0，
即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，
a＝.
又因为lg(1.01)6＝6lg 1.01＝0.025 8，
所以1.016＝1.061，
a＝≈1 800.
答：每月应支付1 800元．
10．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
解：甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为
1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9
＝≈42.63(万元)，
到期时银行贷款的本息为
10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为
42．63－25.94≈16.7(万元)．
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，
1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)
＝＝32.50(万元)，
而贷款本利和为
1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]
＝1.1×
≈17.53(万元)．
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为
32．50－17.53≈15.0(万元)
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利.