2019年数学湘教版选修2-3新设计同步（讲义）：第7章 7.4 二项式定理

7.4二项式定理
第一课时　二项式定理及应用
[读教材·填要点]
1．杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是1，其余的数都是它“肩上”的两个数的和．
2．二项式定理
对于正整数n，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn.
3．二项展开式的通项公式
我们称Can－rbr是二项展开式的第r＋1项，其中C称作第r＋1项的二项式系数．把Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)叫做二项展开式的通项公式．
[小问题·大思维]
1．二项展开式中的字母a，b能交换位置吗？
提示：二项展开式中的字母a，b是不能交换的，即虽然(a＋b)n与(b＋a)n结果相同，但(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆，如(a＋b)3的展开式中第2项是3a2b，而(b＋a)3的展开式中第2项是3ab2，两者是不同的．
2．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？
提示：二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．
二项式定理的应用
[例1]　(1)求4的展开式；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解]　(1)法一：4
＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)·3＋C·4
＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二：4＝
＝
＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋＋.
(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
(1)记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷．
(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律及各项的系数．
1．(1)求5的展开式；
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
解：(1)法一：5
＝C(2x)5－C(2x)4·＋C(2x)3·2－C(2x)2·3＋C(2x)·4－C·5
＝32x5－80x2＋－＋－.
法二：5＝5＝－(1－2x3)5
＝－[1－C(2x3)＋C(2x3)2－C(2x3)3＋C(2x3)4－C(2x3)5]＝－＋－＋－80x2＋32x5.
(2)原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝(2x＋1－1)5＝(2x)5＝32x5.
二项式系数与项的系数问题
[例2]　(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求9的展开式中x3的系数．
[解]　(1)由已知得二项展开式的通项为
Tr＋1＝C(2)6－r·r
＝26－rC·(－1)r·x，　
∴T6＝－12·x.
∴第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为C·(－1)5·2＝－12.
(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则
Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，
令9－2r＝3，得r＝3，
即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.
本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．
解：由通项Tr＋1＝(－1)r·C·26－r·x，
知第四项的二项式系数为C＝20，
第四项的系数为C·(－1)3·23＝－160.
求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．
2．已知n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n的值；
(2)求展开式中x2的系数．
解：(1)n的展开式的通项为Tr＋1＝C·()n－r·r＝rC x.
又第6项为常数项，
所以当r＝5时，＝0，即n＝2r＝10.
(2)由(1)，得Tr＋1＝rCx，
令＝2，得r＝2，
所以展开式中x2的系数为2C＝.
与展开式中的特定项有关的问题
[例3]　(1)6的展开式中，常数项是(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C．－ D.
(2)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)
A. B.
C．1 D．2
[解析]　(1)6展开式的通项
Tr＋1＝C(x2)6－rr＝rCx12－3r，
令12－3r＝0，解得r＝4.
所以常数项为4C＝.
(2)依题意，注意到10的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·r＝C·x10－2r，10的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C、C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2.
[答案]　(1)D　(2)D
求展开式中特定项的方法
求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
3．已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n的值；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解：(1)通项为Tr＋1＝Cx (－3)rx－＝C(－3)rx.
因为第6项为常数项，所以r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2.
所以所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)根据通项，由题意得

所以r可取2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2，
即405x2，－61 236,295 245x－2.
解题高手
妙解题
若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，求a0＋a1＋2a2＋3a3的值．
[尝试]　
　
　
　[巧思]　因为展开式为x＋2的多项式，因此可考虑将2x＋3变形为2x＋3＝2(x＋2)－1，然后利用二项式定理展开即可．
[妙解]　由(2x＋3)3＝[2(x＋2)－1]3
＝C[2(x＋2)]3(－1)0＋C[2(x＋2)]2(－1)1＋C[2(x＋2)]1(－1)2＋C[2(x＋2)]0(－1)3
＝8(x＋2)3－12(x＋2)2＋6(x＋2)－1
＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3.
则a0＝－1，a1＝6，a2＝－12，a3＝8.
则a0＋a1＋2a2＋3a3＝5.
1．(x－1)5的展开式中第3项的系数为(　　)
A．－20　　　　　　　　 B．20
C．－20 D．20
解析：选D　∵Tr＋1＝C(x)5－r(－1)r，
∴T2＋1＝C(x)3(－1)2＝()3Cx3＝20x3，
∴第3项的系数为20.
2．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝(　　)
A．1 B．－1
C．(－1)n D．3n
解析：选C　逆用公式，将1看作公式中的a，－2看作公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
3.9展开式中的第四项是(　　)
A．56x3 B．84x3
C．56x4 D．84x4
解析：选B　由通项公式有T4＝Cx63＝84x3.
4.9的展开式中，常数项为________．
解析：Tr＋1＝C(2x)9－rr＝(－1)r·29－r·C·x，
令9－r＝0，得r＝6.
∴T7＝C×23＝672.
答案：672
5．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.
答案：
6．已知n(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含x的项．
解：由题意知第五项的系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则＝，
解得n＝8(n＝－3舍去)．
所以通项为
Tr＋1＝C()8－r·r＝C(－2)r·x.
令＝，得r＝1.
∴展开式中含x的项为T2＝－16x.
一、选择题
1．(x－)10展开式中x6的系数是(　　)
A．－8C　　　　　　　 B．8C
C．－4C D．4C
解析：选D　Tr＋1＝Cx10－r(－)r，
令10－r＝6，
∴r＝4，T5＝(－)4Cx6＝4Cx6，系数为4C.
2．若(1－2x)5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　T1＝C＝1，T2＝C·(－2x)＝－10x，
T3＝C·(－2x)2＝40x2.
根据题意可知即
解得－＜x≤0.
3.n的展开式中，常数项为15，则n的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D　由通项公式Tr＋1＝C(x2)n－r(－1)rx－r
＝(－1)rCx2n－3r.
令2n－3r＝0，得(－1)rC＝15，由r＝n，r∈N＋，排除选项B、C，再将选项B、D代入验证n＝6.
4．在6的二项展开式中，x2的系数为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C　在6的展开式中，第r＋1项为
Tr＋1＝C6－rr＝C6－rx3－r(－2)r，
当r＝1时，为含x2的项，
其系数是C5(－2)＝－.
二、填空题
5.10的展开式中含x的正整数指数幂的一共有________项．
解析：因为Tr＋1＝C()10－rr
＝Crx，
由5－r∈N＋知r＝0或r＝2，所以展开式中含x的正整数指数幂的一共有2项．
答案：2
6．若(1＋)4＝a＋b，则a－b＝________.
解析：∵(1＋)4＝C()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12，由已知，得17＋12＝a＋b，
∴a＝17，b＝12，故a－b＝17－12＝5.
答案：5
7.5的展开式中x8的系数是________________(用数字作答)．
解析：∵Tr＋1＝C·(x3)5－r·r＝C·x15－3r·r·x－＝r·C·x (r＝0,1,2,3,4,5)，
由＝8，得r＝2，
∴2·C＝.
答案：
8．(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为________．
解析：6的展开式中，Tr＋1＝Cx6－r·r＝(－1)rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，T4＝C(－1)3＝－C，令6－2r＝－1，得r＝(舍去)，令6－2r＝－2，得r＝4，T5＝C(－1)4x－2，所以(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为1×(－C)＋C＝－20＋15＝－5.
答案：－5
三、解答题
9．已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．
解：T5＝C()n－424x－8＝16Cx，
T3＝C()n－222x－4＝4Cx
由题意知，＝，
解得n＝10.
Tr＋1＝C()10－r2rx－2r＝2rCx，
令5－＝0，解得r＝2，
∴展开式中常数项为C22＝180.
10．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
解：(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.依题意得＋＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)展开式的通项
Tr＋1＝Cx·x＝C·x，
展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，
0≤r≤14，
所以展开式中的有理项共3项是：
r＝0，T1＝Cx7＝x7；
r＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；
r＝12，T13＝Cx5＝91x5.
第二课时　二项式系数的性质及应用
[读教材·填要点]
二项式系数的有关性质
(1)二项展开式一共有n＋1项．
(2)第一个字母a按降幂排列，第二个字母b按升幂排列．
(3)a的幂加b的幂等于n.
(4)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C＝C.
(5)二项式系数从两端向中间逐渐增大，且当n是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数C，C相等，且同时取得最大值．
(6)C＋C＋C＋…＋C＝2n，这可以在二项式定理中取a＝1，b＝1得到．
(7)C－C＋C＋…＋(－1)nC＝0，这可以在二项式定理中取a＝1，b＝－1得到．
[小问题·大思维]
1．若(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n为何值？
提示：由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9项，故n＝8.
2．(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和与a，b的取值有关系吗？
提示：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和与a，b的值无关，其和为C＋C＋C＋…＋C＝2n.
求展开式的系数和
[例1]　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
[解]　(1)令x＝0，则a0＝－1，
令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，
则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②
由得：a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256.
(3)由得：
a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128.
(4)法一：∵(3x－1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6)
＝8 256－(－8 128)＝16 384.
法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋3x)7展开式中各项的系数和，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16 384.
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n, (ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
1．设f(x)＝(x2＋x－1)9(2x＋1)6，试求f(x)的展开式中：
(1)所有项的系数和；
(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和．
解：(1)所有项的系数和为f(1)＝36＝729.
(2)所有偶次项的系数和为
＝＝364，
所有奇次项的系数和为
＝＝365.
求展开式中系数或二项式系数最大的项
[例2]　在8的展开式中，
(1)系数绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项；
(3)求系数最大的项；
(4)求系数最小的项．
[解]　Tr＋1＝C·()8－rr
＝(－1)r·C·2r·x.
(1)设第r＋1项系数的绝对值最大．
则
∴?5≤r≤6，
又∵r∈N＋，
∴r＝5或r＝6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．
∴T5＝C·24·x＝1 120x－6.
(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，而7项的系数为正．
则系数最大的项为
T7＝C·26·x－11＝1 792x－11.
(4)系数最小的项为
T6＝－C·25x＝－1 792x.
求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r项，第r＋2项)的系数均不大于第r＋1项的系数，由此列不等式组可确定r的范围，再依据r∈N*来确定r的值，即可求出最大项．
2．已知n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解：令x＝1，
则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n，
∴＝2n＝32，n＝5.
(1)∵n＝5，展开式共6项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，
则由Tk＋1＝C(x)5－k(3x2)k＝3kCx，
得∴≤k≤，∴k＝4，
即展开式中系数最大的项为
T5＝C(x)(3x2)4＝405x.
解题高手
妙解题
如果C＋C＋C＋…＋C＝，求(1＋x)2n的展开式中系数最大的项．
[尝试]　 　
　
[巧思]　由于2n是偶数，且(1＋x)2n展开式中各项的系数即为二项式系数，因此系数最大的项应为第n＋1项，因此只需确定n的值即可．等式可变形为(n＋1)C＋(n＋1)·C＋(n＋1)C＋…＋(n＋1)C＋C＝31，而(n＋1)C＝C，(n＋1)C＝C，(n＋1)C＝C，….故利用二项式系数的性质即可解决．
[妙解]　由C＋C＋C＋…＋C＝，得
(n＋1)C＋(n＋1)C＋(n＋1)C＋…＋(n＋1)C＋C＝31，
∴C＋C＋C＋…＋C＋C＝31，
即2n＋1－1＝31，∴2n＋1＝32，
∴n＋1＝5，即n＝4.
1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是(　　)
A．n，n＋1　　　　　　　 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
解析：选C　该式展开共2n＋2项，中间有两项；第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．
2．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A．10　　 B．20　　　C．30　　　D．120
解析：选B　由2n＝64，得n＝6，
∴Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r(0≤r≤6，r∈N＋)．
由6－2r＝0，得r＝3，∴T4＝C＝20.
3．若(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018 x2 018(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选C　令x＝0，得a0＝1.令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.
4．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
答案：5
5．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．
解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10 x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，
两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.
答案：
6．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．
解：由题意知，C＋C＋C＝121，
即C＋C＋C＝121，∴1＋n＋＝121，
解之得n＝15或n＝－16(舍去)．∴(1＋3x)15的展开式中二项式系数的最大项为第8项和第9项，且T8＝C(3x)7，T9＝C(3x)8.
一、选择题
1．已知(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|等于(　　)
A．29　　　　　　　 B．49
C．39 D．1
解析：选B　x的奇数次方的系数都是负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9.
∴已知条件中只需赋值x＝－1即可．
2．关于(a－b)10的说法，错误的是(　　)
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解析：选C　根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．
3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．29 B．210
C．211 D．212
解析：选A　由C＝C，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29.
4．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B　由二项式系数的性质知，二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C＝a，
二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C＝C＝b，因此13C＝7C，
所以13·＝7·，
所以m＝6.
二、填空题
5．(1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7等于________．
解析：令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝25，
∴－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝25－1＝31.
∴a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝－31.
答案：－31
6．(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．
解析：二项式(1－)20的展开式的通项是Tr＋1＝C·120－r·(－)r＝C·(－1)r·x.因此，(1－)20的展开式中，x的系数与x9的系数之差等于C·(－1)2－C·(－1)18＝C－C＝0.
答案：0
7．若对任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为________．
解析：设x－2＝t，则x＝t＋2，原等式可化为(t＋2)3＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3，所以a2＝C·2＝6.
答案：6
8．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2项的系数是________．(用数字作答)
解析：由题意知
C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C
＝C＋C＝C
＝
＝35.
答案：35
三、解答题
9．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：
(1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解：(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.
(2)令x＝1，可得
a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)
∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，
可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
与(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99
＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.
(5)∵Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，∴a2r－1<0(r∈N＋)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
10．已知(＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解：令x＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n.
又展开式二项式系数和为C＋C＋…＋C＝2n，
由题意有4n－2n＝992.
即(2n)2－2n－992＝0，(2n－32)(2n＋31)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32.
所以n＝5.
(1)因为n＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，
它们是T3＝C()3·(3x2)2＝90x6.
T4＝C()2(3x2)3＝270x.
(2)设展开式中第r＋1项的系数最大，
又Tr＋1＝C()5－r·(3x2)r＝C3rx，得
??≤r≤.
又因为r∈N＋，
所以r＝4，所以展开式中第5项系数最大．
T5＝C34x＝405x.