2019年数学湘教版选修2-3新设计同步（讲义）：第8章 8.3 正态分布曲线

8.3正态分布曲线
[读教材·填要点]
1．正态曲线及其特点
(1)正态曲线的概念：
函数p(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称p(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③p(x)在x＝μ处达到最大值；
④当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑤当μ一定时，σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；
⑥曲线与x轴之间所夹的面积等于1.
2．标准正态分布
随机变量X为服务从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．
特别当μ＝0，σ2＝1时称为标准正态分布，其密度函数记为φ(x)＝e (－∞(3)正态分布在三个特殊区间内取值的概率．
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ[小问题·大思维]
1．正态曲线φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义是什么？
提示：参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值E(X)去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本方差D(X)去估计．
2．如何由正态曲线求随机变量X在(a，b]的概率值？
提示：随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a＜X≤b)≈φμ，σ(x)dx，即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X落在区间(a，b]的概率近似值，如图所示．
3．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示．则μ1与μ2，σ1与σ2的大小关系是什么？
提示：根据正态分布曲线的性质：正态分布曲线是一条关于x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．
故μ1<μ2，σ1<σ2.
也可通过比较两图象的最高点来判断，
和，
显然有μ1<μ2，>，
∴σ1<σ2.
正态曲线及其性质
[例1]　某次我市高三教学质量检测中， 甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　)
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
[解析]　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知σ越大， 正态曲线越扁平；σ越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
[答案]　A
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．
1．若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态分布的概率密度函数的解析式．
解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，
所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是，
所以＝，
解得σ＝4.
故函数的解析式为φμ，σ(x)＝·e，
x∈(－∞，＋∞)．
利用正态分布的对称性求概率
[例2]　设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．
[解]　因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)
＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7.
(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3所以P(3＜X≤5)＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]
＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]
＝(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
正态变量在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)熟记P(μ－σP(μ－2σ(3)注意概率值的求解转化：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
③若b<μ，
则P(X2．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X解析：
由正态分布图象的对称性可得：
P(a≤X<4－a)＝1－2P(X答案：0.36
3．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；
(2)求P(－4解：(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)．
∵P(X>c＋1)＝P(X故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.
(2)P(－4利用标准正态分布表求概率
[例3]　若随机变量X～N(0,1)，查标准正态分布表，求：
(1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)；
(3)P(0.51[解]　(1)P(X≤1.26)＝0.896 2.
(2)P(X>1.26)＝1－P(X≤1.26)
＝1－0.896 2＝0.103 8.
(3)P(0.51(4)P(X≤－2.1)＝P(X≥2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.982 1＝0.017 9.
要求随机变量X在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及特殊概率的值进行转化求值即可．
4．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，求P(－2≤X≤2)．
解：因为随机变量X～N(0，σ2)，
所以正态曲线关于直线x＝0对称．
又P(X>2)＝0.023，
所以P(X<－2)＝0.023，
所以P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝1－2×0.023＝0.954.
5．已知X～N(3，σ2)，若P(X≤2)＝0.2，求P(X≤4)．
解：由正态分布知识，因为X～N(3，σ2)，
所以P(X≤3)＝0.5，
P(X≤2)＝0.2＝P(X>4)，
所以P(X≤4)＝1－P(X>4)＝1－0.2＝0.8.
解题高手
妙解题
某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
[尝试]　
　
　
[巧思]　要判断这批零件是否合格，由假设检验的基本思想可知，关键是看随机抽查的一件零件的外直径是在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，还是在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外．若该零件的外直径在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之间，则认为该厂这批零件是合格的，否则，就认为该厂这批零件是不合格的．
[妙解]　由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，
由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间
(4－3×0.5,4＋3×0.5)，
即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.0026，而5.7?(2.5,5.5)．
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
1．正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是(　　)
A．0和8　　　　　　 B．0和4
C．0和2 D．0和
解析：选C　由条件可知μ＝0，σ＝2.
2．右图是当X取三个不同值X1，X2，X3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A．σ1>1>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
解析：选D　当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝·e.在x＝0时，取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.
3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝(　　)
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
解析：选C　正态曲线关于x＝2对称，P(X＜4)＝0.8，
∴P(X>4)＝0.2，而P(X>4)＝P(X<0)，
又P(X＜2)＝0.5，
∴P(04．若随机变量x～N(μ，σ2)，则P(x≤μ)＝________.
解析：由于随机变量x～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线x＝μ对称，故P(x≤μ)＝.
答案：
5．设随机变量X～N(4，σ2)，且P(4解析：∵P(4∴P(X<0)＝＝0.2.
答案：0.2
6．已知X～N(1,4)，求X落在(－∞，3)内的概率．
解：由题意知μ＝1，σ＝2，
∴P(－1由正态曲线的对称性，可知
P(X>3)＝×(1－0.683)＝0.158 5，
∴在(－∞，3)内取值的概率为
1－0.158 5＝0.841 5.
一、选择题
1．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)＝(　　)
A．0.158 8　　　　　　　 B．0.158 7
C．0.158 6 D．0.158 5
解析：选B　正态曲线关于μ＝3对称，
P(X>4)＝＝0.158 7.
2．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于(　　)
A．a B．1－a
C．2a D．1－2a
解析：选B　因为X服从正态分布N(2，σ2)，
所以正态曲线关于直线x＝2对称，
所以P(X>4－c)＝P(Xc)＝1－a.
3．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于(　　)
A．2 B．10
C. D．可以是任意实数
解析：选A　由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2，∴k＝2.
4．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
解析：选B　由正态分布的概率公式知
P(－3<ξ<3)＝0.682 6，
P(－6<ξ<6)＝0.954 4，
故P(3<ξ<6)＝
＝＝0.135 9＝13.59%，故选B.
二、填空题
5．某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有________人．
解析：设X表示该市学生的数学成绩，则X～N(80,102)，则P(80－10答案：16 392
6.右图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________.
解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．
答案：①　②　③
7．若随机变量X服从正态分布N(0,1)，已知P(X＜－1.96)＝0.025，则P(|X|＜1.96)＝________.
解析：由随机变量X服从正态分布N(0,1)，
得P(X＜1.96)＝1－P(X≤－1.96)．
所以P(|X|＜1.96)＝P(－1.96＜X＜1.96)
＝P(X＜1.96)－P(X≤－1.96)
＝1－2P(X≤－1.96)
＝1－2×0.025
＝0.950.
答案：0.950
8．若随机变量X的正态分布密度函数是φμ，σ(x)＝×e (x∈R)，则E(2X－1)＝________.
解析：由题知σ＝2，μ＝－2，
故E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.
答案：－5
三、解答题
9．工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解：∵X～N，∴μ＝4，σ＝.
∴不属于区间(3,5)的概率为
P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3＜X＜5)
＝1－P(4－1＜X＜4＋1)
＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)
＝1－99.7%＝0.3%.
∴1 000×0.003＝3(个)．
即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个．
10．若随机变量X～N(0,1)，查表求：
(1)P(0(3)P(|X|<0.5)．
解：(1)P(0＝0.989 6－0.5＝0.489 6.
(2)P(－1.38≤X<0)＝P(0＝P(X≤1.38)－P(X≤0)
＝0.916 2－0.5＝0.416 2.
(3)P(|X|<0.5)＝P(－0.5＝P(－0.5＝2P(0＝2[P(X<0.5)－P(X≤0)]
＝2(0.691 5－0.5)
＝2×0.191 5＝0.383 0.