2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第6章 6.3 数学归纳法

6．3数学归纳法
[读教材·填要点]
数学归纳法的概念及步骤
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当n＝n0(n0∈N＋)时命题成立；
(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何从n0开始的所有正整数n都成立．
上述证明方法叫作数学归纳法．
[小问题·大思维]
1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?
提示：不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.
2．数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系？
提示：步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．
这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，无法对n取n0后的数时结论是否正确做出判断；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．
用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明：
…＝(n≥2，n∈N＋)．
[自主解答]　①当n＝2时，左边＝1－＝，
右边＝＝，
∴左边＝右边．
②假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立，
即…＝.
那么n＝k＋1时，利用归纳假设有：
…
＝＝·＝＝.
∴即n＝k＋1时等式也成立．
综合①②知，对任意n≥2，n∈N＋等式恒成立．
用数学归纳法证明等式应注意的问题
(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
1．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，
即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋－
＝＋－
＝＋
＝＋＋…＋＋＋.
所以n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知等式对任意n∈N＋都成立．
用数学归纳法证明不等式
证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．
[自主解答]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
左边＝1＋＋＋…＋＋<
2＋＝<
＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．
用数学归纳法证明不等式注意的问题
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用 数学归纳法．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．
2．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.
求证：当n∈N＋时，an证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程a＋a2－1＝0的正根，所以a1(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，0≤ak则由a－a＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)
＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0，
得ak＋1根据(1)和(2)，可知an归纳—猜想—证明问题
数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明．
[自主解答]　∵a2＝，且an＋1＝(n≥2)，
∴a3＝＝＝，a4＝＝＝.
猜想：an＝(n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明猜想正确．
证明：(1)当n＝1,2易知猜想正确．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时猜想正确，
即ak＝.
当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝＝
＝＝
＝＝.
∴n＝k＋1时猜想也正确．
由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N＋都正确．
“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
3．已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和且Sn是2a与－2nan的等差中项，其中a是不为0的常数．
(1)求a1，a2，a3.
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解：(1)由题意知Sn＝a－nan，
当n＝1时，S1＝a1＝a－a1，解得a1＝.
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝a－2a2，解得a2＝.
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝a－3a3，解得a3＝.
(2)猜想：an＝(n∈N*)
证明：①当n＝1时，由(1)知等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，
即ak＝，则当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝a－(k＋1)ak＋1－(a－kak)，
所以ak＋1＝＝.
即当n＝k＋1时，等式成立．
结合①②得an＝对任意n∈N*均成立.
用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N＋.
[证明]　法一：(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，
42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)，
∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，
∴42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)能被13整除．
即当n＝k＋1时也成立．
由(1)(2)知，当n∈N＋时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．
法二：(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，即42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，
[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2)
＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－(42k＋1＋3k＋2)
＝42k＋1·13＋2·(42k＋1＋3k＋2)
∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除．
∴(42(k＋1)＋1＋3k＋3)－(42k＋1＋3k＋2)能被13整除．
因而42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．
∴当n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)知，当n∈N＋时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．
[点评]　用数学归纳法证明整除性问题时，证明n＝k＋1时成立是关键，其中的重要步骤是“凑项”，即通过增项、减项、拆项和因式分解等手段，将n＝k＋1时被除式凑成一部分能利用归纳假设，另一部分能被除式整除的形式．
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋<2　　　　　　 　B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
解析：∵n>1且n∈N＋，∴n0取的第一个值n0＝2.
答案：B
2．某个命题与自然数n有关，如果当n＝k(k∈N＋)时，该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立，现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
解析：若n＝4时成立，则n＝4＋1时也成立，与已知矛盾，故n＝4时不成立．
答案：C
3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　　)
A．1　　　　　　　　　 　B．1＋2
C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23
解析：当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.
答案：D
4．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是______________．
解析：∵210＝1 024>103,29＝512<93，
∴第一个值n0最小应当是10.
答案：10
5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
解析：n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．
答案：2k＋1
6．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)．
求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·(n≥2，n∈N＋)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1.
右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k时，结论成立，即
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)，
∴当n＝k＋1时结论仍然成立．
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n(n≥2，n∈N＋)．
一、选择题
1．若命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立，又已知命题p(2)成立，则下列结论正确的是(　　)
A．p(n)对所有自然数n都成立．
B．p(n)对所有正偶数n都成立．
C．p(n)对所有正奇数n都成立．
D．p(n)对所有大于1的自然数n成立．
解析：由递推规则可知选B.
答案：B
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)”，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　)
A．1　　　　　　　　　 　B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
解析：当n＝1时，n＋1＝2，所以左边＝1＋a＋a2.
答案：C
3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明
“1－＋－＋…＋＝2”时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)
A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立
解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2.
答案：B
4．用数学归纳法证明“12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝”时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　)
A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
解析：当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12
＝[12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12]＋k2＋(k＋1)2.
答案：B
二、填空题
5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②知，对任意n∈N*，等式成立．
上述证明中的错误是________．
解析：由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．
答案：没有用归纳假设
6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为____________________．
解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，
则当n＝k＋1时，左端为
1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
7．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·2…(2n－1)(n∈N＋)”时，从n＝k到n＝k＋1时，左边应增添的式子是________．
解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，
当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)·2(k＋1)
所以，左边应增添的式子是2(2k＋1)．
答案：2(2k＋1)
8．用数学归纳法证明“n3＋5n(n∈N＋)能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________________．
解析：证明当n＝k＋1时，n3＋5n能被6整除，一定要用到归纳假设“k3＋5k能被6整除”．故需将(k＋1)3＋5(k＋1)化成含有(k3＋5k)的形式，使用拼凑法．
答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
三、解答题
9．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，
即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1
＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]
＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)
＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N＋，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．
10．用数学归纳法证明(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝n2(n2－1)(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝0，右边＝0，等式成立．
(2)假设n＝k时，等式成立，即
(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k2(k2－1)成立．
当n＝k＋1时，
[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋
k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝[(k2－12)＋(2k＋1)]＋2[(k2－22)＋(2k＋1)]＋…＋
k[(k2－k2)＋(2k＋1)]
＝[(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)]
＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)
＝k2(k2－1)＋(2k＋1)·k(k＋1)
＝(k＋1)2[(k＋1)2－1]．
所以当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．