2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第4章 4.2 导数的运算

4．2导数的运算
[读教材·填要点]
1．求导公式
(1)几个幂函数的导数：
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
(2)基本初等函数的导数公式：
原函数
导函数
f(x)＝xα(α≠0)
f′(x)＝α·xα－1
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x(x＞0)
f′(x)＝
f(x)＝logax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝tan x
f′(x)＝
2．求导法则
(1)(cf(x))′＝cf′(x)；
(2)(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，
(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)；
(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(4)′＝－(f(x)≠0)；
(5)′＝(f(x)≠0)；
(6)若y＝f(u)，u＝g(x)，则yx′＝yu′·ux′.
[小问题·大思维]
1．下面的计算过程正确吗？
′＝cos＝.
提示：不正确．因为sin＝是一个常数，
而常数的导数为零，所以′＝0.
若函数f(x)＝sin x，则f′＝.
2．若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)≠0，那么下列关系式成立吗？
(1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)；
(2)′＝－(a为常数)．
提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．
3．函数y＝ln(2x＋1)的导函数是什么？
提示：y＝ln(2x＋1)是由函数y＝ln u和u＝2x＋1复合而成的，
∴yx′＝yu′·ux′＝·(2x＋1)′＝＝.
应用导数公式求导数
求下列函数的导数：
(1)y＝10x；(2)y＝lg x－；(3)y＝logx；
(4)y＝；(5)y＝2－1.
[自主解答]　(1)y′＝(10x)′＝10xln 10.
(2)y′＝′＝(lg x)′－′＝＋.
(3)y′＝(logx)′＝＝－.
(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝ .
(5)∵y＝2－1
＝sin2＋2sincos＋cos2－1＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x；
(2)y＝x；
(3)y＝lg 5；(4)y＝3lg；
(5)y＝2cos2－1.
解：(1)y′＝′＝xln＝－＝－e－x.
(2)y′＝′＝xln＝
＝－10－xln 10.
(3)∵y＝lg 5是常数函数，
∴y′＝(lg 5)′＝0.
(4)∵y＝3lg＝lg x，
∴y′＝(lg x)′＝.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
利用导数运算法则求导数
求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝；(4)y＝xsin x－；
(5)y＝e3x；(6)y＝5log2(2x＋1)．
[自主解答]　(1)y′＝(x·tan x)′＝′
＝
＝＝.
(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′
＝3x2＋12x＋11.
(3)y′＝＝.
(4)y′＝(xsin x)′－′＝sin x＋xcos x－.
(5)函数y＝e3x可以看成函数y＝eu和函数u＝3x的复合函数．
∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(3x)′＝3eu＝3e3x.
(6)函数y＝5log2(2x＋1)可以看成函数y＝5log2u和函数u＝2x＋1的复合函数．
∴yx′＝yu′·ux′＝5(log2u)′·(2x＋1)′＝＝.
(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．
(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．
(3)对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解—求导—回代”，即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第③步回代的过程．
2．求下列函数的导数：
(1)y＝2xcos x－3xlog2x；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝；(4)y＝；
(5)y＝；(6)y＝x·e－x.
解：(1)y′＝(2xcos x－3xlog2x)′
＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3[x′log2x＋x(log2x)′]
＝2xln 2cos x－2xsin x－3(log2x＋x·)
＝2xln 2cos x－2xsin x－3log2x－.
(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)y′＝＝.
(4)法一：y′＝
＝＝
＝1－.
法二：∵y＝＝x－2＋，
∴y′＝1－.
(5)函数y＝＝(1＋3x)－4可以看作函数y＝t－4和t＝1＋3x的复合函数，根据复合函数求导法则可得yx′＝yt′·tx′＝(t－4)′·(1＋3x)′＝(－4t－5)·3＝－12(1＋3x)－5.
(6)函数y＝e－x可以看作函数y＝eu和u＝－x的复合函数，
所以yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(－x)′＝－eu＝－e－x，
所以y′＝(xe－x)′＝x′e－x＋x(e－x)′
＝e－x＋x(－e－x)＝(1－x)e－x.
导数的实际应用
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．
[自主解答]　烟花在t＝2 s时的瞬时速度就是h′(2)．
∵h′(t)＝－9.8t＋14.7，
∴h′(2)＝－4.9.
即在t＝2 s时，烟花正以4.9 m/s的瞬时速度下降．
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：
在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；
在1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下落，直到落地．
解决此类问题，应在熟悉导数的数学意义的同时熟悉导数的物理意义，建立变量之间的表达式是关键．
3．某圆柱形容器的底面半径为1 m，深度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速度放出，求液面高度的瞬时变化率．
解：设液体放出t s后的液面高度为h m，
则由题意得π·12·h＝π－0.01t，
化简得h＝1－t，
∴液面高度的瞬时变化率为
h′＝′
＝－(m/s)．
求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
[解]　法一：设直线l：x－y＋m＝0(m≠－2)与抛物线y＝x2相切，
显然直线l与直线x－y－2＝0平行．
依题意知，l与直线x－y－2＝0间的距离就是要求的最短距离，
由得x2－x－m＝0.
由Δ＝1＋4m＝0，得m＝－，
∴l的方程为x－y－＝0.
两平行线间的距离为d＝＝.
∴抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
法二：依题意知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．设切点坐标为(x0，x)．
∵y′＝(x2)′＝2x，
∴2x0＝1，∴x0＝.
∴切点坐标为.
切点到直线x－y－2＝0的距离为
d＝＝.
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B.
C．－1 D．0
解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
答案：A
2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则f′(1)的值为(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：∵f′(x)＝1＋，∴f′(1)＝2.
答案：B
3．下列求导运算正确的是(　　)
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：′＝x′＋′＝1－；(3x)′＝3xln 3；
(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
答案：B
4．若函数f(x)＝，则f′(2)＝________.
解析：由f′(x)＝，得f′(2)＝.
答案：
5．(全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．
解析：因为y′＝2x－，
所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为
y′|x＝1＝2×1－1＝1，所以切线方程为
y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
6．已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．
解：f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，
设两曲线的交点为P(x0，y0)，
则
解得a＝，x0＝e2，
所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)．
切线的斜率为
k＝f′(e2)＝，
所以切线的方程为y－e＝(x－e2)，
即x－2ey＋e2＝0.
一、选择题
1．若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝(　　)
A．2　　　　　　　　 　B．ln 3
C. D．－ln 3
解析：f′(x)＝axln a，由f′(1)＝aln a＝ln 27，
解得a＝3，则f′(x)＝3xln 3，故f′(－1)＝.
答案：C
2．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是(　　)
A．14 m/s2 B．4 m/s2
C．10 m/s2 D．－4 m/s2
解析：由题意知，汽车的速度函数为v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，则v′(t)＝12t－g，
故当t＝2 s时，汽车的加速度是v′(2)＝12×2－10＝14 m/s2.
答案：A
3．函数f(x)＝exsin x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
解析：因为f′(x)＝exsin x＋excos x，所以f′(0)＝1，
即曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为1，
所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为.
答案：C
4．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)
A．－　　　 B.　　　
C．－　　　 D.
解析：y′＝＝，
把x＝代入得导数值为.
答案：B
二、填空题
5．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.
解析：∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－.又∵g′(x)＝m，∴g′(2)＝m.
由g′(2)＝，得m＝－4.
答案：－4
6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析：因为f(ex)＝x＋ex，所以f(x)＝x＋ln x(x>0)，
所以f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x．∴f＝1.
答案：1
8．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析：∵y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，
又y′＝aeax，∴a＝2.
答案：2
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝(2 018－8x)8；(2)y＝；
(3)y＝x；(4)y＝cos x·sin 3x.
解：(1)y′＝8(2 018－8x)7·(2 018－8x)′
＝－64(2 018－8x)7＝64(8x－2 018)7.
(2)y′＝′＝
＝.
(3)y′＝ ＋x[(1＋x2) ]′
＝＋x··(1＋x2) (1＋x2)′
＝＋x··(1＋x2) ·2x
＝＋＝.
(4)y′＝(cos x)′·sin 3x＋cos x·(sin 3x)′
＝－sin x·sin 3x＋cos x·cos 3x·(3x)′
＝－sin x·sin 3x＋3cos x·cos 3x.
10．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，
∴a≠－.
∴a的取值范围是∪.