2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：模块综合检测

模块综合检测
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则 在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　　 　B．第三象限
C．第二象限 D．第四象限
解析：＝＝－，对应点在第四象限．
答案：D
2．已知f(x)＝x(2 018＋ln x)，f′(x0)＝2 019，则x0＝(　　)
A．e2　　　　　　　 　B．1
C．ln 2 D．e
解析：由题意可知f′(x)＝2 018＋ln x＋x·＝2 019＋ln x．
由f′(x0)＝2 019，得ln x0＝0，解得x0＝1.
答案：B
3．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．以上都不对
解析：取F(x)＝x2－x3，则F′(x)＝2x－3x2.
∴(2x－3x2)dx＝F(k)－F(0)＝k2－k3＝0，
∴k＝1或k＝0(舍去)．
答案：B
4．曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a＝(　　)
A．1 B．－1
C．7 D．－7
解析：f′(x)＝＝，
又∵f′(1)＝tan＝－1，∴a＝7.
答案：C
5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为(　　)
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
解析：因为a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.
答案：A
6.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心离为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)
A. B.
C.－1 D.＋1
解析：如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，
所以＝(c，b)，＝(－a，b)．
又因为⊥，所以·＝b2－ac＝0，
所以c2－a2－ac＝0，
即e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．
答案：A
7．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”时，S1等于(　　)
A. B.＋
C.＋＋ D．以上答案均不正确
解析：当n＝1时，S1＝＋＋＝＋＋.
答案：C
8.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)
A．－1 B．0
C．2 D．4
解析：由图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，
即f′(3)＝－.
又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
答案：B
9．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”．
其中类比结论正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①②正确，③错误．
答案：C
10．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为(　　)
A．e x1f(x2)＞e x2f(x1)
B．e x1f(x2)＜e x2 (x1)
C．e x1f(x2)＝e x2f(x1)
D．e x1f(x2)与e x2f(x1)的大小关系不确定
解析：设g(x)＝，则g′(x)＝＝，
由题意g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，
当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即＜，
所以e x1f(x2)＞e x2f(x1)．
答案：A
11．已知函数f(x)＝x，若f(x1)A．x1>x2 B．x1＋x2＝0
C．x1解析：因为f(－x)＝－x＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
由f(x1)得f(|x1|)又f′(x)＝ex－＋x＝，
当x≥0时，e2x(x＋1)＋x－1≥e0＝1>0，
所以f′(x)≥0，
所以f(x)在上为增函数，
由(*)式得|x1|<|x2|，即x答案：D
12．直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋ln x交于点A，B，则|AB|的最小值为(　　)
A．3 B．2
C. D.
解析：当y＝a时，2(x＋1)＝a，所以x＝－1.
设方程x＋ln x＝a的根为t，则t＋ln t＝a，
|AB|＝＝＝.
设g(t)＝－＋1(t>0)，
则g′(t)＝－＝，
令g′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0,1)时，g′(t)<0；
当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，
所以g(t)min＝g(1)＝，所以|AB|≥，
所以|AB|的最小值为.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)
13．复数z满足(1＋i)z＝|－i|，则＝________.
解析：∵(1＋i)z＝|－i|＝2，
∴z＝＝＝1－i，∴＝1＋i.
答案：1＋i
14．观察下列式子：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，…，
则可归纳出____________________________．
解析：根据三个式子的规律特点进行归纳可知，
1＋＋＋＋…＋<(n∈N＋)．
答案：1＋＋＋＋…＋<(n∈N＋)
15．一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，则此汽车在这1 min行驶的路程为______ m.
解析：由速度－时间曲线易知，
v(t)＝
由变速直线运动的路程公式可得
s＝3tdt＋30dt＋(－1.5t＋90)dt＝1 350 (m)．
答案：1 350
16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 018个梯形数为a2 018，则 a2 018＝________.
解析：5＝2＋3＝a1,
9＝2＋3＋4＝a2,
14＝2＋3＋4＋5＝a3，
…，
an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝＝(n＋1)(n＋4)，
由此可得a2 018＝2＋3＋4＋…＋2 020＝×2 019×2 022＝2 019×1 011.
答案：2 019×1 011
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z＝.
(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1；
(2)若实数a，b满足z2＋az＋b＝1－i，求z2＝a＋bi的共轭复数．
解：由已知得复数z＝＝＝＝＝＝1＋i.
复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，
则它们实部互为相反数，虚部相等，
所以z1＝－1＋i.
(2)因为z2＋az＋b＝1－i，
所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
因为a，b∈R，所以a＋b＝1，且2＋a＝－1，
解得a＝－3，b＝4，
所以复数z2＝－3＋4i，所以z2的共轭复数为－3－4i.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－1)，且在x＝1处，f(x)取得极值．
求：(1)函数f(x)的解析式；
(2)f(x)的单调递增区间．
解：(1)由f(x)＝ax3＋bx＋1的图象过点(1，－1)，得a＋b＝－2.
∵f′(x)＝3ax2＋b，
∴f′(1)＝3a＋b＝0，
∴由解得
∴f(x)＝x3－3x＋1.
(2)∵f′(x)＝3x2－3，
∴由f′(x)>0，得x>1或x<－1.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的 取值范围．
解：(1)由f(x)≥h(x)，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈(1，e)时，g′(x)＜0；
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，
所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增．
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.即m的取值范围是(－∞，e]．
(2)由已知可得k(x)＝x－2ln x－a.
函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，
相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点．
φ′(x)＝1－＝，
当x∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减，
当x∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．
又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，
要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2ln x有两个交点，
则2－2ln 2＜a＜3－2ln 3.
即实数a的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．
20．(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝can＋cn＋1(2n＋1)(n∈N＋)，其中实数c≠0.求{an}的通项公式．
解：a2＝ca1＋c2·3＝3c2＋c＝(22－1)c2＋c，
a3＝ca2＋c3·5＝8c3＋c2＝(32－1)c3＋c2，
a4＝ca3＋c4·7＝15c4＋c3＝(42－1)c4＋c3，
猜测an＝(n2－1)cn＋cn－1，n∈N＋.
下面用数学归纳法证明．
当n＝1时，等式成立．
假设n＝k时，等式成立，即ak＝(k2－1)ck＋ck－1，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝cak＋ck＋1(2k＋1)
＝c[(k2－1)ck＋ck－1]＋ck＋1(2k＋1)
＝(k2＋2k)ck＋1＋ck
＝[(k＋1)2－1]ck＋1＋ck.
即当n＝k＋1时，结论成立．
综上，{an}的通项公式为an＝(n2－1)cn＋cn－1(n∈N＋)．
21．(本小题满分12分)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地，用于建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？
解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为
4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，
从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多
100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，
写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，
所以函数表达式为
y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000
＝10x2＋790x＋9 000(x∈N＋)．
(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为
g(x)＝×10 000＝＝50，
则g′(x)＝50，
由g′(x)＝0及x∈N＋得，x＝30.
易知当x＝30时，g(x)取得最小值.
所以要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为30层．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x·ln x，g(x)＝ax3－x－.
(1)求f(x)的单调递增区间和最小值；
(2)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点处存在公共切线，求实数a的值．
解：(1)∵f′(x)＝ln x＋1，由f′(x)>0，得x>，
∴f(x)的单调递增区间为.
又当x∈时，
f′(x)<0，则f(x)在上单调递减，
∴f(x)的最小值为f＝－.
(2)∵f′(x)＝ln x＋1，g′(x)＝3ax2－，
设公切点的横坐标为x0，则与f(x)的图象相切的直线方程为y＝(ln x0＋1)x－x0，
与g(x)的图象相切的直线方程为y＝x－2ax－，
∴
解得x0ln x0＝－，
由(1)知x0＝，
∴a＝.