2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第4章 4.3.1 利用导数研究函数的单调性

4．3导数在研究函数中的应用
4．3.1　利用导数研究函数的单调性
[读教材·填要点]
函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系：
导函数的正负
函数在(a，b)上的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常数函数
[小问题·大思维]
1．在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件．
2．右图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？
提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；
单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．
判断(或证明)函数的单调性
已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．
[自主解答]　 由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.
当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.
∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．
若x∈，则f′(x)<0，
∴f(x)在区间上为减函数．
若x∈，则f′(x)>0，
∴f(x)在区间上是增函数．
当a<0时，若x∈，则f′(x)<0.
∴f(x)在上是减函数．
若x∈，则f′(x)>0.
∴f(x)在区间上为增函数．
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.
∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．
利用导数判断或证明函数单调性的思路
1．求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
证明：由f(x)＝ex－x－1，
得f′(x)＝ex－1.
当x∈(0，＋∞)时，ex－1>0，
即f′(x)>0.
∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，
即f′(x)<0.
∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－ln x；
(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．
[自主解答]　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝，
令f′(x)>0，即>0，
∵x>0，∴6x2－1>0，∴x>.令f′(x)<0，
即<0，∵x>0，∴6x2－1<0，∴0∴f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，
其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，f′(x)＝－ax2＋2x，
f′(x)>0?(－ax＋2)x>0?x>0?x>0或x<；f′(x)<0?故f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为.
求函数的单调区间的“两个”方法
方法一：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
2．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)由题意得f′(x)＝，
又 f′(1)＝＝0，故k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由h(1)＝0知，当00，从而f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
已知函数的单调性求参数范围
已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
[自主解答]　(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，
－ax－2<0有解，
即a>－有解．
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．
而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.
所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立．
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max.而G(x)＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈.
所以G(x)max＝－(此时x＝4)．
所以a≥－.
当a＝－时，h′(x)＝＋x－2
＝＝.
∵x∈[1,4]，∴h′(x)＝≤0.
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
若将本例(2)中“单调递减”改为“单调递增”，如何求a的取值范围？
解：∵h(x)在[1,4]上单调递增，
∴x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≥0恒成立．
即a≤ －恒成立．
设G(x)＝－，∴只需a≤G(x)min.
又G(x)＝2－1，∵x∈[1,4]，∴∈.
∴G(x)min＝－1，∴a≤－1.
经验证：a＝－1时，h(x)在[1,4]上单调递增，
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．
已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围．特别地，若f′(x)为二次函数，可以由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立求出参数的取值范围．
3．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，
由题意当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0恒成立，
即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．
令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有
即解得a≥.
答案：C
证明：方程x－sin x＝0有唯一解．
[巧思]　方程f(x)＝0的解即曲线y＝f(x)与x轴交点的横坐标，因此可以通过构造函数来解决．
[妙解]　设f(x)＝x－sin x，当x＝0时，f(0)＝0，
所以x＝0是方程x－sin x＝0的一个解．
因为f′(x)＝1－cos x，
且x∈R时，f′(x)>0总成立，
所以函数f(x)在R上单调递增．
所以曲线f(x)＝x－sin x与x轴只有一个交点．
所以方程x－sin x＝0有唯一解．
1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　　 　B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0,2)
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)<0，得0∴函数f(x)的单调递减区间为(0,2)．
答案：D
2．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，
令y′≤0，可得0＜x≤1.
答案：B
3．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：f′(x)＝3x2＋a，
令3x2＋a≥0，∴a≥－3x2，
∵x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.
答案：B
4．函数f(x)＝cos x＋x的单调递增区间是________．
解析：因为f′(x)＝－sin x＋＞0，
所以f(x)在R上为增函数．
答案：(－∞，＋∞)
5．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为____________．
解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.
∵对任意x∈R，f′(x)＞2，
∴g′(x)＞0. ∴g(x)在R上为增函数．
又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴x＞－1时，g(x)＞0.
∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.
答案：(－1，＋∞)
6．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1在区间[－4,4]上的单调性．
解：∵f(x)＝x3－3x2－9x＋1，∴f′(x)＝3x2－6x－9.
令f′(x)>0，结合－4≤x≤4，
得－4≤x<－1或3令f′(x)<0，结合－4≤x≤4，得－1∴函数f(x)在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数．
一、选择题
1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(0,1)　　　　　　　 　B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，
令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0,1)．
答案：A
2．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　)
A．f(2)C．f(3)解析：在(0，＋∞)上，f′(x)＝＋>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以有f(2)答案：A
3．如图为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，那么函数y＝f(x)的图象可能为(　　)
解析：由导函数y＝f′(x)的图象，可知当－1所以y＝f(x)在(－1,3)上单调递减；
当x>3或x<－1时，f′(x)>0，
所以y＝f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增．
综上，函数y＝f(x)的图象的大致形状如A中图所示，所以选A.
答案：A
4．f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，且f(－1)＝0，则f(x)g(x)<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－1,0)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：令F(x)＝f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，
且当x<0时，F′(x)<0，
即F(x)在(－∞，0)上为减函数．
又∵f(－1)＝0，即F(－1)＝0.
∴F(x)＝f(x)g(x)<0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：A
二、填空题
5．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是________．
解析：y′＝2x－2b≥0在(2,8)内恒成立，即b≤x在(2,8)内恒成立，∴b≤2.
答案：(－∞，2]
6．已知函数y＝f(x)在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
解析：f′(x)≤0的解集，即为函数y＝f(x)的单调减区间，
∴f′(x)≤0的解集为∪.
答案：∪
7．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调增区间是________，减区间是________．
解析：f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，
f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x) 在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)　(－1,0)
8．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a＞0)．若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立
，即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，
又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.
答案：∪[1，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x
知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝，
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，
因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
10．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2>0.
解：(1)根据题意知，f′(x)＝(x>0)，
当a>0时，则当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．
(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，
所以f(1)＝－2，
由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．
即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.