2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第6章 6.2.2 间接证明：反证法

6．2.2　间接证明：反证法
[读教材·填要点]
1．反证法的定义
先假设原命题的否定成立，从这个假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结论，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立，这种间接证法称为反证法．
2．反证法的一般步骤
(1)反设；(2)归谬；(3)结论．
[小问题·大思维]
1．用反证法证明命题“若p，则q”时，綈q假，q即为真吗？
提示：是的．在证明数学问题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者中居其一，綈q是q的反面，若綈q为假，则q必为真．
2．反证法与逆否命题证明的区别是什么？
提示：反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p?q”与“綈q?綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q?綈p”为真命题来说明命题“p?q”为真命题，证明过程不出现矛盾．
用反证法证明否定型命题
直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．当点B在W上且不是W的顶点时，求证：四边形OABC不可能为菱形．
[自主解答]　假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.
由消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，
＝k·＋m＝，
设AC的中点为M，
则M，
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，
所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，
所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以四边形OABC不可能是菱形．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
证明：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，
而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，
则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．
∴n，an＋b均为奇数，又∵a＋b为偶数，
∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，
∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
∴f(x)＝0无整数根．
用反证法证明“至多”“至少”型命题
已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
[自主解答]　假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，
即：?
这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．
用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点
(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．
2．已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，
即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，
则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，
这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设错误．
所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
用反证法证明“唯一”型命题
用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．
[自主解答]　由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.
因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，
所以假设错误，原命题成立．
巧用反证法证明唯一性命题
(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．
(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．
(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．
3．设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．
证明：因为a>1，
所以f(0)＝1－a<0，
f(ln a)＝(1＋ln2a)eln a－a＝aln2a>0，
所以f(0)·f(ln a)<0，
由零点存在性定理可知f(x)在(0，ln a)内存在零点．
假设至少有2个零点，
则f(x)在(－∞，＋∞)上不单调．
由已知得f′(x)＝(1＋x2)′ex＋(1＋x2)(ex)′＝(1＋x)2ex≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，矛盾，
∴假设不成立，
则f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点.
证明：对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为常数)对称．
[巧思]　本题如果直接证明比较困难，但其反面相对来说比较简单，因此可采用反证法证明．
[妙解]　假设存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A，B在直线l：y＝kx＋1上；(3)线段AB的中点在直线y＝ax上，
所以
由
得(3－k2)x2－2kx－2＝0.　　　　　　　 ④
当k2＝3时，
l与双曲线仅有一个交点，不合题意．
由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2. ⑤
由④知x1＋x2＝，
代入⑤整理得：
ka＝3，这与①矛盾．
所以假设不成立，
故不存在实数k，
使得A，B关于直线y＝ax对称．
、
1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，假设的内容应该是(　　)
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a能被5整除
解析：至少有一个的反面应是一个都没有．
答案：B
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是(　　)
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
解析：“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．
答案：B
3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(　　)
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
答案：B
4．用反证法证明如果a＞b，那么＞，假设的内容应是________．
解析：＞的反设为≤.
答案：≤
5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案：③①②
6．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
证明：假设，，成等差数列，
则＋＝2，即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，即b＝，
所以a＋c＋2＝4，
所以(－)2＝0，即＝.
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
一、选择题
1．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)
A．都不大于－2　　　　 　B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
解析：因为a＋＋b＋＋c＋≤－6，所以三者不能都大于－2.
答案：C
2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，
所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”即“三个内角都大于60°”．
答案：B
3．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无穷多个
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N＋，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.
答案：A
4．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是(　　)
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的；②的假设是正确的．
答案：D
二、填空题
5．用反证法证明命题“a，b为整数，若a·b不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为__________________．
解析：“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”．
答案：a，b不都是奇数
6．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________________．
解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，
所以设为a≠1或b≠1.
答案：a≠1或b≠1
7．完成以下反证法证题的全过程．
设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：反设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝__________________________________①
＝__________________________________②
＝0.
但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：将a1－1，a2－2，…，a7－7相加后，再分组结合计算．
答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
8．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．　
解析：两个方程至少有一个方程有实根，考虑起来比较复杂，可以考虑其反面，即“两个方程都无实根”，这样求得a的集合记为A，那么原命题所求a的取值范围即为?RA，解法如下：
若两个方程都无实根?
??－2＜a＜－1.
则A＝{a|－2＜a＜－1}，
故?RA＝{a|a≤－2或a≥－1}．
答案：∪
三、解答题
9．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，f(c)＝0，且当00.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试用反证法证明：>c.
证明：(1)∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，
设为x1，x2.
∵f(c)＝0，
∴c是f(x)＝0的一个根，
不妨令x1＝c.
又x1x2＝，
∴x2＝ (≠c)，
∴是f(x)＝0的一个根，
即是函数f(x)的一个零点．
(2)由(1)知≠c，故假设∵>0，又当00，
∴f>0，与f＝0矛盾，
∴假设不成立，∴>c.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
解：(1)当n＝1时，
a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，
所以an＋1＋Sn＋1＝2，
两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，
公比为的等比数列，
所以an＝.
(2)证明：反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，
记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p则2·＝＋，
所以2·2r－q＝2r－p＋1.①
又因为p所以r－q，r－p∈N＋.
所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．
所以假设不成立，原命题得证．