2019年数学湘教版选修2-3新设计同步（讲义）：第8章 8.2.1 概率的加法公式

8．1_&_8.2随机对照试验__概率
8．2.1　概率的加法公式
[读教材·填要点]
1．随机对照试验
随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验．我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂．
2．概率的加法公式
如果Ω的事件A1，A2，…，Am两两互斥，则
P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件两两互斥．
[小问题·大思维]
1．概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？
提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定对立，对立一定互斥．当计算事件A的概率P(A)比较复杂，困难时，常用公式P(A)＝1－P()求解．
2．必修五古典概型中我们就接触过概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，与本节的概率加法公式有什么区别和联系？
提示：本节的概率加法公式是必修五概率加法公式的一个推广，它们有共同的前提是事件两两互斥；但必修五中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的概率可以不相同，但事件间必须互斥．
互斥事件的概率
[例1]　(1)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.11
0.16
0.3
0.29
0.1
0.04
则至多2人排队的概率为(　　)
A．0.3　　　　　　　　 B．0.43
C．0.57 D．0.27
(2)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A. B.
C. D．1
[解析]　(1)记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，A，B，C彼此互斥．记“至多2人排队”为事件E.则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.
(2)设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
[答案]　(1)C　(2)C
运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏．
1．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率．
解：(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝，
故1张奖券的中奖概率约为.
对立事件的概率
[例2]　一名射手在某次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中的环数低于7环的概率．
[解]　(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在这次射击中，事件A与事件B不可能同时发生，故事件A与事件B是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A∪B.
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
∴射中10环或7环的概率为0.49.
(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．但由于这些概率都未知，故不能直接求解．可考虑从反面入手．“低于7环”的反面是“大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件的方法处理．设“低于7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”．由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥．
故P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
∴射中的环数低于7环的概率为0.03.
解决此类问题的规律是：
(1)①必须分清事件A、B是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式；②所求事件必须是几个互斥事件的和．满足以上两点才能用P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．
2．某单位36人的血型类别是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．
解：这2人血型不同的情况有：1人A型1人B型；1人A型1人AB型；1人A型1人O型；1人B型1人AB型；1人B型1人O型；1人AB型1人O型．共6种情况，而其反面是血型相同，只有4种情况．
法一：从36人中任选2人，共有C种选法，2人血型不同的概率为：
P＝＋＋＋＋＋＝.
法二：由于“2人血型不同”与“2人血型相同”为对立事件，因而2人血型不同的概率为：P＝1－＝1－＝.
解题高手
妙解题
随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．
[尝试]　
　
　
[巧思]　每个同学的生日月份都有12种可能，故9人的生日月份共有129个．至少有2个人的生日在同一月份，若正面求解则分类情况复杂，故可化为求其对立事件的概率．其对立事件为“所有人的出生月份都不同”有A种可能．
[妙解]　总事件数为129个，至少两人在同一月份出生的对立事件是“所有人出生月份均不相同”，则其概率为1－≈1－0.0155＝0.9845≈0.985.
答案：0.985
1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非对立事件　　　 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
解析：选A　由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．
2．在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　共90个数字，被2或3整除的数有45＋30－15＝60，故概率为＝.
3．从5张500元，3张800元，2张1 200元演唱会的门票中任取3张．则所取3张中至少有2张价格相同的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　3张中没有价格相同的取法有CCC＝30，则3张中至少有2张相同的概率为1－＝.
4．从一批乒乓球产品中任选一个，如果其重量小于2.45 g的概率是0.22，重量不小于2.50 g的概率是0.20，那么重量在2.45 g～2.50 g范围内的概率是________．
解析：重量在2.45 g～2.50 g范围内的概率是1－0.22－0.20＝0.58.
答案：0.58
5．同时抛掷两个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6)，则向上的一面数之积为偶数的概率为________．
解析：向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数，其可能出现的结果数为C·C，因此向上的一面数之积为奇数的概率P＝＝，从而向上的一面数之积为偶数的概率为：1－P＝1－＝.
答案：
6．银行部门收费项目多，手续繁琐，营业网点少等是人们比较关心的问题，银行部门虽增加了部分自助存取款功能的ATM机，也简化了部分手续，但仍没有彻底扭转这种局面．经统计，在某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下：
排队人数
0～10人
11～20人
21～30人
31～40人
41人以上
概率
0.12
0.27
0.30
0.23
0.08
计算：(1)至多20人排队的概率；
(2)至少11人但不超过40人排队的概率．
解：记“有0～10人排队”、“有11～20人排队”、“有21～30人排队”、“有31～40人排队”、“至多20人排队”、“至少11人但不超过40人排队”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则A与B是互斥事件，事件B，C，D两两互斥，从而
(1)P(E)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
＝0.12＋0.27＝0.39；
(2)P(F)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.27＋0.30＋0.23＝0.80.
一、选择题
1．一箱产品中有正品4件、次品3件，从中任取2件，其中事件：
①恰有1件次品和恰有2件次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少有1件次品和全是正品．
4组事件中是互斥事件的有(　　)
A．1组　　　　　　　　 B．2组
C．3组 D．4组
解析：选B　对于①，恰有1件次品就是1件正品1件次品，与恰有2件都是次品显然互斥；对于②，至少有1件次品包括有1件次品和2件全是次品，两事件不互斥；对于③，至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品， 与至少有1件次品显然不互斥；对于④，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品显然互斥．故是互斥事件的是①、④.
2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为(　　)
A．0.09 B．0.98
C．0.97 D．0.96
解析：选D　1－0.03－0.01＝0.96.
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)
A．60% B．30%
C．10% D．50%
解析：选D　“甲不输”事件是事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”的和事件，又事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”互斥．所以甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.
4．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　既有男同学又有女同学的对立事件为全为男同学或女同学，全为男同学的概率为，全为女同学的概率，故所求事件概率为1－－＝.
二、填空题
5．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的命题序号是________．
①A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
②B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
③A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
④A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
解析：由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．
答案：④
6．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
解析：断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.
答案：0.97　0.03
7．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
答案：　
8．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，则x＋y的最小值为________．
解析：由题意，x>0，y>0，＋＝1.则x＋y＝(x＋y)·＝5＋≥9，当且仅当x＝2y时等号成立，故x＋y的最小值为9.
答案：9
三、解答题
9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．
解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为
＝＝.
(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确．事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.
10．袋中有12只小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
解：从袋中任取一球，记事件A＝{摸得红球}，事件B＝{摸得黑球}，事件C＝{摸得黄球}，事件D＝{摸得绿球}，则有

解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
所以得到黑球的概率为，得到黄球的概率为，得到绿球的概率为.