2019年数学湘教版选修2-3新设计同步（讲义）：第8章 8.2.7 离散型随机变量的方差

8．2.7　离散型随机变量的方差
[读教材·填要点]
1．离散型随机变量X的方差与标准差
(1)当离散型随机变量X有概率分布，pj＝P(X＝xj)，j＝0,1，…，n和数学期望μ＝E(X)时，就称D(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn为X的方差，称为X的标准差．
(2)X的方差描述了随机变量X向它的数学期望集中的程度，方差越小，X向数学期望μ集中的越好．
(3)如果X是从某个总体中通过随机抽样得到的个体，X的方差D(X)就是总体方差σ2，X的数学期望E(X)就是总体均值μ.
2．几个常见方差的计算公式
(1)若Y＝aX＋b，a，b为常数，即D(aX＋b)＝a2D(X)；
(2)当X服从二点分布(1，p)时，D(X)＝p(1－p)；
(3)当X服从二项分布B(n，p)时，D(X)＝np(1－p)；
(4)当X服从超几何分布H(N，M，n)时，D(X)＝.
[小问题·大思维]
1．离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗？
提示：样本的方差随样本的不同而变化，是一个随机变量，而离散型随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常数而非变量．
2．D(X)的取值范围是什么？若b为常数，则D(b)为何值？
提示：①因为D(X)＝(xi－E(X))2pi，
其中(xi－E(X))2≥0，pi≥0，
所以D(X)的取值范围为[0，＋∞)．
②因为b为常数，所以x1＝x2＝…＝xn＝E(X)＝b，
故D(b)＝0.
3．D(X)与X的单位之间有什么关系？
提示：D(X)的单位是X的单位的平方．
求离散型随机变量的方差
[例1]　(1)设随机变量X的分布列为(　　)
X
1
2
3
4
P




则D(X)等于(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
(2)一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率是.
①求这位司机遇到红灯数X的期望与方差；
②若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间Y的期望与方差．
[解析]　(1)选C　由题意知，E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，故D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
(2)解：①易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，
且X～B，
∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.
②由已知Y＝30X，
∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.
由离散型随机变量的概率分布求其方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．但需要注意，如果能利用性质运算，先考虑性质运算，可避免繁琐的运算，提高解题效率．
1．某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________．
解析：依题意知X服从两点分布，
所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.
答案：0.16
2．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．
解：设摸得白球的个数为X，
依题意得P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
离散型随机变量方差的性质
[例2]　(1)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　)
A．6,2.4　　　　　　　 B．2,2.4
C．2,5.6 D．6,5.6
(2)已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，E(X)＝，则D(2X－1)＝(　　)
A. B．－
C. D.
[解析]　(1)∵X～B(10,0.6)，
∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，
∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.
(2)由题意，知1×＋a×＝，解得a＝2，
∴D(X)＝2×＋2×＝，
∴D(2X－1)＝22 D(X)＝4×＝.
[答案]　(1)B　(2)D
求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法
求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
3．已知η的分布列为
η
0
10
20
50
60
P





(1)求η的方差及标准差；
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
解：(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，＝8.
(2)∵Y＝2η－E(η)，
∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.
方差的实际应用
[例3]　甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X、Y，X和Y的概率分布如下表：
X
0
1
2
P



　
Y
0
1
2
P



试对这两名工人的技术水平进行比较．
[解]　工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：
E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81；
工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(Y)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.
由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．
离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．
4．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙保护区：
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
解：甲保护区违规次数X的数学期望和方差为
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为：
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定.
解题高手
妙解题
最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案：
第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为.
第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由．
[尝试]


[巧思]　合理的理财方案应满足两个条件：①获利高；②稳妥性强．因此可从数学期望和方差两个方面考虑．优先选择期望值较大的方案，若期望值相同应考虑选择方差较小的方案．
[妙解]　若按方案一执行，设收益为X万元，则其概率分布为
X
4
－2
P


E(X)＝4×＋(－2)×＝1万元．
若按方案二执行，设收益为Y万元，则其概率分布为：
Y
2
0
－1
P



∴E(Y)＝2×＋0×＋(－1)×＝1万元．
若按方案三执行，收益y＝10×4%×(1－5%)＝0.38万元．
又E(X)＝E(Y)>y.
D(X)＝(4－1)2×＋(－2－1)2×＝9，
D(Y)＝(2－1)2×＋(0－1)2×＋(－1－1)2×＝.
由上知D(X)>D(Y)．这说明虽然方案一、方案二收益相等，但方案二更稳定．所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理．
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．随机变量的期望E(X)反映了X取值的概率平均值
B．随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平
C．随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平
D．随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值
解析：选C　离散型随机变量X的期望反映了随机变量取值的平均水平，随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．
2．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的值分别是(　　)
A．n＝100，p＝0.08　　 B．n＝20，p＝0.4
C．n＝10，p＝0.2 D．n＝10，p＝0.8
解析：选D　由于X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6.
所以np＝8，np(1－p)＝1.6，解之得n＝10，p＝0.8.
3．已知离散型随机变量X的概率分布为：P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3X＋5)等于(　　)
A．3 B．6
C．9 D．4
解析：选B　∵E(X)＝(1＋2＋3)×＝2，
D(X)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×＝，
∴D(3X＋5)＝9D(X)＝6.
4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，若两枚硬币同时出现反面的次数为X，则D(X)＝________.
解析：因为两枚硬币同时出现反面的概率为×＝，故X～B，因此D(X)＝10××＝.
答案：
5．已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示，则X的方差为________.
X
1
3
5
P
0.4
0.1
x
解析：由条件知，x＝0.5.
E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.
答案：3.56
6．设X是随机变量，P(X＝a)＝，P(X＝b)＝，且a解：由题意知，
解得或又a一、选择题
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较
解析：选B　∵D(X甲)>D(X乙)
∴乙种水稻比甲种水稻整齐．
2．随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝pkq1－k(k＝0,1，p＋q＝1)，则E(X)与D(X)依次为(　　)
A．0和1　　　　　　 B．p和p2
C．p和1－p D．p和p(1－p)
解析：选D　根据题意，E(X)＝0×q＋1×p＝p，D(X)＝(0－p)2q＋(1－p)2p＝p(1－p)，或可以判断随机变量X满足两点分布，所以E(X)与D(X)依次为p和p(1－p)．
3．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，则二项分布的参数n，p的值为(　　)
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
解析：选B　由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，当X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)可知∴
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为(　　)
A．8　　 B．12　　　C.　　　　D．16
解析：选A　由题意可知ξ～B，∴n＝E(ξ)＝24，∴n＝36，∴D(ξ)＝n××＝×36＝8.
二、填空题
5．随机变量X的概率分布为：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是________．
解析：E(X)＝－1×a＋0×b＋1×c＝c－a＝，
又a＋b＋c＝1，且2b＝a＋c，
∴a＝，b＝，c＝.
∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
答案：
6．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．
解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.
由题知X～B(25,0.6)，
所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，
E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.
答案：60,96
7．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1解析：由题意可得：E(X)＝x1＋x2，
D(X)＝2×＋2×，
∴
解得x1＋x2＝.
答案：
8．随机变量X的概率分布如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
p
a
b
c

解析：由题意
解得a＝，b＝c＝.
答案：　
三、解答题
9．编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.
(1)求随机变量X的概率分布；
(2)求随机变量X的数学期望和方差．
解：(1)P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
∴概率分布为：
X
0
1
3
P



(2)E(X)＝1×＋3×＝1.
D(X)＝(1－0)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1.
10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如表：
环数
5
6
7
8
9
10
次数
1
1
1
1
2
4
乙射击的概率分布如表：
环数
7
8
9
10
概率
0.2
0.3
p
0.1
(1)若甲、乙各打一枪，求击中18环的概率及p的值；
(2)比较甲、乙射击水平的优劣．
解：(1)p＝0.4.
设甲、乙击中的环数分别为X1、X2，则
P(X1＝8)＝＝0.1，P(X1＝9)＝＝0.2，
P(X1＝10)＝＝0.4，
P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，
所以甲、乙各打一枪击中18环的概率为：
P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21.
(2)甲的期望为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，
乙的期望为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4.
甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，
乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.
所以D(X1)>D(X2)，乙比甲技术稳定.