2019年数学湘教版选修2-3新设计同步（讲义）：第8章 8.2.2 条件概率

8．2.2　条件概率
[读教材·填要点]
1．条件概率
设A，B是事件，且P(A)>0，以后总是用P(B|A)表示在已知A发生的条件下B发生的条件概率，简称条件概率．
2．条件概率的计算公式
如果P(A)>0，则P(B|A)＝.
3．条件概率的性质
①P(B|A)∈[0,1]
②如果B与C为两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
[小问题·大思维]
1．P(B|A)＝P(A∩B)吗？
提示：事件(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生，而事件A∩B是指事件A与事件B同时发生，故P(B|A)≠P(A∩B)．
2．P(B|A)和P(A|B)相同吗？
提示：P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)不同．
条件概率的计算
[例1]　在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
[解]　设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的基本事件总数为A＝20.
事件A所含基本事件的总数为A×A＝12.
故P(A)＝＝.
(2)因为事件A∩B含A＝6个基本事件．
所以P(A∩B)＝＝.
(3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为
P(B|A)＝＝＝.
法二：因为事件A∩B含6个基本事件，事件A含12个基本事件，所以P(B|A)＝＝.
条件概率的计算方法有两种：
(1)利用定义计算，先分别计算概率P(A∩B)和P(A)，然后代入公式P(B|A)＝.
(2)利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A，原来的事件B缩小为AB，利用古典概型计算概率：P(B|A)＝.
1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(A∩B)；
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？
解：(1)设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x，y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图．
显然：P(A)＝＝，
P(B)＝＝，P(A∩B)＝.
(2)法一：P(B|A)＝＝.
法二：P(B|A)＝＝＝.
条件概率的应用
[例2]　在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
[解]　法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，
则P(A)＝，P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝.
∴P(B|A)＝＝＝＝，
P(C|A)＝＝＝.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
∴所求的条件概率为.
法二：∵n(A)＝1×C＝9，n(B∪C|A)＝C＋C＝5，
∴P(B∪C|A)＝.
∴所求的条件概率为.
利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
2．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生考试中获得优秀”，则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝，
P(A∩D)＝P(A)，P(B∩D)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＋＝＋＝.
故所求的概率为.
解题高手
妙解题
盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
[尝试]　 　
　
[巧思]　本题数据较多，关系有点复杂，可采用列表方法理顺关系，这样不仅过程简单，同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率．
[妙解]　设事件A：“任取一个球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：
红球
蓝球
小计
玻璃球
2
4
6
木质球
3
7
10
小计
5
11
16
由表知，P(B)＝，P(A∩B)＝，
故所求事件的概率为P(A|B)＝＝＝.
1．若P(A)＝，P(B|A)＝，则P(A∩B)等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　利用条件概率的乘法公式求解．
P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝×＝.
2．用“0”“1”“2”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：选B　∵P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝，故选B.
3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　P(A)＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝＝＝.
4．若P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
解析：P(A|B)＝＝，
P(B|A)＝＝.
答案：　
5.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝______；(2)P(B|A)＝______.
解析：圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是，根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝，根据条件概率的公式得P(B|A)＝＝＝.
答案：(1)　(2)
6．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
解：设事件A表示“选到第一组学生”，
事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，P(A)＝＝.
(2)法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝.
法二：P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝.
一、选择题
1．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝×＝，
由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝.
2．4张奖券中只有一张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选B　设第一名同学没有抽到中奖券为事件A，最后一名同学抽到中奖券为事件B，
则P(B|A)＝＝.
3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
解析：选A　根据条件概率公式P(B|A)＝，可得所求概率为＝0.8.
4．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B).
而P(AB)＝＝，P(B)＝＝.
∴P(A|B)＝＝.
二、填空题
5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________．
解析：记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9.故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72.
答案：0.72
6．6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是________．
解析：甲排在第一跑道，其他同学共有A种排法，乙排在第二跑道共有A种排法，所以所求概率为＝.
答案：
7．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．
解析：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
答案：
8．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，记A＝{出现的点数为奇数}＝{1,3,5}，B＝{出现的点数不超过3}＝{1,2,3}．若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________．
解析：由题意知n(B)＝3，n(A∩B)＝2，故在出现的点数不超过3的条件下，出现的点数是奇数的概率为
P(A|B)＝＝.
答案：
三、解答题
9．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．
解：令A＝{第1只是好的}，B＝{第2只是好的}，
法一：n(A)＝CC，n(AB)＝CC，
故P(B|A)＝＝＝.
法二：因事件A已发生(已知)，故我们只研究事件B发生便可，在A发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(B|A)＝＝.
10．一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求：
(1)第1次取到黑球的概率；
(2)第1次和第2次都取到黑球的概率；
(3)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率．
解：设第1次取到黑球为事件A，第2次取到黑球为事件B，则第1次和第2次都取到黑球为事件A∩B.
(1)从袋中不放回地依次取出2个球的事件数为
n(Ω)＝A＝90.
根据分步乘法计数原理，n(A)＝A×A＝54.于是
P(A)＝＝＝.
(2)因为n(A∩B)＝A＝30.
所以P(A∩B)＝＝＝.
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次取到黑球的条件下，
第2次取到黑球的概率为
P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(A∩B)＝30，n(A)＝54，所以
P(B|A)＝＝＝.