2019年数学湘教版选修2-3新设计同步（讲义）：第7章 7.3 组 合

7．3组__合
第一课时　组合与组合数公式及其性质
[读教材·填要点]
1．组合
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序地构成一组，称为一个组合，我们用符号C表示所有不同的组合个数，称C为从n个不同的元素中取m个元素的组合数．
2．组合数有关公式
(1)C＝＝,0≤m≤n.
(2)C＝,0≤m≤n.
3．组合数的性质
(1)C＝C，
(2)如果C＝C，则m＝k或者m＝n－k，
(3)C＝C＋C.
[小问题·大思维]
1．“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合？
提示：由于“abc”与“acb”的元素相同，但排列的顺序不同，所以“abc”与“acb”是相同的组合，但不是相同的排列．
2．如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？
提示：区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素是否与顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．
3．“组合”和“组合数”是同一个概念吗？有什么区别？
提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数.
组合的概念
[例1]　判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
(3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？
[解]　(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．
(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题．
区分排列与组合的方法
区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
1．判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
(3)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．
(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．
组合数公式及其性质应用
[例2]　(1)求值：C＋C；
(2)求证：C＝C.
[解]　(1)解得4≤n≤5.
又因为n∈N＋，所以n＝4或n＝5.
当n＝4时，原式＝C＋C＝5，
当n＝5时，原式＝C＋C＝16.
(2)证明：因为C＝，
C＝·
＝，
所以C＝C.
关于组合数公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用C＝·＝＝C进行计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．
(3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算．
2．(1)计算C＋C·C；
(2)计算C＋C＋C＋C＋C＋C；
(3)解方程：C＝C；
(4)解不等式：C＞C＋C.
解：(1)原式＝C＋C×1＝＋
＝56＋4 950＝5 006.
(2)原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)
＝2×＝32.
(3)∵C＝C，
∴x2－x＝5x－5　　　　　　　　　　①
或x2－x＋5x－5＝16. ②
解①得x＝1或x＝5.
解②得x＝3或x＝－7.
经检验知，原方程的解是x＝1或x＝3.
(4)原不等式可化为C＞C＋C，即C＞C，
∴＞.
∴30＞(m－4)(m－5)．
即m2－9m－10＜0，
∴－1＜m＜10.
又∵m≥7且m∈N*，
∴m＝7或8或9.
组合的简单应用
[例3]　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[解]　(1)C＝792种不同的选法；
(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法；
(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．
解简单的组合应用题，只需按照组合的定义，直接列出组合数即可，注意分清元素的总个数及取出元素的个数，必要时，需要分清完成一件事情需要分类还是分步．在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．
3．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45.
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C种方法；
第2类，选出的2名是女教师有C种方法．
根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21种不同的选法．
(3)分步：首先从6名男教师中任选2名，有C种选法，再从4名女教师中任选2名，有C种选法，根据分步乘法计数原理，所以共有C·C＝90种不同的选法.
解题高手
妙解题
化简：A＋A＋A＋…＋A.
[尝试]　


[巧思]　由于A＝C·A(n≥2)，所以原式可变形为(C＋C＋C＋…＋C)·A，然后利用组合数性质C＋C＝C求解即可．
[妙解]　原式＝CA＋CA＋…＋CA
＝(C＋C＋…＋C)·A
＝(C＋C＋C＋C＋…＋C－C)·A
＝(C＋C＋C＋…＋C－C)·A
＝(C＋C＋…＋C－C)·A
…
＝(C－C)·A
＝(C－1)·A
＝2C－2＝333 298.
1．以下四个问题，属于组合问题的是(　　)
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地
解析：选C　由组合的定义可知，选项C属于组合问题．
2．已知C＝10，则n的值为(　　)
A．10　　　　　　　　 B．5
C．3 D．4
解析：选B　∵C＝＝10，∴n＝5(n＝－4舍去)．
3．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是(　　)
A．20 B．9
C．C D．CC＋CC
解析：选B　分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C个平面；第二类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C个平面．故可确定C＋C＝9个不同的平面．
4．若C，C，C成等差数列，则n＝________.
解析：由已知得2C＝C＋C，所以2·＝＋.整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.
答案：7或14
5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.
解析：∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝.
答案：
6．已知6C＝10A，求x的值．
解：原方程变为
＝(x＞7)，
即x2－9x－22＝0.解得x1＝11，x2＝－2(舍去)，
所以x的值为11.
一、选择题
1．计算：C＋C＋C＝(　　)
A．120　　　　　　　　　 B．240
C．60 D．480
解析：选A　C＋C＋C＝＋＋＝120.
2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为(　　)
A．3 B．4
C．12 D．24
解析：选B　由于与顺序无关，所以是组合问题，共有C＝4个．
3．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
解析：选A　先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC＝12种安排方案．
4．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是(　　)
A．CC B．CC
C．C D．AA
解析：选B　按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC种抽法．
二、填空题
5．若C－C＝C，则n＝________.
解析：C－C＝C，即C＝C＋C＝C，
所以n＋1＝7＋8，即n＝14.
答案：14
6．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有__________对．
解析：三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．
答案：36
7．对所有满足1≤m≤n≤5的自然数m、n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．
解析：∵1≤m≤n≤5，∴C有C，C，C，C，C，C，C，C，C，C共10个．其中C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，所以x2＋Cy2＝1能表示的不同椭圆有6个．
答案：6
8．不等式C－n<5的解集为________．
解析：由C－n<5，得－n<5，
∴n2－3n－10<0.
解得－2∴n＝2,3,4.
故原不等式的解集为{2,3,4}．
答案：{2,3,4}
三、解答题
9．(1)解方程：A＝6C；
(2)解不等式：C>3C.
解：(1)原方程等价于
m(m－1)(m－2)＝6×，
∴4＝m－3，m＝7.
(2)由已知得：
∴x≤8，且x∈N＋，∵C>3C，
∴>.
即>，
∴x>3(9－x)，解得x>，∴x＝7,8.
∴原不等式的解集为{7,8}．
10．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球．
(1)共有多少种不同结果？
(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？
(3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？
解：(1)从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果有C＝84个不同结果．
(2)设“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A，
A所包含的种数为CC.
所以共有CC＝30种不同的结果．
(3)设“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成集合为B，B包含的结果数是C＋CC.
所以共有C＋CC＝34种不同的结果．
第二课时　组合的综合应用
有限制条件的组合问题
[例1]　某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[解]　(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除去外科专家的6名专家中任选4名，有C种选法，所以共有C·C＝90(种)抽调方法．
(2)“至少”的含义是“不低于”，有两种解答方法：
法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C·C种选法；
②选3名外科专家，共有C·C种选法；
③选4名外科专家，共有C·C种选法；
根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185(种)抽调方法．
法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法．考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；考虑没有外科专家参加，有C种选法，所以共有
C－C·C－C＝185(种)抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答：
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有C·C种选法．
③有2名外科专家参加，有C·C种选法．
所以共有C＋C·C＋C·C＝115(种)抽调方法．
保持例题条件不变，求恰有1名外科专家的抽调方法有多少种？
解：恰有1名外科专家指：1名外科专家和5名非外科专家，故有C·C＝4×6＝24种不同的抽调方法．
解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”，其中用直接法求解时，应依据“特殊元素优先安排”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．
1．课外活动小组共13人，其中男生8名，女生5名，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两名队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．
解：(1)一名女生，四名男生，故共有C·C＝350(种)选法．
(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，
故共有C·C＝165(种)选法．
(3)直接法：至少有一名队长当选含有两类情况：只有一名队长当选和两名队长都当选，
故共有C·C＋C·C＝825(种)选法．
间接法：共有C－C＝825(种)选法．
(4)至多有两名女生当选含有三类情况：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．
故共有C·C＋C·C＋C＝966(种)选法．
(5)分两类：第一类女队长当选：C种；第二类女队长不当选：(C·C＋C·C＋C·C＋C)种．故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种)选法.
几何问题中的组合问题
[例2]　平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．
(1)经过这9个点，可确定多少条直线？
(2)以这9个点为顶点，可确定多少个三角形？
(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？
[解]　法一：(直接法)
(1)可确定直线C＋CC＋C＝31(条)．
(2)可确定三角形CC＋CC＋C＝80(个)．
(3)可确定四边形CC＋CC＋C＝105(个)．
法二：(间接法)
(1)可确定直线C－C＋1＝31(条)
(2)可确定三角形C－C＝80(个)．
(3)可确定四边形C－C－CC＝105(个)．
解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
2．已知M，N是两个平行平面，在M内取4个点，在N内取5个点，这9个点中再无其他4点共面，则
(1)这些点最多能确定几个平面？
(2)以这些点为顶点，能作多少个三棱锥？
解：法一：直接法：
(1)在平面M内取2个点有C种方法，在平面N内取1个点有C种方法，这3个点肯定不共线，可构成CC个平面；在平面M内取1个点，在平面N内取2个点，可构成CC个平面，再有就是M、N这两个平面．
共有CC＋CC＋2＝72个平面；
(2)在平面M内取3个点有C种方法，在平面N内取1个点有C种方法，这4个点可构成CC个三棱锥；在平面M内取2个点，在平面N内取2个点；还可以在平面M内取1个点，在平面N内取3个点．可构成CC＋CC＋CC＝120个三棱锥．
法二：排除法：
(1)从9个点中任取3个点的方法有C种，其中从平面M内4个点中任取3个点，即C种，从平面N内5个点中任取3个点，即C种，这C及C表示的都仅仅是平面M及平面N.
能构成C－C－C＋2＝72个平面；
(2)从9个点中任取4个点的方法C中去掉从平面M内4个点取4个及从平面N内5个点任取4个点这两类构不成三棱锥(仅是平面M或平面N)的情况．
能构成C－C－C＝120个三棱锥．
排列与组合的综合应用
[例3]　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
[解]　(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CC＋CC种，后排有A种，
共(CC＋CC)·A＝5 400种．
(2)除去该女生后，先选后排有C·A＝840种．
(3)先选后排，但先安排该男生有C·C·A＝3 360种．
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，
共C·C·A＝360种．
解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：
(1)按事情发生的过程进行分步；
(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑；
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．
3．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有1个空盒，有几种放法？
(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？
解：(1)44＝256(种)．
(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A种不同的放法．根据分步乘法计数原理，不同的放法共有CA＝144(种)．
(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个小盒中有A种放法，共有CA种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有CA＋CC＝84(种)．
解题高手
多解题
用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？
[解]　法一：直接法
把从5个偶数中任取2个分为两类：
(1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有CC种；第2步，对选出的5个数字全排列有A种方法．
故所有适合条件的五位数有CCA个．
(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C种取法，再把取出的4个数全排列有A种方法，故有ACCA种排法．
根据分类加法计数原理，共有CCA＋ACCA＝11 040个符合要求的数．
法二：间接法
如果对0不限制，共有CCA种，其中0居首位的有CCA种．故共有CCA－CCA＝11 040个符合条件的数．
1．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(　　)
A．36种　　　　　　　　 B．48种
C．96种 D．192种
解析：选C　完成这件事情可用分步计数原理，有CCC＝96种．
2．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　)
A．140种 B．120种
C．35种 D．34种
解析：选D　若选1男3女有CC＝4种；若选2男2女有CC＝18种；若选3男1女有CC＝12种，所以共有4＋18＋12＝34种不同的选法．
3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)
A．30种 B．35种
C．42种 D．48种
解析：选A　法一：选修1门A类，2门B类课程的选法有CC种；选修2门A类，1门B类的课程的选法有CC种．故选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)．
法二：从7门选修课中选修3门的选法有C种，其中3门课都为A类的选法有C种，都为B类的选法有C种，故选法共有C－C－C＝30(种)．
4．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．
解析：第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C种不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C种不同的选法．
根据分步乘法计数原理，共有CC＝140种不同的安排方案．
答案：140
5．从4台甲型和5台乙型电视机中任选3台，其中至少有甲型和乙型电视各一台，则不同的取法有______种．
解析：分为两类：第一类，选出的3台电视机有2台甲型1台乙型有CC种选法；第二类，选出的3台电视机有1台甲型2台乙型有CC种选法；根据分类加法计数原理共有CC＋CC＝70种．
答案：70
6．某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？
解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有CC＝75(种)；
第二类，选的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为CCC＝100(种)；
第三类，选的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为CCC＝10(种)．
由分类加法计数原理，得不同的选法共有75＋100＋10＝185(种)．
一、选择题
1．某班共有10名任课教师，其中4名男教师，6名女教师．教师节这天要表彰一位男教师和一位女教师，不同的表彰方法有(　　)
A．12种　　　　　　　　 B．30种
C．15种 D．24种
解析：选D　分两步：第一步先选女教师，有C种选法；第二步选男教师，有C种选法，共有C·C＝24种选法．
2．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有(　　)
A．6个 B．12个
C．18个 D．30个
解析：选B　从6个顶点中任取4个有C＝15种取法，其中四点共面的有3个，所以满足题意的四面体有15－3＝12个．
3．将5名同学分成甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同分组方案的种数为(　　)
A．180 B．120
C．80 D．60
解析：选C　由题意可得不同的组合方案种数为CCA＋CC＝80.
4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　)
A．140种 B．120种
C．35种 D．34种
解析：选D　从7人中选4人，共有C＝35种选法，4人全是男生的选法有C＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.
二、填空题
5．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有________种．
解析：5人中选4人则有C种，周五一人有C种，周六两人则有C，周日则有C种，故共有C×C×C＝60(种)．
答案：60
6．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．
解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有CCA＝12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有CCA＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法．
答案：48
7．将0,1,2,3,4,5这六个数字，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数有________个．
解析：先选取三个不同的数有C种方法，然后将其中最大的数放在百位上，另外两个不同的数放在十位或个位上，有A种排法．故共有C·A＝40(个)三位数．
答案：40
8．某公司为员工制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果M，N为必选城市，并且在浏览过程中必须按先M后N的次序经过M，N两城市(M，N两城市可以不相邻)，则不同的游览线路种数是______．
解析：先M后N的次序和先N后M的次序各占总数的.通过分析，我们可以得到不同的游览线路种数为CCA＝600.
答案：600
三、解答题
9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务，
(1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？
(2)若男女各包2辆车，有多少种安排方法？
解：(1)先将3名男同志安排到车上有A种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同志有C种方法，还有2个女同志有A种安排方法，故共有ACA＝432(种)安排方法．
(2)男同志分2组有C种方法，女同志分2组有C种方法，将4组安排到4辆车上有A种方法，故共有CCA＝216(种)安排方法．
10．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC·22个．
(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C·22·A个．
(3)0和1都不取，有不同的三位数C·23·A个．
综上所述，共有不同的三位数：C·C·C·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个)．
法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C·23·A个，其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C·23·A－C·22·A＝432(个)．