2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第4章 4.5 定积分与微积分基本定理

4．5定积分与微积分基本定理
[读教材·填要点]
1．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：位于曲线y＝f(x)(a≤x≤b)和x轴之间的图形，叫作函数y＝f(x)在区间[a，b]上的“曲边梯形”．
(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．
2．计算变力所做的功的方法
化整为零，以直代曲．
3．定积分的概念
设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若干分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn＝b.
记小区间[xk－1，xk]为Δk，其长度xk－xk－1记作Δxk，Δxk中最大的记作d，再在每个小区间Δk上任取一点代表点zk，作和式：(zk)Δxk .　①
如果(不论如何取分点xk和代表点zk)当d趋于0时和式①以S为极限，就说函数f(x)在[a，b]上可积，并且说S是f(x)在[a，b]上的定积分，记作S＝f(x)dx.
4．微积分基本定理
如果f(x)是在[a，b]上有定义的连续函数，F(x)在[a，b]上可导并且F′(x)＝f(x)，
则 f(t)dt＝F(b)－F(a)．
[小问题·大思维]
1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？
提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．
2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？
提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．
(2)求解的方法步骤相同．
3．由定积分的定义可知，f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx的值与哪些量有关？
提示：由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.
4．如图所示，如何用阴影面积S1，S2，S3表示定积分f(x)dx的值？
提示： f(x)dx＝S1－S2＋S3.
利用微积分基本定理求定积分
计算下列定积分：
(1)  (4x－x2)dx; (2)(x－1)5 dx；
(3)(t＋2)dx; (4)dx.
[自主解答]　(1)取F(x)＝2x2－，
因为F′(x)＝4x－x2，
所以 (4x－x2)dx＝F(3)－F(－1)
＝－＝.
(2)因为′＝(x－1)5，
所以(x－1)5dx＝F(2)－F(1)
＝×(2－1)6－×(1－1)6＝.
(3)取F(x)＝(t＋2)x，因为F′(x)＝t＋2，
所以(t＋2)dx＝F(2)－F(1)
＝2(t＋2)－(t＋2)＝t＋2.
(4)f(x)＝＝－，
取F(x)＝ln x－ln(x＋1)＝ln，
则F′(x)＝－.
所以dx＝dx＝F(2)－F(1)＝ln .
运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点
(1)对被积函数要先化简，再求积分；
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分；
(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．
1．计算下列定积分：
(1) (3x2－2x＋1)dx；　(2) dx；
(3)  (sin x－cos x)dx；　(4) |1－x|dx.
解：(1)取F(x)＝x3－x2＋x，
则F′(x)＝3x2－2x＋1.
∴ (3x2－2x＋1)dx＝F(3)－F(－1)＝24.
(2)取F(x)＝x2－ln x，
则F′(x)＝x－.
∴dx＝F(2)－F(1)＝－ln 2.
(3)取F(x)＝－cos x－sin x，
则F′(x)＝sin x－cos x.
∴(sin x－cos x)dx＝F(π)－F(0)＝2.
(4)∵|1－x|＝
∴取F1(x)＝x－x2,0＜x＜1，
F2(x)＝x2－x,1＜x＜2，
则F1′(x)＝1－x，F2′(x)＝x－1.
∴|1－x|dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝1.
利用定积分求参数
已知函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值．
[自主解答]　因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，
取F(x)＝x3＋cx，
则F′(x)＝ax2＋c，
所以f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝F(1)－F(0)＝＋c＝ax＋c.
解得x0＝或x0＝－(舍去)．
即x0＝.
利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．
2．已知f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
取F1(x)＝ax2＋bx，
∴F1′(x)＝f(x)．
则(ax＋b)dx＝F1(1)－F1(0)＝a＋b，
x(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)dx，
取F2(x)＝ax3＋bx2且F2′(x)＝ax2＋bx，
则x(ax＋b)dx＝F2(1)－F2(0)＝a＋b，
由
解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.
利用定积分求曲边梯形的面积
求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
[自主解答]　由
得或
所以直线y＝－x＋2与抛物线
y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，
设所求图形面积为S，根据图形可得
S＝ [(－x＋2)－(x2－4)]dx＝ (6－x－x2)dx，
取F(x)＝6x－x2－x3，
则F′(x)＝6－x－x2，
∴S＝F(2)－F(－3)＝.
若将本例中“直线y＝－x＋2”换为“抛物线y＝3－x2”，如何求解？
解：如图所示，设所求图形面积为S，
S＝dx
＝dx，
取F(x)＝7x－x3，
则F′(x)＝7－x2，
∴S＝F(2)－F(－2)＝.
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
(1)画出图形．
(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限．
(3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：
①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单．
(4)写出平面图形的面积的定积分表达式．
(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
3．求曲线y＝ex，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积．
解：由图可知，积分区间为[0,1]，
面积S＝dx，
取F(x)＝ex＋e－x，
则F′(x)＝ex－e－x，
∴S＝F(1)－F(0)＝e＋－2.
定积分在物理中的应用
变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．
[自主解答]　当0≤t≤1时，v(t)≥0，
当1≤t≤2时，v(t)<0.
所以前2秒钟内所走的路程
S＝v(t)dt＋[－v(t)]dt
＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt
取F1(t)＝t－t3，F2(t)＝t3－t，
S＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝2.
2秒末所在的位置：x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝.
即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x1＝.
1．有关路程、位移计算公式
路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s1分别为
(1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，则s＝v(t)dt；s1＝v(t)dt.
(2)若v(t)≤0(a≤t≤b)，
则s＝－v(t)dt；s1＝v(t)dt.
(3)在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上，v(t)<0，
则s＝v(t)dt－v(t)dt；s1＝v(t)dt.
2．求变力做功的方法步骤
(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移．
(2)利用变力做功的公式W＝F(x)dx计算．
[注意]　将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．
4．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°角的方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为(　　)
A. J　　　　　　　　 B. J
C. J D．2 J
解析：W＝F(x)cos 30°dx＝(5－x2)dx＝＝(J)．
答案：C
求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积．
[解]　由方程组解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．
法一：选x作为积分变量，由图可看出S＝A1＋A2.
在A1部分：由于抛物线的上半支方程为y＝，下半支方程为y＝－，
所以SA1＝[－(－)]dx＝2xdx.
取F1(x)＝x，
∴S A1＝2[F1(2)－F1(0)]＝.
S A2＝[4－x－(－)]dx，
取F2(x)＝4x－x2＋x.
∴S A2＝F2(8)－F2(2)＝.
∴S＝＋＝18.
法二：选y作积分变量，
将曲线方程写为x＝及x＝4－y.
S＝dy.
取F(y)＝4y－－，
∴S＝F(2)－F(－4)＝30－12＝18.
1．定积分(2x＋ex)dx的值为(　　)
A．e＋2　　　　　　　 　B．e＋1
C．e D．e－1
解析：取F(x)＝x2＋ex，则F′(x)＝2x＋ex， (2x＋ex)dx＝F(1)－F(0)＝(1＋e)－(0＋e0)＝e.
答案：C
2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为(　　)
A.g B．g
C.g D．2g
解析：取F(x)＝gt2，则F′(x)＝gt，
所以电视塔高为gtdt＝F(2)－F(1)＝2g－g＝g.
答案：C
3．s1＝xdx，s2＝x2dx的大小关系是(　　)
A．s1＝s2 B．s＝s2
C．s1>s2 D．s1解析：xdx表示由直线x＝0，x＝1，y＝x及x轴所围成的图形的面积，而x2dx表示的是由曲线y＝x2与直线x＝0，x＝1及x轴所围成的图形的面积，因为在x∈[0,1]内直线y＝x在曲线y＝x2的上方，所以s1>s2.
答案：C
4.x4dx＝________.
解析：∵′＝x4，取F(x)＝x5，
∴x4dx＝F(2)－F(－1)
＝[25－(－1)5]＝.
答案：
5．若(2x＋k)dx＝2，则k＝________.
解析：取F(x)＝x2＋kx，则F′(x)＝2x＋k，
∴(2x＋k)dx＝F(1)－F(0)＝1＋k＝2，∴k＝1.
答案：1
6．求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．
解：作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
求交点坐标：由得
故A；由得或(舍去)，
故B(1,1)；由得故C(3,3)，
故所求面积S＝S1＋S2＝dx＋(3－x)dx＝4－ln 3.
一、选择题
1. dx等于(　　)
A．－2ln 2　　　　　 　B．2ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
解析：dx＝ln 4－ln 2＝ln 2.
答案：D
2．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为(　　)
A. B.
C. 1 D.
解析：曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．
答案：B
3.如图所示，阴影部分的面积是(　　)
A．2 B．2－
C. D.
解析：S＝ (3－x2－2x)dx，即F(x)＝3x－x3－x2，
则F(1)＝3－－1＝，
F(－3)＝－9＋9－9＝－9.
∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝.
答案：C
4．定积分|x2－2x|dx＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：|x2－2x|＝
取F1(x)＝x3－x2，F2(x)＝－x3＋x2，
则F1′(x)＝x2－2x，F2′(x)＝－x2＋2x.
∴|x2－2x|dx＝ (x2－2x)dx＋ (－x2＋2x)dx
＝F1(0)－F1(－2)＋F2(2)－F2(0)＝8.
答案：D
二、填空题
5．函数y＝x－x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于________．
解析：由x－x2＝0，得x＝0或x＝1.因此所围成的封闭图形的面积为(x－x2)dx.
取F(x)＝x2－x3，
则F′(x)＝x－x2，∴面积S＝F(1)－F(0)＝.
答案：
6．设函数f(x)＝(x－1)x(x＋1)，则满足f′(x)dx＝0的实数a＝________.
解析： f′(x)dx＝f(a)＝0，得a＝0或1或－1，
又由积分性质知a>0，故a＝1.
答案：1
7．计算(2x－ex)dx＝________.
解析：取F(x)＝x2－ex，则F′(x)＝2x－ex，
所以(2x－ex)dx＝F(2)－F(0)＝5－e2.
答案：5－e2
8．曲线y＝＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面积是________．
解析：由题意得，所求面积为
dx.
取F(x)＝ln x＋x2＋e2x，
则F′(x)＝＋2x＋2e2x，
所以dx＝F(e)－F(1)＝e2e.
答案：e2e
三、解答题
9．计算下列定积分．
(1)dx；
(2)dx.
解：(1)取F(x)＝－2，
则F′(x)＝2x－.
∴原式＝F(4)－F(1)＝－(2－2)＝－2.
(2)取F(x)＝ln(1＋x2)，则F′(x)＝.
∴dx＝F(1)－F(0)＝ln 2.
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
解：f′(x)＝3x2－2x＋1，
∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点(1,2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)＝2，
∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即y＝2x.
y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图：
由可得交点A(2,4)．
∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
S＝ (2x－x2)．
取F(x)＝x2－x3，则F′(x)＝2x－x2，
∴S＝F(2)－F(0)＝.