2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第6章 6.1.3 & 6.1.4 演绎推理 合情推理与演绎推理的关系

6．1.3 & 6.1.4　演绎推理　合情推理与演绎推理的关系
[读教材·填要点]
1．演绎推理
(1)含义：从一般到特殊的推理．
(2)主要形式：
由大前提、小前提推出结论的三段式推理，其常用的一种格式：
M－P(M是P)，
.
此格式中包含三个判断：
①第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的事实或道理．
②第二个判断称为小前提，它指出了一个特殊情况．
③这两个判断联合起来揭示了一般事实或道理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断——结论．
2．合情推理与演绎推理的关系
在探索自然规律时，主要靠合情推理去探索，而对得到的结论正确与否，则需要用演绎推理来证明．
[小问题·大思维]
1．演绎推理的结论一定正确吗？
提示：演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．
2．“循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数．”的“大前提”、“小前提”和“结论”各是什么？
提示：所有的循环小数是有理数，(大前提)
0.33是循环小数，(小前提)
所以0.33是有理数．(结论)
3．演绎推理与合情推理的区别与联系是什么？
提示：(1)演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理．
(2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环节中扮演重要角色．因此，我们不仅要学会证明，而且要学会猜想．
三段论的形式
把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；
(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．
[自主解答]　(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，(大前提)
在一个标准大气压下把水加热到100℃，(小前提)
水会沸腾．(结论)
(2)一切奇数都不能被2整除，(大前提)
2100＋1是奇数，(小前提)
2100＋1不能被2整除．(结论)
(3)三角函数都是周期函数，(大前提)
y＝tan α是三角函数，(小前提)
y＝tan α是周期函数．(结论)
三段论的推理形式
三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b?c，a?b，则a?c.”其中，b?c为大前提，提供了已知的一般性原理；a?b为小前提，提供了一个特殊情况；a?c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．
1．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)若两角是对顶角，则此两角相等．所以，若两角不相等，则此两角不是对顶角；
(2)矩形的对角线相等．正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等；
(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
解：(1)两个角是对顶角，则两角相等，(大前提)
∠1和∠2不相等，(小前提)
∠1和∠2不是对顶角．(结论)
(2)每一个矩形的对角线都相等，(大前提)
正方形是矩形，(小前提)
正方形的对角线相等．(结论)
(3)三角函数是周期函数，(大前提)
y＝sin x是三角函数，(小前提)
y＝sin x是周期函数．(结论)
三段论在几何证明中的应用
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B，证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.(写出每一个三段论的大前提、小前提、结论)
[自主解答]　因为菱形的对角线互相垂直，(大前提)
侧面BCC1B1是菱形，(小前提)
∴B1C⊥BC1.(结论)
若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直，(大前提)
B1C⊥A1B，B1C⊥BC1，且A1B∩BC1＝B，(小前提)
∴B1C⊥平面A1BC1.(结论)
若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，(大前提)
B1C?平面AB1C，B1C⊥平面A1BC1，(小前提)
∴平面AB1C⊥平面A1BC1.(结论)
在三段论的应用过程中，往往多次用到三段论，类似这种命题证明的形式叫作复合三段论形式．事实上，每一次三段论的大前提并不一定写出，每一次三段论的小前提也并不一定写出，根据题意，如果是前面已证的结论，则可以省略．
2.如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．
证明：因为同位角相等，两条直线平行，(大前提)
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以FD∥AE.(结论)
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA，且FD∥AE，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
因为平行四边形的对边相等，(大前提)
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，(小前提)
所以ED＝AF.(结论)
演绎推理在代数中的应用
已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
[自主解答]　对于?x1，x2∈I，且x1设x1，x2是(－1，＋∞)上的任意两数，且x1f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－
＝ax1－ax2＋－
＝ax1－ax2＋，
∵a>1，且x1又∵x1>－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0.
∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(结论)
应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．
3．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜.
证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b＜a，m＞0，(小前提)
所以mb＜ma.(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)
mb＜ma，(小前提)
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
所以＜，即＜.(结论)
已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ACD.
[巧思]　已知条件中由重心想到重心分中线为2∶1的两段，进而得出平行，这是演绎推理思想的体现．
[妙解]　如图所示，连接BM，BN并延长分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.
因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，
所以P，Q分别是AD，DC中点．
又因为＝，所以MN∥PQ.
又MN?平面ADC，PQ?平面ADC，所以MN∥平面ACD.
1．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是(　　)
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
解析：由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形都是对角线相等的四边形，故应选B.
答案：B
2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)
A．结论正确　　　　　　　 　B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.
答案：C
3．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
解析：若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．
答案：A
4．已知结论“函数y＝2x＋5的图象是一条直线”，若将其恢复成完整的三段论后，大前提是____________________．
解析：大前提：一次函数的图象是一条直线，
小前提：函数y＝2x＋5是一次函数，
结论：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．
答案：一次函数的图象是一条直线
5．演绎推理证明“y＝x2，x∈(－∞，0)是减函数”时，大前提是________．
解析：大前提是：减函数的定义．
在x∈D内，若x1＜x2，则f(x1)＞f(x2)，
小前提是：y＝x2，x∈(－∞，0)时，对x1＜x2，
有f(x1)＞f(x2)，
结论：y＝x2，x∈(－∞，0)是减函数．
答案：减函数的定义
6．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，所以∠A＝∠B.
(3)由通项公式an＝2n＋3可知数列{an}为等差数列．
(4)Rt△ABC的内角和为180°.
解：(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)
菱形是平行四边形，(小前提)
菱形的对角线互相平分．(结论)
(2)等腰三角形两底角相等，(大前提)
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，(小前提)
∠A＝∠B.(结论)
(3)数列{an}中，若当n≥2时，an－an－1为常数，则数列{an}为等差数列，(大前提)
由通项公式an＝2n＋3可知：当n≥2时，则an－an－1＝2n＋3－＝2(常数)，(小前提)
数列为等差数列．(结论)
(4)三角形的内角和为180°，(大前提)
Rt△ABC是三角形，(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
一、选择题
1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　)
A．类比推理　　　　　 　B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
答案：C
2．下列推理过程属于演绎推理的是(　　)
A．老鼠、猴子与人在身体结构大有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验
B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每个顶点与对面重心的连线)交于一点
D．通项公式如an＝cqn(c，q≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列
解析：A、C是类比推理，B是归纳推理，D是演绎推理．
答案：D
3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环 小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是 无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是 无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是 无理数
解析：对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．
答案：B
4．已知f(x)＝x，求证：f(x)是偶函数．
证明：f(x)＝x，其定义域为{x|x≠0}，
又f(－x)＝(－x)＝－x
＝x·＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
此题省略了(　　)
A．大前提　　　　　　　 　B．小前提
C．推理过程 D．“三段”全没省略
解析：此题省略了“偶函数的定义”这一大前提．
答案：A
二、填空题
5．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析：因为当0a＝∈(0,1)，(小前提)
所以函数f(x)＝x为减函数．(结论)
故由f(m)>f(n)，得m答案：m6．补充下列推理的三段论：
(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a与b互为相反数且________，所以b＝8.
(2)因为y＝sin x在上是增函数，又因为__________，所以sin >sin .
答案：(1)a＝－8　(2)，∈且>
7．“由(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是________．
解析：∵a2＋a＋1＝2＋>0，
∴(a2＋a＋1)x>3?x>.
其前提依据为不等式的乘法法则：a>0，b>c?ab>ac.
答案：a>0，b>c?ab>ac
8．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)为减函数；
③f(x)的最小值是lg 2；
④当－11时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的序号是________．
解析：显然f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
当x>0时，f(x)＝lg＝lg.
设g(x)＝x＋，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
[f(x)]min＝f(1)＝lg 2.
∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．
答案：①③④
三、解答题
9．将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)函数y＝x的图象不过第四象限；
(2)四边形内角和为360°，则长方形的内角和为360°.
解：(1)幂函数的图象不过第四象限，(大前提)
函数y＝x是幂函数，(小前提)
函数y＝x的图象不过第四象限．(结论)
(2)四边形内角和为360°，(大前提)
长方形是四边形，(小前提)
长方形内角和为360°.(结论)
10．设m∈(－2,2)，求证方程x2－mx＋1＝0无实根(用三段论形式证)．
证明：因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac<0，那么方程无实根，(大前提)
一元二次方程x2－mx＋1＝0的判别式Δ＝m2－4，当m∈(－2,2)时，Δ<0，(小前提)
所以，当m∈(－2,2)时，方程x2－mx＋1＝0无实根．(结论)