2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第4章 章末小结

1．导数的几何意义
导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度．
2．函数的单调性与导数
(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．
(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．
3．导数与函数的极值、最值
(1)函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值．而函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较．
(2)可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号．
(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．
4．定积分与微积分基本定理
利用微积分基本定理计算定积分，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．
导数的几何意义
[例1]　已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解]　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为
k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.
(2)法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.
整理得，x＝－8，∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1.
解得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
∴或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，于是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
1．(天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，
又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，
令x＝0，得y＝1.
答案：1
2．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).
导数与函数的单调性
[例2]　(全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x，讨论f(x)的单调性．
[解]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a＜0，则当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(1)利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f′(x)>0或f′(x)<0 的解集．
(2)已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是解决一个恒成立问题．
3．证明：不等式ln x>，其中x>1.
证明：设f(x)＝ln x－(x>1)，
则f′(x)＝－.
∵x>1，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)内为单调增函数．
又∵f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)>f(1)＝0，
即ln x－>0，∴ln x>.
4．已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－2时，f(x)＝x2－2ln x，
f′(x)＝2x－＝.
令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0所以f(x)的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0,1)．
(2)由g(x)＝x2＋aln x＋，得g′(x)＝2x＋－.
若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，
则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立．
也即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立．
令φ(x)＝－2x2，
则φ′(x)＝－－4x.
当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－－4x<0，
∴φ(x)＝－2x2在[1，＋∞)上为减函数．
∴φ(x)max＝φ(1)＝0.
∴a≥0，即a的取值范围为[0，＋∞).
导数与函数的极值、最值及恒成立问题
[例3]　已知函数f(x)＝ln x－.
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；
(2)设g(x)＝ln x－a，若g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范围．
[解]　(1)f′(x)＝＋＝(x＞0)，
当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)不存在最小值；
当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－a，
且0＜x＜－a时，f′(x)＜0，
x＞－a时，f′(x)＞0.
∴x＝－a时，f(x)取极小值也是最小值，
f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a＝－e.
(2)g(x)＜x2，即ln x－a＜x2，即a＞ln x－x2，
故g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，也就是a＞ln x－x2在(0，e]上恒成立．
设h(x)＝ln x－x2，则h′(x)＝－2x＝，
由h′(x)＝0及0＜x≤e，得x＝.
当0＜x＜时，h′(x)＞0，当＜x≤e时，h′(x)＜0，即h(x)在上为增函数，在上为减函数，所以当x＝时，h(x)取得最大值为h＝ln －.
所以g(x)＜x2在(0，e]上恒成立时，
a的取值范围为.
一般地，若已知函数f(x)在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解．
5．(北京高考)已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈时，h′(x)＜0，
所以h(x)在区间上单调递减．
所以对任意x∈，有h(x)＜h(0)＝0，
即f′(x)＜0.
所以函数f(x)在区间上单调递减．
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，
最小值为f＝－.
6．设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)解：∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，f(0)＝8c＜f(1)，
∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，都有f(x)∴9＋8c9.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
导数与不等式
[例4]　已知函数f(x)＝x2ex－1－x3－x2.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝x3－x2，试比较f(x)与g(x)的大小．
[解]　(1)f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)，
由f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
当－21时，f′(x)>0；
当x<－2或0所以函数f(x)在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减．
(2)f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3＝x2(ex－1－x)．
因为对任意实数x总有x2≥0，
所以设h(x)＝ex－1－x.
则h′(x)＝ex－1－1，由h′(x)＝0，得x＝1，
当x<1时，h′(x)<0，即函数h(x)在(－∞，1)上单调递减，
因此当x<1时，h(x)>h(1)＝0.
当x>1时，h′(x)>0，即函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因此当x>1时，h(x)>h(1)＝0.
当x＝1时，h(1)＝0.
所以对任意实数x都有h(x)≥0，即f(x)－g(x)≥0，
故对任意实数x，恒有f(x)≥g(x)．
利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．
7．已知f(x)＝ln x－x＋a＋1.
(1)若存在x∈(0，＋∞)使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；
(2)求证：当x＞1时，在(1)的条件下，x2＋ax－a＞xln x＋成立．
解：(1)原题即为存在x>0使得ln x－x＋a＋1≥0，
∴a≥－ln x＋x－1，
令g(x)＝－ln x＋x－1，
则g′(x)＝－＋1＝.
令g′(x)＝0，解得x＝1.
∵当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0.
故a的取值范围是[0，＋∞)．
(2)证明：原不等式可化为
x2＋ax－xln x－a－＞0(x＞1，a≥0)．
令G(x)＝x2＋ax－xln x－a－，则G(1)＝0.
由(1)可知x－ln x－1＞0，
则G′(x)＝x＋a－ln x－1≥x－ln x－1＞0，
∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴G(x)>G(1)＝0成立，
∴x2＋ax－xln x－a－＞0成立，
即x2＋ax－a>xln x＋成立．
导数的实际应用
[例5]　如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．
[解]　以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，
则D(4,2)．
设抛物线方程为y2＝2px.
∵点D在抛物线上，
∴22＝8p.
解得p＝.
∴抛物线方程为：y2＝x(0≤x≤4)．
设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点，
则|PQ|＝2＋y，|PN|＝4－y2.
∴矩形游乐园面积为
S＝|PQ|×|PN|＝(2＋y)(4－y2)＝8－y3－2y2＋4y.
求导得：S′＝－3y2－4y＋4，令S′＝0，
得3y2＋4y－4＝0，解得y＝或y＝－2(舍)．
当y∈时，S′>0，函数为增函数；
当y∈时，S′<0，函数为减函数．
∴当y＝时，S有最大值．
得|PQ|＝2＋y＝2＋＝，
|PN|＝4－y2＝4－2＝.
∴游乐园的最大面积为Smax＝×＝(km2)．
(1)解决实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解；
(2)在实际问题中，f′(x)＝0常常仅有一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．
8．某工厂某种产品的年产量为1 000x吨，其中x∈[20,100]，需要投入的成本为C(x)(单位：万元)，当x∈[20,80]时，C(x)＝x2－30x＋500；当x∈(80,100]时，C(x)＝.若每吨商品售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式；
(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？
解：(1)由题意，知L(x)＝1 000ln x－C(x)
＝
(2)当x∈[20,80]时，L′(x)＝－，
由L′(x)≥0，得20≤x≤50；由L′(x)≤0，得50≤x≤80，
∴L(x)在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减，
∴当x＝50时，L(x)max＝1 000ln 50－250；
当x∈(80,100]时，L(x)＝1 000ln x－单调递增，
∴L(x)max＝1 000ln 100 －2 000.
∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2>1 750－1 000>0，
∴当x＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元.
定积分的应用
[例6]　求正弦曲线y＝sin x与余弦曲线y＝cos x在x＝－到x＝之间围成的图形的面积．
[解]　如图，画出y＝sin x与y＝cos x在上的图象，
它们共产生三个交点，分别为，，.
在上，cos x>sin x，在上，sin x>cos x.
∴面积S＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx
＝2 (sin x－cos x)dx.
取F(x)＝－(sin x＋cos x)，∴S＝2＝4.
不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．
9．曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P，求过点P的切线l与C围成的图形的面积．
解：设切点A(x0，y0)，
则y′＝6x－6x0－2，切线l：
y－[2x－3x－2x0＋1]
＝(6x－6x0－2)(x－x0)过P，
∴－[2x－3x－2x0＋1]＝[6x－6x0－2]·.
即x0(4x－6x0＋3)＝0.
∴x0＝0，y0＝1，A(0,1)．
∴切线l的方程为y－1＝－2(x－0)．
∴2x＋y－1＝0.
∴?∴B.
∴S＝ (3x2－2x3)dx＝.
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝sin 2x－cos 2x的导数是(　　)
A．y′＝2cos
B．y′＝cos 2x－sin 2x
C．y′＝sin 2x＋cos 2x
D．y′＝2cos
解析：∵y′＝(sin 2x－cos 2x)′
＝(sin 2x)′－(cos 2x)′
＝cos 2x·(2x)′＋sin 2x·(2x)′
＝2cos 2x＋2sin 2x
＝2
＝2cos，故选A.
答案：A
2．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)
A．e　　　　　　　　　　 　B．－e
C. D．－
解析：y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝，
∴切线方程为y－y0＝(x－x0)，
又切线过点(0,0)，代入切线方程得y0＝1，则x0＝e，
∴k＝f′(x0)＝＝.
答案：C
3．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1]，(0,1) D．[－1,0)，(0,1]
解析：∵f′(x)＝2x－＝，
当0＜x≤1时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减．
答案：A
4．已知函数f(x)＝xln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．不存在
解析：因为f(x)＝xln x，所以f′(x)＝ln x＋1，
于是有x0ln x0＋ln x0＋1＝1，
解得x0＝1或x0＝－1(舍去)．
答案：A
5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是(　　)
解析：由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A、B；当00，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.
答案：D
6．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为(　　)
A．2 B．3
C. D．2＋
解析：由f′(x)＝－＝＝0得x＝1，
且x∈(0,1)时f′(x)＜0，x∈(1,5]时f′(x)＞0，
∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
答案：B
7．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B.1
C. D.
解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分cos xdx，
取F(x)＝sin x，则F′(x)＝cos x.
∴cos xdx＝F－F＝.
答案：D
8．设函数f(x)＝ex(sin x－cos x)(0≤x≤2 019π)，则函数f(x)的各极小值之和为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：∵f′(x)＝2exsin x，
∴当x∈(2kπ＋π，2kπ＋2π)(k∈Z)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(2kπ＋2π，2kπ＋3π)(k∈Z)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
故当x＝2kπ＋2π(k∈Z)时，f(x)取极小值，
其极小值为f(2kπ＋2π)＝－e2kπ＋2π(k∈Z)，
又0≤x≤2 019π，
∴f(x)的各极小值之和S＝－e2π－e4π－…－e2 018π＝－.
答案：D
9．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)
解析：∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴在x＝－2附近的左侧f′(x)＜0，当x＜－2时，xf′(x)＞0；在x＝－2附近的右侧f′(x)＞0，当－2＜x＜0时，xf′(x)＜0.
答案：C
10．函数f(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上(　　)
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
解析：函数f(x)＝x3－2x2，所以f′(x)＝x2－4x，所以f(x)在[－1,0]上单调递增，在[0,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，进而可得f(x)在[－1,5]上既有最大值又有最小值．
答案：B
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(－3)＝f(5)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示．则不等式f(x)<1的解集是(　　)
A．(－3,0) B．(－3,5)
C．(0,5) D．(－∞，－3)∪(5，＋∞)
解析：依题意得，当x>0时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
又f(－3)＝f(5)＝1，因此不等式f(x)<1的解集是(－3,5)．
答案：B
12．若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：根据题意，函数y＝ax2与函数y＝ex的图象在(0，＋∞)上有公共点，
令ax2＝ex，得a＝.
设f(x)＝，则f′(x)＝，
由f′(x)＝0，得x＝2，
当0当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上是增函数，
所以当x＝2时， 函数f(x)＝在(0，＋∞)上有最小值f(2)＝，所以a≥.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，
即函数f(x)的增区间为(－1,1)．
又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
所以解得－1＜m≤0.
答案：(－1,0]
14．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．
解析：∵y′＝，∴k＝，
∴切线方程为y＝(x－1)，
∴三角形面积为S△＝×1×＝＝ log2e.
答案：log2e
15．点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．
解析：设曲线上一点的横坐标为x0(x0＞0)，则经过该点的切线的斜率为k＝2x0－，
根据题意得，2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－，
又∵x0＞0，∴x0＝1，此时y0＝1，
∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为＝.
答案：
16．当x∈[－1,2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：记f(x)＝x3－x2－x，∴f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
又f＝，f(2)＝2，f(1)＝f(－1)＝－1，
∴当x∈[－1,2]时，f(x)max＝2，∴m＞2.
答案：(2，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
解：(1)因为f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
所以g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，
因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，
令g′(x)＝0.解得x＝－(舍去)或x＝，
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
解：由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2，①
又f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0.②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx.
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，
则F′(x)＝f(x)．
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c.
∴a＋b＋c＝－2，③
由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.
(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，当x∈[－1,2]时，则f(x)(3)若f(x)在x＝1处取得极值，证明：对[－1,2]内的任意两个值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤.
解：(1)f′(x)＝3x2－x＋b.
令f′(x)＝0，由Δ>0得1－12b>0，即b<.
∴b的取值范围为.
(2)∵f(x)在x＝1处取得极值，
∴f′(1)＝0，∴3－1＋b＝0，得b＝－2.
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1，
可以计算得到f(x)max＝2＋c，
所以2＋c2或c<－1.
即c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
(3)可以计算得到f(x)max＝2＋c，f(x)min＝－＋c.
∴对[－1,2]内的任意两个值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤2＋c－＝.
20．(本小题满分12分)已知两个函数f(x)＝7x2－28x－c，g(x)＝2x3＋4x2－40x.
(1)若对任意x∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数c的取值范围；
(2)若对任意x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数c的取值范围．
解：(1)由f(x)≤g(x)恒成立得
c≥(－2x3＋3x2＋12x)max.
令F(x)＝－2x3＋3x2＋12x(x∈[－3,3])，
∴F′(x)＝－6x2＋6x＋12.
又∵x∈[－3,3]，
∴当x∈[－1,2]，f′(x)≥0，f(x)单调递增；
当x∈[－3，－1)和(2,3]，f′(x)<0，f(x)单调递减，
又∵F(2)＝20，F(－3)＝45.
∴F(x)max＝F(－3)＝45，
∴c≥45.即实数c的取值范围为[45，＋∞)．
(2)∵x1∈[－3,3]，
∴f(x1)max＝f(－3)＝147－c.
∵g(x)＝2x3＋4x2－40x，∴g′(x)＝6x2＋8x－40.
∵x∈[－3,3]，
∴当x∈[－3,2]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减；
x∈(2,3]时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
又∵x2∈[－3,3]，
∴g(x2)min＝g(2)＝－48.
又∵f(x1)≤g(x2)，
∴147－c≤－48，即c≥195.
∴f(x1)max≤g(x2)min成立时，c的取值范围为[195，＋∞)．
21．(本小题满分12分)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6＜x＜11)，年销量为u万件，若已知－u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
解：(1)设－u＝k2，
∵售价为10元时，年销量为28万件，
∴－28＝k2，解得k＝2.
∴u＝－22＋＝－2x2＋21x＋18.
∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6＜x＜11)．
(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)
＝－6(x－2)(x－9)．
令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，
显然，当x∈(6,9)时，y′＞0，
当x∈(9,11)时，y′＜0.
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的．
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．
22．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2－b，由题意，
得即解得
∴f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?

?
－
?
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，
f(x)有极小值－，
所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．
若f(x)＝k有3个不同的根，
则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，
∴－∴实数k的取值范围为.