2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第4章 4.1 导数概念

4．1导数概念
[读教材·填要点]
1．物体在任意时刻的瞬时速度
若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝在d趋于0时的极限．
2．函数y＝f(x)的曲线上任一点处的切线斜率
函数y＝f(x)的曲线上任一点P(u，f(u))处的切线的斜率k(u)，就是过P(u，f(u))，Q(u＋d，f(u＋d))两点割线PQ的斜率k(u，d)＝在d趋于0时的极限．
3．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数：
设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值在d趋于0时(d≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0)，简述为：→f′(x0)(d→0)．
(2)导函数：
当x0为f(x)的定义区间中的任意一点，即为x，而f′(x)也是x的函数，叫作f(x)的导函数或一阶导数，若f′(x)在x处又可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)，类似地，可以定义三阶导数f?(x)等等．
[小问题·大思维]
1．若函数f(x)在[x1，x2]内差商为0，能否说明函数f(x)没有变化？
提示：不能说明．理由：函数的差商只能粗略地描述函数的变化趋势，步长d取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的差商为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f(x)＝x2在[－2,2]上的差商为0，但f(x)的图象在[－2,2]上先减后增．
2.函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)，f′(x2)和f′(x3)的大小吗？
提示：根据导数的几何意义，
因为在A，B处的切线斜率大于零且kA>kB，
在C处的切线斜率小于零，
所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．
3．f′(x0)与f′(x)的区别是什么？
提示：f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，d无关；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与d无关．
求函数在某一点处的导数
求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
[自主解答]　法一：f(3＋d)－f(3)＝2(3＋d)2＋4(3＋d)－(2×32＋4×3)
＝12d＋2d2＋4d
＝2d2＋16d，
∴＝＝2d＋16.
∴d→0时，f′(3)＝16.
法二：＝
＝4x＋2d＋4→4x＋4(d→0)，
即f′(x)＝4x＋4，
∴f′(3)＝4×3＋4＝16.
在本例中，若函数在x＝x0处的导数是8，求x0的值．
解：根据导数的定义，
＝
＝
＝4x＋2d＋4→4x＋4(d→0)，
∴f′(x)＝4x＋4.
令f′(x0)＝4x0＋4＝8，
解得x0＝1.
根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数的差分f(x0＋d)－f(x0)；
(2)求差商；
(3)取极限，d→0得导数f′(x0)．
1．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
解：f(1＋d)－f(1)＝(1＋d)－－＝d＋，
＝＝1＋，
∴d→0时，f′(1)＝1＋1＝2.
求瞬时速度
一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，且y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．
[自主解答]　根据导数的定义，
＝＝3，
∴f′(2)＝3.
f′(2)的意义是：水流在2 s时的瞬时流量为3 m3/s，即如果保持这一速度，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3.
求瞬时速度的步骤
(1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；
(2)求时间改变量d，位移改变量Δs＝s(t0＋d)－s(t0)；
(3)求平均速度；
(4)求瞬时速度，v＝li .
2．一辆汽车按规律s＝2t2＋3作直线运动，求这辆车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m.)．
解：设这辆车在t＝2附近的时间步长为d，
则位移的差分[2(2＋d)2＋3]－(2×22＋3)＝8d＋2d2，
差商＝8＋2d→f′(2)＝8(d→0)．
所以这辆车在t＝2时的瞬时速度为8 m/s.
确定或应用曲线的切线方程
抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线 方程．
[自主解答]　设P点坐标为(x0，y0)，
＝
＝2x＋d→y′＝2x(d→0)，
∴切线的斜率为k＝2x0.
又由切线与直线4x－y＋2＝0平行，
∴2x0＝4，∴x0＝2.
∵P(2，y0)在抛物线y＝x2上，
∴y0＝4.∴点P的坐标为(2,4)．
∴切线方程为y－4＝4(x－2)．
即4x－y－4＝0.
若将本例中的“平行”改为“垂直”，其它条件不变，如何求解？
解：设P点坐标为(x0，y0)，
＝
＝2x＋d→2x(d→0)，
∴y′＝2x，故切线斜率为k＝2x0.
又∵切线与直线4x－y＋2＝0垂直，
∴2x0＝－，
即x0＝－.
∴y0＝x＝.
∴P点坐标为.
切线方程为y－＝－，
即16x＋64y＋1＝0.
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
3．已知曲线C：y＝x3＋.
(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
解：(1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．
∵f(2＋d)－f(2)＝(2＋d)3＋－×23－＝4d＋2d2＋d3，
∴＝＝4＋2d＋d2，
当d趋于0时，趋于4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线的斜率为k＝4，
切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)由可得(x－2)2(x＋4)＝0.
解得x1＝2，x2＝－4.
从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20).
设P为曲线C：f(x)＝x2＋2x＋3上的一点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角θ的取值范围为，求点P横坐标的取值范围．
[巧思]　曲线C在点P处的切线的倾斜角θ的取值范围为，即切线的斜率k∈[0,1]，故曲线C在P点处的导数的取值范围为[0,1]．
[妙解]　设点P(x0，y0)，
则
＝2x0＋d＋2
→2x0＋2(d→0)．
∴f′(x0)＝2x0＋2.
∵θ∈，
∴0≤tan θ≤1.
即0≤2x0＋2≤1.
解得－1≤x0≤－.
∴点P横坐标的取值范围是.
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为(　　)
A．2x　　　　　　　 　B．2＋d
C．2 D．1
解析：y＝x2在x＝1处的导数为f′(1)，
则＝2＋d→2(d→0)，∴f′(1)＝2.
答案：C
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在 3秒末的瞬时速度是(　　)
A．7 米/秒 B．6 米/秒
C．5 米/秒 D．8 米/秒
解析：∵
＝5＋d→5(d→0)，∴s′(3)＝5.
答案：C
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　)
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
解析：由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以选A.
答案：A
4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵f(x)＝ax＋4，
∴→f′(1)＝a(d→0)．
又∵f′(1)＝2，∴a＝2.
答案：2
5.函数f(x)的图象如图所示，试根据函数图象判断0，f′(1)，f′(3)，的大小关系为______．
解析：设x＝1，x＝3时对应曲线上的点分别为A，B，
点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示．
则＝kAB，f′(3)＝kBQ，f′(1)＝kAT，
由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，
直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，
即kBQ∴0答案：06．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m，时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
解：(1)初速度v0＝
＝
＝3－d→3(d→0)．
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝
＝
＝＝－d－1→－1(d→0)．
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
一、选择题
1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)答案：B
2．下列说法正确的是(　　)
A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线
D．若y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在
解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其它的公共点，故A、B 错误；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线也可能存在，此时切线方程为 x＝x0，故C错误．
答案：D
3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为(　　)
A．4　　　　　　　　　 　B．16
C．8 D．2
解析：曲线在点A处的切线的斜率就是函数y＝2x2在x＝2处的导数．
＝→4x(d→0)．
∴f′(x)＝4x.则f′(2)＝8.
答案：C
4．已知曲线C：y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(　　)
A．(－2，－8) B．(2,8)
C．(－1，－1)或(1,1) D．
解析：设P(x0，y0)，
则→3x(d→0)，f′(x0)＝3x.
令3x＝3，解得x0＝1或x0＝－1.
∴P(1,1)或(－1，－1)．
答案：C
二、填空题
5．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为________．
解析：差商＝＝18＋3d→18(d→0)．
s′(3)＝18.
答案：18
6．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.
解析：差分＝7(t0＋d)2－13(t0＋d)＋8－7t＋13t0－8
＝14t0·d－13d＋7d2.
∴差商＝14t0－13＋7d→14t0－13(d→0)．
∴s′(t0)＝14t0－13＝1.
∴t0＝1.
答案：1
7．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：由导数的几何意义得f′(1)＝，
由切线方程得f(1)＝×1＋2＝，
所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
8．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
解析：＝＝→－(d→0)．
∴f′(－2)＝－.故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，
整理得x＋2y＋4＝0.
答案：x＋2y＋4＝0
三、解答题
9．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数，s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋d的平均速度，并求当d＝1，
d＝0.1与d＝0.01时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
解：(1)差分＝s(2＋d)－s(2)
＝3(2＋d)2＋2(2＋d)＋1－(3×22＋2×2＋1)
＝14d＋3d2，
＝差商＝14＋3d，
当d＝1时，＝17；当d＝0.1时，＝14.3；
当d＝0.01时，＝14.03.
(2)由(1)可知，14＋3d→14(d→0)，
∴s′(2)＝14.
∴当t＝2时的瞬时速度为14.
10．已知抛物线y＝2x2＋1，求
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
解：设切点的坐标为(x0，y0)，
则差分＝2(x0＋d)2＋1－2x－1
＝4x0·d＋2d2.
∴差商＝4x0＋2d.
当d无限趋近于零时，差商无限趋近于4x0.
即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝.
∴该切点为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4.
得x0＝1.∴该切点为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴斜率为8.
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2.
∴该切点为(2,9)．