2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第4章 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值

4．3.3　三次函数的性质：单调区间和极值
[读教材·填要点]
1．三次函数的性质：单调区间和极值
设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数．
(1)函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号，则：
①若a＞0，则F′(x)恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；
②若a＜0，则F′(x)恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．
(2)函数F′(x)有一个零点x＝w，则：
①若a＞0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；
②若a＜0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．
(3)函数F′(x)有两个零点，x＝u和x＝v，设u＜v，则：
①若a＞0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负；对应地，F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增．
可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值．
②若a＜0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正；对应地，F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减．
可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[小问题·大思维]
1．根据三次函数的性质能否画出其图象草图？
提示：根据三次函数的单调性、极值，可以画出．
2．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？
提示：一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．
三次函数性质的确定与应用
设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
[自主解答]　(1)∵f′(x)＝3x2－6，
令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，
∴当x＜－或x＞时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；
f(x)的单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)知，函数y＝f(x)的图象大致形状如图所示，
当5－4＜a＜5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的解．
∴实数a的取值范围是(5－4，5＋4)．
(3)f(x)≥k(x－1)，
即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．
∵x＞1，∴k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴g(x)＞g(1)＝－3.∴k的取值范围是(－∞，－3]．
1．求三次函数的单调区间与极值的问题，求导后转化为一元二次方程及一元二次不等式的求解问题去解决．
2．解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式f(x)>g(x)(f(x)0(F(x)＝f(x)－g(x)<0)恒成立问题，再用导数方法探讨F(x)的单调性及最值．
1．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－2时都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若x∈[－3,2]时都有f(x)>－恒成立，求c的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题意，得即
解得
(2)由(1)知f′(x)＝3x2＋3x－6＝3(x＋2)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
＋c
?
极大值
c＋10
?
极小值
c－
?
2＋c
∴f(x)在[－3,2]上的最小值为c－.即－解得＜c＜0或c>.
即c的取值范围为∪.
求函数的最值
求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
[自主解答]　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝－1或x＝0或x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，
－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
f(x)
－60
?
极大
值4
?
极小
值3
?
极大
值4
?
－5
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6
＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
求函数最值的4个步骤
[注意]　求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0， ①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，
可得4a＋3b＋4＝0， ②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2



1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
?
13
?

?
4
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
已知函数的最值求参数
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．
[自主解答]　依题意，显然a≠0.
因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，
所以令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
?
极大值b
?
－16a＋b
由上表知，当x＝0时，f(x)取得最大值，
所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，
故f(－1)>f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取得最小值．
即－16a＋3＝－29，a＝2.
(2)若a<0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－7a＋b
?
极小值b
?
－16a＋b
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，
所以f(0)＝b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，故f(2)>f(－1)．
所以当x＝2时，f(x)取得最大值．
即－16a－29＝3，a＝－2.
综上所述，所求a，b的值为或
由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．
3．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值．
解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－40＋a
?
极大值a
?
－8＋a
∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.当x＝0时，f(x)最大值是3.
设f(x)＝(x3－3x)，讨论关于x的方程f(x)－m＝0的解的个数情况．
[巧思]　判断三次函数f(x)的单调性并求得极值，画出其草图，将方程解的个数转化为两个函数图象的交点个数问题．
[妙解]　∵f′(x)＝(3x2－3)＝(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0得x＝±1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况列表如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值－
?
画出f(x)＝(x3－3x)的草图，如图所示：
方程f(x)－m＝0的解的情况如下：
(1)当m＞或m＜－时，
方程f(x)－m＝0有一个解；
(2)当m＝或m＝－时，
方程f(x)－m＝0有两个解；
(3)当－＜m＜时，方程f(x)－m＝0有三个解．
1．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，|x1|＜|x2|，则有(　　)
A．a＞0，b＞0，c＜0，d＞0
B．a＜0，b＞0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0
D．a＞0，b＜0，c＞0，d＜0
解析：由f(x)图象可得f(0)＝d＞0.
∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知，f′(x)的图象如图．
∴a＜0，c＞0，－＜0?b＜0.
答案：C
2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．12，－8　　　　　　 　B．1，－8
C．12，－15 D．5，－16
解析：y′＝6x2－6x－12，
由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．
x＝－2时，y＝1；x＝－1时，
y＝12；x＝1时，y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
答案：A
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．
答案：D
4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为函数f(x)既有极大值又有极小值，
所以方程f′(x)＝0有两个不等根，∴Δ＝36a2－4×3×3(a＋2)＞0，
解得a＜－1或a＞2.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
5．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
6．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[ －2,2]上的最大值和最小值；
(3)若f(x)在(－x，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
则f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)·，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0.
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
(3)f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过(0，－4)的抛物线，
由条件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0.
即∴－2≤a≤2，
即a的取值范围是[－2,2]．
一、选择题
1．函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
解析：由最值与极值的概念可知，D选项正确．
答案：D
2．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
解析：f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.
答案：B
3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：f′(x)＝6x2＋2ax＋36，
由题意得f′(2)＝24＋4a＋36＝0.
∴a＝－15.
∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，
易知在(3，＋∞)上是递增的．
答案：B
4．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有(　　)
A．a＝－2，b＝4 B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有－2和4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.
答案：B
二、填空题
5．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的取值范围为________．
解析：若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，
则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2.
由题意可知b＜－1或b＞2.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
6．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
解析：f′(x)＝x2＋2x－3，
令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，
又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，
故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.
答案：－
7．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋6mx＋n，
由已知可得
∴或
当时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立与x＝－1是极值点矛盾，
当时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，
显然x＝－1是极值点，符合题意，∴m＋n＝11.
答案：11
8．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
解析：f′(x)＝－2x－2，令f′(x)＝0，得x＝－1，
∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．
若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－；
若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.
综上知，a＝－.
答案：－
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝ 3x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，
又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得
∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2



1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
?
极大值
?
极小值
?
4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
10．设函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)若x＝1时，函数f(x)取得极值，求函数f(x)的图象在x＝－1处的切线方程；
(2)若函数f(x)在区间内不单调，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋1，
由f′(1)＝0，得a＝－2，
∴f(x)＝x3－2x2＋x＋1，
当x＝－1时，y＝－3，
即切点为(－1，－3)，k＝f′(x0)＝3x－4x0＋1，
令x0＝－1，得k＝8，
∴切线方程为8x－y＋5＝0.
(2)∵f(x)在区间内不单调，
即f′(x)＝0在有解，
∴3x2＋2ax＋1＝0,2ax＝－3x2－1，
∵x∈，∴2a＝－3x－，
令h(x)＝－3x－，
则h′(x)＝－3＋，由h′(x)≥0，得＜x≤；
由h′(x)＜0，得＜x＜1，
所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴h(1)＜h(x)≤h，
即h(x)∈(－4，－2]，
∴－4＜2a≤－2，即－2＜a≤－，
而当a＝－时，
f′(x)＝3x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
不符合题意舍去，
综上，a的取值范围为(－2，－)．