2019年数学湘教版选修2-3新设计同步（讲义）：第7章 章末小结

1．两个计数原理
(1)应用分类加法计数原理，应准确进行“分类”，明确分类的标准：每一种方法必属于某一类(不漏)，任何不同类的两种方法是不同的方法(不重)，每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”．
(2)应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步”的含义，完成这件事情，需要分成若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成，即这些步骤不能互相替代，任何一步不能跳过．
2．排列
排列定义特别强调了按“一定顺序”排成一列，就是说，取出的元素不同一定是不相同的排列，即使元素相同，顺序不同，也不是相同的排列．要特别注意“有序”与“无序”的区别．
3．组合
(1)组合的定义中包含两个基本内容：一是取出“元素”，二是“并成一组”，即表示与顺序无关．
(2)如果两个组合中的元素不完全相同就是不同的组合．
4．二项式定理
(1)(a＋b)n的展开式的通项为Tr＋1＝Can－rbr，且为展开式的第r＋1项．
(2)二项式系数的性质
①对称性：C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.
②增减性与最大值：二项式系数C，当r<时，二项式系数是递增的；当r>时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，中间的一项C取得最大值．
当n是奇数时，中间两项C和C相等，且同时取得最大值．
③二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，
且C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
两个计数原理的应用
[例1]　如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有(　　)
A．180种　　　　　 　 B．240种
C．360种 D．420种
[解析]　由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色．
①当用三种颜色时，花池2,4同色和花池3,5同色，此时共有A种方案．
②当用四种颜色时，花池2,4同色或花池3,5同色，故共有2A种方案．
③当用五种颜色时有A种方案．
因此所有栽种方案为A＋2A＋A＝420(种)．
[答案]　D
应用两个计数原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成．对于有些较复杂的既要分类又要分步的问题，应注意层次清晰，不重不漏，在分步时，要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响(即是否是独立的)．
1．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　　)
A．5 B．24
C．32 D．64
解析：选D　5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)，
第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)．
第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8，
根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数共有
8×8＝64.
2．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：选D　以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个).
排列组合应用题
[例2]　五位老师和五名学生站成一排：
(1)五名学生必须排在一起共有多少种排法；
(2)五名学生不能相邻共有多少种排法；
(3)老师和学生相间隔共有多少种排法．
[解]　(1)先将五名学生“捆绑”在一起看作一个与五位老师排列有A种排法，五名学生再内部全排列有A种，故共有A·A＝86 400种排法．
(2)先将五位老师全排列有A种排法，再将五名学生排在五位老师产生的六个空位上有A种排法，故共有A·A＝86 400种排法．
(3)排列方式只能有两类，如图所示：
○□○□○□○□○□
□○□○□○□○□○
(用□表示老师所在位置，用○表示学生所在位置)
故有2A·A＝28 800种排法．
“学生相邻”就“捆绑学生”，“学生不相邻”就插空．“捆绑”之中的元素有顺序，哪些元素不相邻就插空．
[例3]　由1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第2项是12 354，…直到末项(第120项)是54 321.问：
(1)43 251是第几项？
(2)第93项是怎样的一个五位数？
[解]　(1)由题意知，共有五位数为A＝120(个)，
比43 251大的数有下列几类：
①万位数是5的有A＝24(个)；
②万位数是4，千位数是5的有A＝6(个)；
③万位数是4，千位数是3，百位数是5的有A＝2(个)；
∴比43 251大的数共有24＋6＋2＝32个，
所以43 251是第120－32＝88项．
(2)从(1)知万位数是5的有A＝24个，
万位数是4，千位数是5的有A＝6(个)；
但比第93项大的数有120－93＝27个，第93项即倒数第28项，而万位数是4，千位数是5的6个数是45 321、45 312、45 231、45 213、45 132、45 123，从此可见第93项是45 213.
带有限制条件的排列组合问题，常用“元素分析法”和“位置分析法”，当直接考虑对象较为复杂时，可用逆向思维，使用间接法(排除法)，既先不考虑约束条件，求出所有排列组合总数，然后减去不符合条件的排列、组合种数．
3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
解析：选C　把一家三口看作一个排列，共有3个三口之家，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．
4．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A．72 B．120
C．144 D．168
解析：选B　依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120.
5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为(　　)
A．9 B．14
C．12 D．15
解析：选A　法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有CC种选法．故共有C＋CC＝9种选法．
法二：(间接法)C－C＝9种．
6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为(　　)
A．360 B．520
C．600 D．720
解析：选C　当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2CA＝480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为AA＝120，则不同的发言顺序的种数为480＋120＝600.
二项式定理及其应用
[例4]　(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)(2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a1＋a2＋a3＋…＋a10等于(　　)
A．1－310 B．－310－1 C．310－1 D．0
(3)(2017·山东高考)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.
[解析]　(1)展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，
解得a＝－1.
(2)令x＝1，得a0＝1，令x＝2，得a0＋a1＋…＋a10＝1，
所以a1＋a2＋…＋a10＝0.
(3)(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r.
令r＝2，得T3＝9Cx2.由题意得9C＝54，解得n＝4.
[答案]　(1)D　(2)D　(3)4
(1)二项式及其展开式的实质是一个恒等式，无论x取什么值，左、右两边代数式的值总对应相等．通常利用这一点，分析x取何值时，展开式等于所求式，再将此x值代入左侧的二项式，就可以得出结果，这种处理方法叫做赋值法．
(2)解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)．
7．已知n展开式中各项系数的和为256，求：
(1)n的值；
(2)展开式中所有有理项．
解：(1)由题意2n＝256，∴n＝8.
(2)通项公式Tr＋1＝C()8－rr＝Cx，
其中0≤r≤8，
要使展开式中的项为有理项，只要x的指数为整数，
则r＝0,4,8.
所以第1项，第5项与第9项为有理项，它们分别是x4,70x，x－2.
8．求5的展开式中含x4的项的系数．
解：∵5＝10，
∴通项公式为
Tr＋1＝Cx10－rr＝(－2)rCx10－2r，
令10－2r＝4，则r＝3，
∴x4的项的系数为(－2)3C＝－960.
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算C＋2A的值是(　　)
A．64　　　　　　　　　 B．80
C．13 464 D．40
解析：选B　C＋2A＝C＋2A＝＋2×4×3＝80.
2．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则不同的排列方法有(　　)
A．12种 B．20种
C．40种 D．60种
解析：选C　五个元素没有限制，全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故所求排列数为×2＝40.
3．如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为(　　)
A．320 B．160
C．96 D．60
解析：选A　按③→①→②→④的顺序涂色，有C×C×C×C＝5×4×4×4＝320种不同的方法．
4．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)
A．－150 B．150
C．300 D．－300
解析：选B　由题意知，M＝4n，N＝2n，由M－N＝240，
解得n＝4，则Tr＋1＝C·(5x)4－r·r＝(－1)r54－rCx，
令4－＝1得r＝2.
所以展形式中x的系数为(－1)2C·52＝150.
5．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．2
解析：选A　(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4×(－2＋)4＝1.
6．有9个男生，5个女生排成一排，要求女生排在一起(中间不能有男生)，不同的排法种数是(　　)
A．AA B．10A
C．AA D．2AA
解析：选C　把5名女生作为一个元素，与其他9名男生排列，有A种不同的排法，其中这5名女生有A种排法，根据分步乘法计数原理有AA种不同的排法．
7．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是(　　)
A．6A B．3A
C．2A D．AAA
解析：选D　先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A种选法，这两名女歌手有A种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A种排法，根据分步乘法计数原理，有AAA种出场方案．
8．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)
A．144个 B．120个
C．96个 D．72个
解析：选B　当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数．故符合条件的偶数共有2A＋CA＝120(个)．
9．若n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中含的项的系数是(　　)
A．7 B．－7
C．21 D．－21
解析：选C　赋值法，令x＝1，得展开式各项系数之和为(3－1)n＝2n＝128，所以n＝7，所以展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC·37－r·x，令7－r＝－3，得r＝6，故展开式中含的项的系数是C×3＝21.
10．将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有(　　)
A．34种 B．43种
C．18种 D．36种
解析：选D　必然有1个盒子放2个球，可以先取出2个球看作一个整体，有C种，再将3个元素排3个位置，有A种，共有CA＝36种．
11．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)
A．12种　　　　　　　 B．18种
C．24种 D．36种
解析：选D　因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36种．
12．在(1＋x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1－x2)n等于(　　)
A．0 B．pq
C．p2－q2 D．p2＋q2
解析：选C　由于(1＋x)n与(1－x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x)n＝p－q，所以(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(p＋q)(1－q)＝p2－q2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
13.12展开式中的常数项为________．
解析：由通项公式Tr＋1＝C x12－rr＝
(－1)rC x，
令12－r＝0解得r＝9.
∴T10＝－220.
答案：－220
14．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有________个．
解析：两个数的和等于11的情况有(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以满足条件的子集有C·C·C·C·C＝32(个)．
答案：32
15．5个人排成一排，要求甲、乙两个人之间至少有一个人，则不同的排法有________种．
解析：甲、乙两个人之间至少有一个人，就是甲、乙两个人不相邻，则有A·A＝72(种)排法．
答案：72
16.(1＋x)6展开式中x2的系数为________．
解析：(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30.
答案：30
三、解答题(本大题共有6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)六个人按要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(用数字作答，要有详细的说明过程)
(1)甲不站在两端；
(2)甲、乙不相邻；
(3)甲在乙的左边(可以不相邻)；
(4)甲、乙之间间隔两个人；
(5)甲不站左端，乙不站右端．
解：(1)先排甲，有C种；其余的人全排列有A种，故共有CA＝480(种)．
(2)法一：先计算甲、乙两个相邻的排法数共有AA＝240(种)，则甲、乙两个不相邻的方法数为A－AA＝480(种)．
法二：先排其余的四人有A＝24(种)，再在四个人的五个空隙中排甲、乙两人，共有A＝20(种)，根据分步乘法计数原理，共有AA＝480(种)．
(3)在无限制的排列中，共有A种，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的排列种数是相同的，故共有A＝360(种)排法．
(4)先从另外四人中选出两人排在甲、乙的中间有A种不同的排法，所以包括甲、乙这四人的排法有AA种排法，将这四人看作一个整体，与另外两人全排列有A种排法，根据分步计数原理可知共有AAA＝144(种)不同的排法．
(5)(排除法)甲站左端的排法数有A种，乙站右端的排法数有A种，甲站左端同时乙站右端的排法数有A种，所以甲不站左端，乙不站右端的排法数为A－2A＋A＝504(种)．
18．(本小题满分12分)已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的，试求展开式中二项式系数最大的项．
解：设展开式中第k项的系数是第k－1项系数的2倍，是k＋1项系数的.
所以解得n＝7.
所以展开式中二项式系数最大的项是
T4＝C(2)3＝280x与T5＝C(2)4＝560x2.
19．(本小题满分12分)用数字0,1,2,3,4组成四位数或三位数(数字可重复利用)．
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个大于2000的四位数？
(3)可组成多少个被3整除的三位数？
解：(1)A·53＝500或54－53＝500(间接法)．
(2)A·53－1＝374.
(3)各位数字之和是3的倍数的数可被3整除，
∴符合题意的有以下几种情况
①各位上数字相同有4个．
②含有0的数字，由0,0,3组成有1个，由0,1,2组成、或由0,2,4组成各有CC＝4(个).0,3,3组成有2个．
③由1,2,3组成或由2,3,4组成的各有A＝6个，由1,1,4组成的有3个，4,4,1组成的有3个．
所以共有4＋1＋2×4＋2＋2×6＋3×2＝33个．
20．(本小题满分12分)如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
解：(1)可分三种情况处理：
①C1，C2，…，C6这六个点任取三点可构成一个三角形；
②C1，C2，…，C6中任取一点，D1，D2，D3，D4中任取两点可构成一个三角形；
③C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取一点可构成一个三角形．
∴C＋CC＋CC＝116(个)．
其中含C1点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，
∴共有C＋CC＋CC＝360(个)．
21．(本小题满分12分)已知n，i是虚数单位，x>0，n∈N*.
(1)如果展开式中的倒数第3项的系数是－180，求n的值；
(2)对(1)中的n，求展开式中系数为正实数的项．
解：(1)由已知，得C(2i)2＝－180，即4C＝180，所以n2－n－90＝0，又n∈N＋，解得n＝10.
(2)10展开式的通项为
Tk＋1＝C·(2i)10－kx－2k＝C(2i)10－kx.
因为系数为正实数，且k∈{0,1,2，…，10}，
所以k＝2,6,10.
所以所求的项为T3＝11 520，T7＝3 360x－10，T11＝x－20.
22．(本小题满分12分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰成两双；
(3)4只鞋中有2只成双，另两只不成双．
解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同的选法，每双鞋子各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，即45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双鞋有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．