2019年数学湘教版选修2-3新设计同步（讲义）：第8章 8.2.5 几个常用的分布

8．2.5　几个常用的分布
[读教材·填要点]
1．两点分布B(1，p)
如果X只取值0或1，概率分布是P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p，p∈(0,1)，就称X服从两点分布，记作X～B(1，p)．
2．二项分布B(n，p)
设某试验成功的概率为p，p∈(0,1)，将该试验独立重复n次，用X表示试验成功的次数，则X有概率分布：
P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1,2，…，n，其中q＝1－p，这时，我们称X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
3．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列
X
0
1
…
m
P


…

为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)．
[小问题·大思维]
1．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？
提示：在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互间无影响．因为每次试验是在相同条件下独立进行的．
2．二项分布与两点分布的关系是什么？
提示：二项分布是指n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率分布列，需要在相同条件下做n次试验，两点分布指的是一次试验的两个结果的概率分布．两者的含义不同，将两点分布的试验进行n次，恰好发生k次的概率分布就成了二项分布．
两点分布
[例1]　已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．
[解]　由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，
所以P(X＝1)＝1－＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
P


两点分布的4个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；
(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；
(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．
1．袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记
X＝求X的概率分布．
解：显然X服从两点分布，
P(X＝0)＝＝.
∴P(X＝1)＝1－＝，
∴X的概率分布为：
X
0
1
P


二项分布
[例2]　甲、乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛，比赛没有平局．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知比赛中，乙赢了第一局比赛．
(1)求甲获胜的概率；(用分数作答)
(2)设比赛总的局数为X，求X的概率分布．
[解]　(1)甲获胜的概率P＝3＋C··3＝.
(2)由题意知，X＝3,4,5
P(X＝3)＝2＝，
P(X＝4)＝3＋C··2＝，
P(X＝5)＝C22＋C··3＝.
∴X的概率分布为：
X
3
4
5
P



二项分布中“X＝k”表示在n次独立重复试验中事件恰好发生k次，其特点是：①一次试验中只有两种可能结果；②事件在每次观察中出现的概率相等；③随机变量X只取有限个实数．
2．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为.某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．
解：由题意可知：X～B，
所以P(X＝k)＝Ck·3－k，
k＝0,1,2,3.
即P(X＝0)＝C×0×3＝；
P(X＝1)＝C××2＝；
P(X＝2)＝C×2×＝；
P(X＝3)＝C×3＝.
分布列为
X
0
1
2
3
P




超几何分布
[例3]　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
[解]　设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.
(2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P




求解超几何分布问题的注意事项
(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．
(2)在超几何分布公式中P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}．这里N是产品总数，M是产品中次品数，n是抽样的样品数．
(3)如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．
(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．
3．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得0分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列．
(2)求得分不小于6分的概率．
解：(1)从袋中随机摸4个球的情况为：
1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红共四种情况，分别得分为2分，4分，6分，8分，故X的可能取值为2,4,6,8.
P(X＝2)＝＝；P(X＝4)＝＝；
P(X＝6)＝＝；P(X＝8)＝＝.
所以X的分布列为
X
2
4
6
8
P




(2)由(1)中分布列得
P(X≥6)＝P(X＝6)＋P(X＝8)＝.
解题高手
妙解题
有10台都为7.5千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12 min，问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？(保留两位有效数字)
[尝试]　


[巧思]　由于每台机床正常工作的概率为＝0.2，而且每台机床都只有“工作”与“不工作”两种情况，故某一时刻正常工作的机床台数服从二项分布．
[妙解]　设X为某一时刻正常工作的机床的台数，则X～B(10,0.2)，P(X＝k)＝C·0.2k·0.810－k(k＝0,1,2，…，10)，根据题意，48千瓦可供6台机床同时工作，用电超过48千瓦，即意味着有7台或7台以上的机床在工作，这一事件的概率为：
P(X≥7)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝C×0.27×0.83＋C×0.28×0.82＋C×0.29×0.81＋C×0.210×0.80≈0.000 86.
1．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　)
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
解析：选A　A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选A.
2．设随机变量X～B，则P(X＝3)的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　P(X＝3)＝C×3×3＝.
3．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是(　　)
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
解析：选C　A，P(X＝2)＝；
B，P(X≤2)＝P(X＝2)≠；C，P(X＝4)＝；
D，P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)>.
4．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.
其中正确的序号是__________________(写出所有正确结论的序号)．
解析：①正确；恰好击中目标3次的概率为C×0.93×0.1，故②错；由于“至少击中目标1次”的对立事件为“一次都未击中目标”，故③正确．
答案：①③
5．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________．
解析：由题知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
即4(1－p)≤6p.
∴p≥0.4.又0＜p＜1，∴0.4≤p＜1.
答案：[0.4,1)
6．学校组织一次夏令营活动，有8名同学参加，其中5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学被抽到．
求：(1)X的分布列；
(2)去执行任务的同学中有男有女的概率．
解：(1)X服从超几何分布，其中，N＝8，M＝5，n＝3，X可取0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
一、选择题
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　设P(X＝1)＝p，则P(X＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.
故P(X＝0)＝1－p＝.
2．从4双不同的鞋中任取4只，设ξ表示取出的鞋中成双的对数，则P(ξ≤1)＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由已知，可得ξ的所有可能取值为0,1,2，P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＋＝，故选D.
3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是(　　)
A．P(X＝0) B．P(X≤2)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
解析：选C　X服从超几何分布，当X＝1时，即从甲袋中取出白球乙袋中取出红球和甲袋中取出红球，乙中取出白球即为.
4．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为(　　)
A.5 B．C5
C．C3 D．CC5
解析：选B　质点每次只能向上或向右移动，且概率均为，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P移动5次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次)的概率为C23＝C5.
二、填空题
5．下列说法正确的是________．
①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；
③从装有5红5白的袋中，有放回的摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
解析：①、②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回的摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
答案：①②
6．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
解析：∵X～B(2，p)，
∴P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
∴P(X≥1)＝1－P(X＜1)＝1－P(X＝0)
＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2.
∴1－(1－p)2＝.
结合0≤p≤1，解之得p＝.
答案：
7．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为________．
解析：由题意知X服从超几何分布，代入超几何分布概率公式有P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．
答案：
X
0
1
2
P



8．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
解析：P(正面次数大于反面次数)＝P(4正2反)＋P(5正1反)＋P(6正)
＝C4·2＋C5·1＋C6＝.
答案：
三、解答题
9．已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子．假定某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的；如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，求至少两次试验成功的概率；
(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败，且恰有两次连续失败的概率．
解：(1)第一小组做了3次试验，至少两次试验成功的概率为C×2×＋C×3＝.
(2)第二小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中3次成功、3次失败，且恰有两次连续失败，其各种可能情况的种数为A＝12.因此所求的概率为12×3×3×＝.
10．为了掌握高二年级学生参加《普通高中信息技术学业水平测试》的备考情况，学校信息技术老师准备对报名参加考试的所有学生进行一次模拟测试，模拟测试时学生需要在10道备选试题中随机抽取5道试题作答，答对5道题时测试成绩为A等(即优秀)，答对4道题时测试成绩为B等(即良好)，答对3道题时测试成绩为C等(即及格)，答对3道题以下(不包括答对3道题)时测试成绩为D等(即不及格)，成绩为D等的同学必须参加辅导并补考．如果考生张小明只会答这10道备选试题中的6道题，设张小明同学从10道备选试题中随机抽取5道作答时，不会答的题数为随机变量X，求：
(1)随机变量X的分布列；
(2)求张小明同学需要参加补考的概率．
解：(1)在10道备选试题中随机抽取5道试题作答时，其中不会答的题数可能是0,1,2,3,4道，即随机变量X的所有取值是0,1,2,3,4，其中N＝10，M＝4，n＝5，根据超几何分布概率公式，得
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
∴随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





(2)需要参加补考，说明张小明同学从10道备选试题中随机抽取5道试题作答时，有3道试题或者4道试题答不出来，所以张小明同学在这次测试中需要参加补考的概率是P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.