2019年数学湘教版选修2-3新设计同步（讲义）：模块综合检测

模块综合检测
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法共有(　　)
A．24种　　　　　　　　　 B．18种
C．12种 D．6种
解析：选B　先选择一块土地种植黄瓜，有C种选择，再从剩余的3种蔬菜选出2种分别种在剩余的两块土地上有A种法，所以有C·A＝18种不同的种植方法．
2．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归直线＝x＋必过(，)；
④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
⑤在一个2×2列联表中，由计算得k＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　由方差的定义知①正确，由线性回归直线的特点知③正确，②④⑤都错误．
3．设随机变量服从正态分布N(0,1)，P(X＞1)＝p，则P(－1＜X＜1)＝(　　)
A.p B．1－p
C．1－2p D.－p
解析：选C　P(－1＜X＜1)＝1－P(X＞1)－P(X＜－1)＝1－2P(X＞1)＝1－2p.
4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表．由此建立的身高与年龄的回归模型为＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是(　　)
年龄/岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
94.8
104.2
108.7
117.8
124.3
130.8
139.0
A.身高一定在145.83 cm
B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm左右
D．身高在145.83 cm以下
解析：选C　将x＝10代入得＝145.83，但这种预测不一定准确，应该在这个值的左右．
5．5个人排成一排，甲、乙两人中至少有一人站在两端的排法种数为(　　)
A．A B．4A
C．A－AA D．AA＋AAA
解析：选C　不考虑限制条件有A种，甲、乙两人都站中间有AA种，则A－AA即为所求．
6.8的展开式中的常数项是(　　)
A．7 B．－7
C．28 D．－28
解析：选A　Tr＋1＝C8－rr＝(－1)r·8－r·Cx＝(－1)r8－rCx.
令8－r＝0，解得r＝6，
T7＝(－1)6×8－6·C＝7.
7．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是(　　)
A．0.45 B．0.6
C．0.65 D．0.75
解析：选D　目标被击中的情况有：
①甲击中，乙未击中；②甲未击中，乙击中；③甲击中，乙也击中．
因此目标被击中的概率为P＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，
所以所求概率为＝0.75.
8．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：
学位
性别
硕士
博士
合计
男
162
27
189
女
143
8
151
合计
305
35
340
根据以上数据，则(　　)
A．性别与获取学位类别有关
B．性别与获取学位类别无关
C．性别决定获取学位的类别
D．以上都是错误的
解析：选A　由列联表可得：博士：男性占≈77%，女性占≈23%，相差很大，所以性别与获取学位的类别有关．
9．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
解析：选C　当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(－y)3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系数为C×23－C×22＝10×(8－4)＝40.
10．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝.又A，B相互独立，则，也相互独立，则P(∩ )＝P()P()＝×＝，故至少有一项合格的概率为P＝1－P( ∩)＝.
11.n展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)
A．180 B．90
C．45 D．360
解析：选A　只有第六项二项式系数是最大，则n＝10，
Tr＋1＝C()10－rr＝2rCx，令5－r＝0，
r＝2，T3＝4C＝180.
12．从字母a，b，c，d，e，f中选出4个数排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻(a在b的前面)，共有排列方法(　　)
A．36种 B．72种
C．90种 D．144种
解析：选A　从c，d，e，f中选2个，有C种选法，把a，b看成一个整体，则3个元素全排列为A种排法，共有CA＝36(种)排法．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．
解析：∵X～N(1，σ2)，故X在(0,1)及(1,2)内取值的概率相同均为0.4，如图所示，故X落在(0,2)内取值的概率为P(0＜X＜1)＋P(1＜X＜2)＝0.4＋0.4＝0.8.
答案：0.8
14．已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.
解析：x8的系数为Ck4＝15k4，
∵15k4<120，k4<8，
∴k＝1.
答案：1
15．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.
解析：设父亲身高为x cm，儿子身高为y cm，则
x
173
170
176
y
170
176
182
＝173，＝176，b＝＝1，
a＝－b＝176－1×173＝3，
∴y＝x＋3，当x＝182时，y＝185.
答案：185
16．一排长椅有7个座位，4个人坐，要求3个空位中有2个空位相邻，另一个空位与这两个空位不相邻，共有________种坐法．
解析：可以用插空法或间接法．
法一：把2个相邻空位看成一个整体，另一个空位与这个整体不相邻，就是用4个人把2个元素隔开．可以先让4人坐在4个位置上，再让空位的2个元素选择被4个人造成的5个“空隙”中的2个，这样有A·A＝480(种)坐法．
法二：从全部入座的方法中，减去3个空位全相邻和3个空位全分开的坐法，得共有A－A·C－A·C＝480(种)坐法．
答案：480
三、解答题(本大题共有6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．
解：法一：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B.注意，这里的问题和求“第一次取到白球，第二次取到黑球的概率”不一样．
显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率P(A∩B)＝＝.由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝＝＝.
法二：抓住条件概率的本质，这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率当然是.
18．(本小题满分12分)已知n展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64.
(1)求x3项的系数；
(2)求二项式系数最大的项．
解：令x＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有＝2n＝64，
∴n＝6.
(1)由Tr＋1＝C()6－rr＝3rCx可知，
当r＝0时，x3项的系数为30C＝1.
(2)∵此展开式共有7项，
∴二项式系数最大的项为第4项．
∴T4＝C()33＝540.
19．(本小题满分12分)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的.
若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？
解：设男生人数为x，依题意可得列联表如下：
喜欢韩剧
不喜欢韩剧
总计
男生


x
女生



总计

x
x
若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2>3.841，
由χ2＝＝x>3.841，
解得x>10.24，
∵，为整数，
∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．
20．(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，
由表格数据知
P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，
P(X＝500)＝＝0.4.
因此X的分布列为：
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.
因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.
当200≤n<300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温低于20，
则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.
因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.
所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．
21．(2017·全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
，
χ2＝.
解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
根据表中数据及χ2的计算公式得，
χ2＝≈15.705.
由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．
22．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，
A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意知A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2.
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2)
＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)
＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)
＝×＋×＝.
故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，
由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，
所以X～B.
于是P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C30＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P




X的数学期望为E(X)＝3×＝.